النهايات
المستقيمات المقاربة: المقارب المائل و الوضع النسبي
الجواب في كلمة: الأساس ثلاث نهايات، لا أكثر. نهاية غير منتهية عند نقطة تعطي مستقيما عموديّا، نهاية منتهية عند اللانهاية تعطي مستقيما أفقيّا، و فرق يؤول إلى الصفر بين الدالّة و دالّة تآلفية يعطي مستقيما مائلا. و بعد إيجاد المستقيم، تبقى خطوة أخيرة: أين يقع المنحني بالنسبة إليه، فوقه أم تحته؟
- التعرّف على الأنواع الثلاثة للمستقيمات المقاربة انطلاقا من النهايات
- إثبات وجود مستقيم مقارب مائل بكتابة الدالّة في صورة مجموع حدّ خطّي و حدّ يؤول إلى الصفر
- دراسة الوضع النسبي لمنحنى بالنسبة إلى مستقيم مقارب مائل بدراسة إشارة الفرق بينهما
- توظيف هذه الأدوات في تفسير اقتصادي، كنهاية الكلفة المتوسّطة لوحدة منتجة
- حساب نهاية دالّة عند +∞، −∞ و عند نقطة، بما في ذلك الدوال الناطقة
- دراسة إشارة عبارة جبرية بسيطة، كفرق أو حاصل قسمة
1. الأنواع الثلاثة للمستقيمات المقاربة
لكلّ نوع من المستقيمات المقاربة نهاية مميّزة تكشفه، دون الحاجة لرسم المنحني أوّلا.
| النهاية | المستقيم المقارب |
|---|---|
| lim(x → a) f(x) = +∞ (أو −∞) | مستقيم عمودي: x = a |
| lim(x → +∞) f(x) = b (أو عند −∞) | مستقيم أفقي: y = b |
| lim(x → +∞) [f(x) − (a×x + b)] = 0 (أو عند −∞) | مستقيم مائل: y = a×x + b |
الدالّة f معرّفة على مجموعة الأعداد الحقيقية غير المعدومة.
🎯المطلوب: عيّن معادلات المستقيمات المقاربة لمنحنى الدالّة f.
نهاية غير منتهية عند نقطة تعطي مستقيما عموديّا عند تلك النقطة.
نهاية منتهية عند اللانهاية تعطي مستقيما أفقيّا.
2. المستقيم المقارب المائل
حين تُكتب الدالّة على صورة مجموع حدّ خطّي و حدّ إضافيّ يؤول إلى الصفر، يصبح المستقيم المقارب المائل ظاهرا مباشرة في تلك الكتابة.
إن تحقّق الشرطان معا (الصياغة، ثمّ اقتراب الحدّ الإضافيّ من الصفر)، فإنّ هذا المستقيم يكون مقاربا مائلا للمنحني عند +∞ (أو عند −∞ بنفس الطريقة).
الوضع النسبي لمنحنى بالنسبة إلى مستقيمه المقارب المائل
لمعرفة موقع المنحني بالنسبة إلى مستقيمه المقارب، ندرس إشارة الفرق بينهما.
حين يكون الفرق سالبا، يقع المنحني (C) تحت مستقيمه المقارب.
حين يكون الفرق موجبا، يقع المنحني (C) فوق مستقيمه المقارب.
المنحني الممثّل لدالّة f مرسوم في الشكل الآتي، مع رسم مستقيماته المقاربة الثلاثة بالأزرق.
و من معادلات هذه المستقيمات الثلاثة نستنتج نهايات f مباشرة، بقراءة بيانية أيضا.
الدالّة f معرّفة على مجموعة الأعداد الحقيقية غير المعدومة.
🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيم Δ ذا المعادلة y = −x + 2 مستقيم مقارب مائل للمنحني عند +∞ و عند −∞، ثمّ ادرس الوضع النسبي.
نحسب الفرق بين الدالّة و المستقيم المرشّح مباشرة.
مربّع في المقام يؤول إلى اللانهاية، فمقلوبه يؤول إلى الصفر.
و نفس النتيجة عند −∞، لأنّ x² موجب في الحالتين.
الفرق يؤول إلى الصفر من الجهتين معا.
المربّع في المقام موجب تماما مهما كانت إشارة x غير المعدوم، فالكسر كلّه موجب تماما.
ورشة تنتج أقلاما بكلفة إجمالية معطاة بدلالة الكمّية المنتجة، بالدينار الجزائري، من أجل كمّية موجبة تماما.
🎯المطلوب: عيّن الكلفة المتوسّطة لوحدة بدلالة الكمّية المنتجة، ثمّ أدرس نهايتها عند +∞ و فسّرها اقتصاديا.
الكلفة المتوسّطة لوحدة هي نسبة الكلفة الإجمالية على الكمّية.
نفصل الكسر إلى حدّين.
مقلوب q يؤول إلى الصفر عند اللانهاية.
نهاية منتهية عند اللانهاية: مستقيم مقارب أفقيّ.
دالّة f معرّفة على المجال الموجب من مجموعة الأعداد الحقيقية، و رسمها على شاشة حاسبة أو مجدول يوحي بوجود مستقيم مقارب مائل عند +∞.
🎯المطلوب: تحقّق من الهوية المعطاة لعبارة الدالّة f، ثمّ استنتج معادلة المقارب المائل عند +∞ و ادرس الوضع النسبي.
نتحقّق من الكتابة المقترحة بضرب (2x−1) في (x²+1) ثمّ إضافة 2.
مقام يؤول إلى اللانهاية، فالكسر كلّه يؤول إلى الصفر.
الفرق بين f و المستقيم المرشّح هو بالضبط هذا الحدّ الإضافي.
مجموع مربّع و واحد موجب تماما دائما، فالكسر كلّه موجب تماما.
الصفحة 1/9
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net