تطور جملة ميكانيكية
السقوط الشاقولي في الهواء: الاحتكاك، أرخميدس، المعادلة التفاضلية و السقوط الحر
- أن تُظهر بالتجربة وجود قوى احتكاك الهواء وأن تصف خصائصها
- أن تكتب المعادلة التفاضلية لحركة السقوط الشاقولي في الهواء
- أن تستخرج السرعة الحدية والزمن المميّز من بيان السرعة
- أن تميّز السقوط الحرّ عن السقوط في الهواء وتكتب معادلتيه الزمنيتين
- القانون الثاني لنيوتن وإسقاط علاقة شعاعية على محور موجّه
- الكتلة الحجمية، وحجم الكرة، وقراءة بيان مقدار بدلالة الزمن
❓إشكالية: الجسم الساقط في الهواء لا يخضع لثقله وحده. سنبحث أوّلا عن القوى الأخرى التي يؤثّر بها الهواء، ثمّ نكتب المعادلة التي تحكم سرعته، وأخيرا نرى ما الذي يبقى من هذه المعادلة إذا أهملنا تلك القوى.
📌تجربة 1: إظهار قوى احتكاك الهواء
📌التجربة:
- نمسك ورقة مستوية وكرية معدنية صغيرة على الارتفاع نفسه فوق الطاولة.
- نتركهما تسقطان في اللحظة نفسها، دون إعطائهما أيّ سرعة ابتدائية.
- نتابع بالعين مسار كلّ واحدة منهما إلى غاية وصولها.
- نعيد التجربة بعد أن نكوّر الورقة نفسها في كتلة صغيرة، ونقارن.
🔍الملاحظة: مسار الكرية شاقولي ومستقيم، وتصل بسرعة. أمّا الورقة فمسارها غير مستقيم، وتدور حول نفسها ويتشوّه شكلها، وتصل متأخّرة كثيرا. وعندما نكوّرها يصير سقوطها شاقوليّا وسريعا، مع أنّ كتلتها لم تتغيّر.
لكي نتمكّن من دراسة هذه القوى نحتاج إلى سقوط شاقولي، لا إلى مسار متعرّج. لذلك نستعمل أجساما ثقيلة نسبيّا وذات حجم كبير: هكذا يبقى السقوط شاقوليّا وتسهل نمذجة قوى الاحتكاك.
📌تجربة 2: قياس أثر الحجم على السقوط الشاقولي
📌التجربة:
- نلصق بالونا منفوخا ببرغي بواسطة خيط قصير، فنحصل على جملة (برغي + بالون).
- نأخذ برغيا آخر مطابقا للأوّل، ونتركه وحده.
- نترك الجملتين تسقطان في اللحظة نفسها ومن الارتفاع نفسه.
- نصوّر السقوط ونستخرج منه بيان سرعة الجملة (برغي + بالون) بدلالة الزمن.
🔍الملاحظة: السقوط شاقولي في الحالتين، لكنّ سرعة البرغي وحده أكبر من سرعة الجملة (برغي + بالون). ويُظهر البيان أنّ السرعة تتزايد بسرعة في البداية، ثمّ يقلّ تزايدها، ثمّ تتوقّف عن التزايد نهائيّا وتبقى ثابتة.
شدّة هذه القوة ليست لها صيغة واحدة: الصيغة تتغيّر بتغيّر مجال السرعة، وهذا اختيار نمذجة نعلنه قبل أيّ حساب.
دافعة أرخميدس
الهواء ليس فراغا: هو مائع، والأجسام تغوص فيه كما تغوص في الماء. ولنرى بوضوح القوّة التي يطبّقها كلّ مائع على ما يغوص فيه، نبدأ بالماء لأنّ أثرها فيه ظاهر للعين.
📌تجربة 3: قطعة خشب على سطح الماء
📌التجربة:
- نملأ حوضا شفّافا بالماء.
- نضع فوق سطح الماء قطعة خشب مستوية، أفقيّة بعناية.
- نترك القطعة دون أن نمسكها، ونراقب ما يحدث لها.
🔍الملاحظة: القطعة لا تنزل إلى القاع: تبقى طافية على سطح الماء دون أن نمسكها.
هذه القوّة تحمل اسم من وصفها أوّل مرّة، ولها تعريف دقيق وخصائص أربع نحتاجها كلّما أردنا رسمها أو حساب شدّتها.
- نقطة التأثير: مركز عطالة الجسم.
- الحامل: الشاقول.
- الجهة: من الأسفل إلى الأعلى.
- الشدّة: ثقل حجم المائع الذي يزيحه الجسم.
المعادلة التفاضلية لحركة السقوط الشاقولي في الهواء
ندرس سقوط جسم صلب في الهواء بدون سرعة ابتدائية، بجوار الأرض حيث نعتبر شعاع الجاذبية ثابتا. الجملة المدروسة هي الجسم، والمرجع سطحي أرضي نعتبره عطاليّا، والمعلم شاقولي مبدؤه نقطة الانطلاق.
نقسم على الكتلة، ثمّ نعوّض عن شدّة قوة الاحتكاك بالنموذج المعلن. في حالة النموذج الخطّي نجد معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بمعاملين ثابتين.
نقرأ على هذا الحلّ ثلاث لحظات، ولكلّ واحدة معناها الفيزيائي:
وللنموذج التربيعي فائدة عملية: المعادلة التفاضلية تربط السرعة بالتسارع في كلّ لحظة، فيمكن استخراج إحداهما من الأخرى دون أيّ تكامل.
حالة خاصّة: السقوط الحرّ
عندما نهمل معا قوة احتكاك الهواء ودافعة أرخميدس، لا يبقى على الجسم إلّا ثقله. نقول عندئذ إنّه في حركة سقوط حرّ. والفرق بين هذا الرسم والرسم السابق هو تعريف السقوط الحرّ نفسه: غياب القوّتين الأخريين، لا شيء آخر.
المعادلات الزمنية لحركة السقوط الحرّ
ننطلق من المعادلة التفاضلية ونتكامل مرّتين. في كلّ مرّة يظهر ثابت، وهذا الثابت هو بالضبط ما تحدّده الشروط الابتدائية: السرعة الابتدائية أوّلا، ثمّ الفاصلة الابتدائية. معلم الدراسة هنا شاقولي موجّه نحو الأسفل.
وإذا قذفنا الجسم شاقوليّا نحو الأعلى، فالأنسب أن نوجّه المحور نحو الأعلى أيضا. عندئذ يصير الثقل سالبا على المحور، فتنقلب إشارة التسارع، ومعها إشارتا الحدّين المتعلّقين به في المعادلتين الزمنيتين.
متابعة سقوط كرية في الهواء
نترك كرية خفيفة تسقط في الهواء دون سرعة ابتدائية، ونصوّر سقوطها. تسمح المتابعة الزمنية برسم بياني السرعة والتسارع على المعلم نفسه، ونعتمد في هذه الدراسة النموذج التربيعي لقوة الاحتكاك.
| المقدار | الرمز والوحدة | القيمة |
|---|---|---|
| كتلة الكرية | m (g) | 2,3 |
| نصف قطر الكرية | r (cm) | 1,9 |
| تسارع الجاذبية | g (ms2) | 9,8 |
| الكتلة الحجمية للهواء | ρa (kgm3) | 1,3 |
| السرعة الحدية المقروءة على البيان | vL (ms) | 8,0 |
قبل أن نكتب معادلة الحركة، من الحكمة أن نعرف أيّ القوى يستحقّ أن يُكتب. نقارن لذلك شدّة الثقل بشدّة دافعة أرخميدس، بالقيم نفسها المعطاة في الجدول.
🎯المطلوب: قارن بين شدّة الثقل وشدّة دافعة أرخميدس المطبّقتين على الكرية
لأنّ الكرية تُعتبر كرويّة، وحجم المائع المزاح هو حجمها هي، فنبدأ بحسابه من نصف القطر وحده
لأنّ الثقل لا يتعلّق إلّا بالكتلة وبشدّة ثقل الوحدة من الكتل
لأنّ شدّة الدافعة تساوي ثقل الهواء المزاح، أي جداء الكتلة الحجمية للهواء في الحجم المحسوب في الخطوة الأولى
لأنّ المقارنة بين قوّتين لا تكون بالفرق بل بالنسبة: النسبة وحدها تقول كم مرّة تكبر إحداهما الأخرى، وهي التي تقرّر إن كان الإهمال مشروعا
نقرأ على بيان السرعة أنّ المستوي الأفقي يقع عند ثماني وحدات من السرعة. ونعتمد النموذج التربيعي، ونهمل دافعة أرخميدس بعد ما وجدناه في المثال السابق.
🎯المطلوب: أوجد القيمة التجريبية لثابت الاحتكاك انطلاقا من السرعة الحدية
لأنّ السرعة تبقى ثابتة في النظام الدائم، فمشتقّها بالنسبة إلى الزمن معدوم: هذه هي الترجمة الرياضية للمستوي الأفقي في البيان
لأنّ التسارع صار معدوما، فمجموع القوى معدوم أيضا: الثقل يوازن قوة الاحتكاك وحدها، ما دامت الدافعة مهملة
لأنّ الثابت هو المجهول الوحيد الباقي في العلاقة، وقيمتا الثقل والسرعة الحدية معلومتان
نستعمل البيانين معا: بيان التسارع يعطي قيمته في اللحظة الابتدائية، وبيان السرعة يعطي المستوي الحدّي.
🎯المطلوب: حدّد بيانيّا الزمن المميّز لسقوط الكرية
لأنّ السرعة معدومة في اللحظة الابتدائية، فقوة الاحتكاك معدومة معها، ولا يبقى إلّا الثقل: التسارع الابتدائي هو إذن تسارع الجاذبية نفسه، وهذا ما نقرؤه على بيان التسارع
لأنّ المماس في المبدأ ميله هو التسارع الابتدائي، وهو يقطع مستوي السرعة الحدية عند فاصلة تساوي السرعة الحدية مقسومة على هذا الميل: هذا هو التعريف البياني للزمن المميّز
لأنّ المقدارين مقروءان كلاهما على البيانين، فلا يبقى إلّا القسمة
في حالة كرة نصف قطرها معلوم تتحرّك داخل مائع، تُعطى العبارة النظرية لثابت الاحتكاك بعلاقة تجمع نصف القطر والكتلة الحجمية للمائع.
🎯المطلوب: احسب الثابت النظري ثمّ قارنه بالقيمة التجريبية السابقة
لأنّ كلّ مقادير هذه العبارة معلومة: نصف القطر من الجدول، والكتلة الحجمية للهواء منه أيضا
لأنّ المقارنة بين قيمتين لهما الوحدة نفسها تكون بالنسبة، والنسبة القريبة من الواحد تعني أنّ النموذج يصف التجربة
لأنّ النسبة تقارب الواحد، والفرق بينهما يبقى داخل حدود أخطاء القياس والقراءة البيانية
نقذف كرية شاقوليّا نحو الأسفل من ارتفاع عشرين مترا فوق سطح الأرض، بسرعة ابتدائية قدرها خمسة أمتار في الثانية. نهمل قوى الاحتكاك ودافعة أرخميدس، ونعتبر الحركة سقوطا حرّا.
🎯المطلوب: احسب المدّة الزمنية التي تستغرقها الكرية قبل أن تبلغ سطح الأرض
لأنّ المحور موجّه نحو الأسفل ومبدؤه نقطة الانطلاق: الفاصلة الابتدائية معدومة، والسرعة الابتدائية موجبة لأنّها في جهة المحور
لأنّ بلوغ سطح الأرض يعني أنّ الفاصلة صارت تساوي الارتفاع الابتدائي: نعوّض بالقيم فنحصل على معادلة من الدرجة الثانية في الزمن
لأنّ المميّز موجب، وللمعادلة حلّان: الحلّ السالب لا معنى فيزيائي له، فالزمن لا يكون سالبا، ونحتفظ بالحلّ الموجب وحده
لأنّ الجذر التربيعي للمميّز يساوي عشرين فاصل أربعة، فلا يبقى إلّا الطرح ثمّ القسمة
Page 1/13
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net