التطورات المهتزة
الاهتزازات الحرة لجملة كهربائية: الدارة RLC و المعادلة التفاضلية
- أن تصف تفريغ مكثفة في وشيعة وتربط شكل التسجيل بقيمة مقاومة الدارة
- أن تُنشئ المعادلة التفاضلية للتوتر بين طرفَي المكثفة في دارة RLC
- أن تكتب حلّ المعادلة في حالة إهمال التخامد وتستنتج النبض والدور الذاتيين
- أن تبيّن أنّ طاقة الدارة تتناقص بسبب المقاومة وتنحفظ عند انعدامها
- أن توظّف التطابق بين الجملة الميكانيكية والجملة الكهربائية
- قانون جمع التوترات في دارة متسلسلة وقانون أوم
- سعة المكثفة والعلاقة بين شحنتها والتوتر بين طرفيها، وتوتر الوشيعة
- المعادلة التفاضلية للنواس المرن الأفقي وحلّها الجيبي
❓إشكالية: درسنا في الميكانيك جملة تهتزّ لأنّ قوّة إرجاع تعيدها دائما نحو وضع توازنها. سنرى الآن أنّ للكهرباء جملة تفعل الشيء نفسه: مكثفة تفرّغ شحنتها في وشيعة، فتردّها الوشيعة، وهكذا. وسنكتب لهذه الجملة معادلتها التفاضلية.
نشاط 1: ماذا يعرض راسم الاهتزاز عند تفريغ مكثفة في وشيعة ؟
📌التجربة:
- نحقّق دارة فيها مولّد ومكثفة ووشيعة وناقل أومي وبادلة ذات وضعين، ونعتبر مقاومة الدارة الكلّية مجموع مقاومة الناقل الأومي ومقاومة الوشيعة الداخلية.
- نضع البادلة في الوضع الأوّل فنشحن المكثفة بالمولّد، وننتظر تمام الشحن.
- نحوّل البادلة إلى الوضع الثاني، فتصير المكثفة والوشيعة والمقاومة وحدها في دارة مغلقة، ونوصل راسم اهتزاز بين طرفَي المكثفة.
- نعيد التجربة ثلاث مرّات: بمقاومة كبيرة، ثمّ بمقاومة صغيرة، ثمّ بمقاومة معدومة.
🔍الملاحظة: من أجل المقاومة الكبيرة يعود التوتر إلى الصفر دون أيّ تذبذب. ومن أجل المقاومة الصغيرة يتذبذب التوتر حول الصفر بسعة تتناقص، ويحيط بالمنحنى مغلَّفان متناظران يتقاربان. ومن أجل المقاومة المعدومة يتذبذب التوتر بسعة لا تتغيّر أبدا. والمدّة الفاصلة بين قمّتين متتاليتين متقاربة جدّا في الحالتين الأخيرتين.
| قيمة مقاومة الدارة | النظام الكهربائي | سعة التوتر | الدور |
|---|---|---|---|
| كبيرة | لا دوري | تعود إلى الصفر دون تذبذب | لا يوجد |
| صغيرة | شبه دوري متخامد | تتناقص تدريجيّا | شبه الدور، قريب من الدور الذاتي |
| معدومة | دوري غير متخامد | ثابتة | الدور الذاتي |
الدراسة التحليلية للدارة RLC
نطبّق قانون جمع التوترات على الحلقة المغلقة التي تضمّ المكثفة والوشيعة والناقل الأومي، ثمّ نستبدل كلّ توتر بعبارته بدلالة التوتر بين طرفَي المكثفة وحده. وهذا الاستبدال هو كلّ العمل: بعده لا يبقى في المعادلة إلّا مجهول واحد.
حلّ المعادلة في حالة إهمال التخامد
نضع الآن مقاومة الدارة معدومة، أي نعتبر دارة LC مثالية. يختفي الحدّ الأوسط، فتصير المعادلة من الشكل الذي التقيناه في الميكانيك بالضبط: مشتق ثان زائد مقدار مضروب في الدالّة نفسها. ومنه يكون الحلّ جيبيّا، ونستخرج النبض الذاتي بالمطابقة.
دارة مثالية مكوّنة من وشيعة ذاتيتها 0,10 H ومكثفة سعتها 10 µF، ومقاومتها مهمَلة.
🎯المطلوب: احسب الدور الذاتي والتواتر الذاتي لهذه الدارة
لأنّ الجداء LC هو ما يظهر تحت الجذر: نحسبه أوّلا بعد تحويل الميكروفاراد إلى الفاراد، أي بالضرب في 10⁻⁶
لأنّ جذر عدد أسّه زوجي يُحسب ذهنيّا: نصف الأسّ ونأخذ جذر المعامل
لأنّ الدور الذاتي هو 2π مضروبا في هذا الجذر
لأنّ التواتر مقلوب الدور: هو عدد الاهتزازات في الثانية، وقيمته هنا من رتبة المئة هرتز
نوصل مكثفة مجهولة السعة بوشيعة ذاتيتها 0,40 H ومقاومتها مهمَلة، ونقرأ على راسم الاهتزاز دورا ذاتيّا قدره 4,0 ms.
🎯المطلوب: عيّن سعة المكثفة انطلاقا من هذا القياس
لأنّ السعة تحت الجذر: نربّع طرفَي عبارة الدور لنُخرجها، فيظهر مربّع الدور ومربّع 2π
لأنّ استخراج السعة يكون بقسمة مربّع الدور على جداء 4π² في الذاتية
لأنّ مربّع الدور يساوي 1,6 × 10⁻⁵، ولأنّ 4π² تساوي 39,48 تقريبا فيصير المقام 15,79
لأنّ التحقّق العكسي يعيد الدور المقيس: 2π√(0,40 × 1,0 × 10⁻⁶) تساوي 4,0 ms
الدراسة الطاقوية للدارة
طاقة الدارة في أيّ لحظة هي مجموع طاقتين: طاقة كهربائية مخزّنة في المكثفة، وطاقة مغناطيسية مخزّنة في الوشيعة. ولنعرف هل تنحفظ هذه الطاقة أم لا، نشتقّ مجموعهما بالنسبة إلى الزمن ونستعمل المعادلة التفاضلية بدلالة الشحنة.
لأنّ الطرف الأيمن سالب دائما ما دامت المقاومة غير معدومة: الطاقة تتناقص باستمرار، وهذا هو الضياع بمفعول جول في المقاومة.
نعود إلى دارة المثال 1: وشيعة ذاتيتها 0,10 H ومكثفة سعتها 10 µF. نشحن المكثفة تحت توتر أعظمي قدره 6,0 V ثمّ نفرّغها في الوشيعة.
🎯المطلوب: احسب الشدّة العظمى للتيار الذي يجتاز الوشيعة
لأنّ التيار ينعدم في اللحظة التي يبلغ فيها التوتر قيمته العظمى: كلّ الطاقة عندئذ كهربائية، مخزّنة في المكثفة وحدها
لأنّ الطاقة محفوظة في غياب المقاومة: القيمة نفسها تصير كلّها مغناطيسية في اللحظة التي ينعدم فيها التوتر، وعندها تبلغ الشدّة قيمتها العظمى
لأنّ استخراج الشدّة يعطي جذر حاصل قسمة ضعف الطاقة على الذاتية
لأنّ الجذر يعطي 6,0 × 10⁻² أمبير، أي 60 ميلي أمبير: وهي رتبة معقولة تماما لدارة مخبرية
التطابق بين الجملة الميكانيكية والجملة الكهربائية
ليست المشابهة بين ما فعلناه في الميكانيك وما فعلناه هنا صدفة ولا مجازا: المعادلتان التفاضليتان من الشكل نفسه، والحلّان من الشكل نفسه. ويكفي أن نستبدل كلّ مقدار ميكانيكي بمقابله الكهربائي لننتقل من دراسة إلى أخرى.
| المقدار الميكانيكي (كتلة ونابض) | المقابل الكهربائي (دارة RLC) |
|---|---|
| المطال x | الشحنة q |
| السرعة dx/dt | شدّة التيار i |
| التسارع d²x/dt² | مشتق شدّة التيار di/dt |
| كتلة الجسم m | ذاتية الوشيعة L |
| ثابت المرونة k | مقلوب السعة 1/C |
نواس مرن كتلته 0,10 kg وثابت مرونة نابضه 40 N/m. نريد بناء دارة كهربائية مهتزّة مثالية يقابل كلّ مقدار فيها مقدارا من مقادير هذا النواس.
🎯المطلوب: حدّد ذاتية الوشيعة وسعة المكثفة، ثمّ تحقّق من أنّ الدورين متساويان
لأنّ الكتلة تقابل ذاتية الوشيعة في جدول التطابق: العدد نفسه، والوحدة تتغيّر من الكيلوغرام إلى الهنري
لأنّ ثابت المرونة يقابل مقلوب السعة لا السعة: نأخذ مقلوب 40، فنجد سعة قدرها 0,025 فاراد
لأنّ الدور الميكانيكي هو 2π في جذر حاصل قسمة الكتلة على ثابت المرونة
لأنّ الدور الكهربائي هو 2π في جذر جداء الذاتية في السعة، وهذا الجداء يساوي 0,10 مقسومة على 40، أي المقدار نفسه تحت الجذر: التطابق تامّ، لا تقريبي
Page 1/10
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net