مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الاحتمالات الاحتمالات المتساوية على مجموعة منتهية

الاحتمال الشرطي

🔊 المعلّمة تقرأ لك
في مجموعة من التلاميذ ناجحين في الرياضيات، نسبة الذين نجحوا أيضا في الفيزياء ليست بالضرورة نفس نسبة النجاح في الفيزياء بين كل التلاميذ. فكيف نحسب احتمال حادثة B إذا علمنا مسبقا أنّ حادثة أخرى A قد تحقّقت؟

حين نعلم أنّ حادثة A قد تحقّقت، يتغيّر عادة احتمال حادثة أخرى B: هذا هو الاحتمال الشرطي. هو أداة أساسية كلّما توفّرت معلومة جزئية عن نتيجة تجربة قبل السؤال عن حادثة أخرى منها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف الاحتمال الشرطي ⁦p(B|A)⁩ بواسطة الدستور ⁦p(A∩B)/p(A)⁩
  • استعمال صيغة العدّ في حالة تساوي الاحتمال
  • التمييز بين ⁦p(B|A)⁩ و ⁦p(A|B)⁩، و استعمال الصيغتين الناتجتين عن التعريف
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف قانون احتمال، و شرطاه: ⁦0 ≤ pᵢ ≤ 1⁩ و ⁦Σpᵢ = 1⁩
  • حساب احتمال حادثة في حالة تساوي الاحتمال بالعدّ
  • حساب احتمال تقاطع حادثتين ⁦p(A∩B)⁩ بالعدّ أو بالمعطى

1. تعريف الاحتمال الشرطي

نعتبر تجربة عشوائية مجموعة نتائجها E و قانون احتمالها P، و A و B حادثتين من E بحيث احتمال A غير معدوم. يُرمز لاحتمال تحقّق B علما أنّ A محقّقة بالرمز ⁦p(B|A)⁩.

تعريف الاحتمال الشرطي

⭐ نقتصر تفكيرنا على الحادثة A فقط، كأنّها أصبحت هي المجموعة الشاملة الجديدة، ثمّ نسأل عن حصّة B داخلها.

p(B|A) = p(A∩B)p(A)
p(B|A)احتمال تحقّق B علما أنّ A محقّقةp(A∩B)احتمال تحقّق A و B معا
حالة خاصّة: تساوي الاحتمال

عندما تكون كل نتائج E متساوية الاحتمال، تختصر النسبة إلى عدّ العناصر: عدد عناصر ⁦A∩B⁩ على عدد عناصر A فقط، دون المرور بالاحتمالات صراحة.

p(B|A) = |A∩B||A|

من دستور التعريف تنتج مباشرة صيغتان لاحتمال التقاطع، حسب الحادثة التي نعتبرها شرطا:

الصيغة الأولى لاحتمال التقاطع
p(A∩B) = p(A) × p(B|A)
الصيغة الثانية لاحتمال التقاطع
p(A∩B) = p(B) × p(A|B)
⛔ ⁦p(B|A)⁩ و ⁦p(A|B)⁩ عددان مختلفان في الغالب. لا يوجد سبب رياضي يجعلهما متساويين إلا في حالات خاصّة، فلا تخلط أبدا بين الشرط و النتيجة.
مثال 1: احتمال شرطي على نرد بحالة تساوي الاحتمال

نرمي حجر نرد متوازنا ذا ستّة أوجه، و نعتبر الحادثتين A «الحصول على رقم فردي» و B «الحصول على مضاعف للعدد 3».

🎯المطلوب: احسب الاحتمال الشرطي ⁦p(B|A)⁩.

📌المعطى: الحادثتان على نرد سداسي

نكتب عناصر كل حادثة: A هي الأرقام الفردية من 1 إلى 6، و B هي مضاعفات 3.

A = {1 ; 3 ; 5} , B = {3 ; 6}
🔹الخطوة 1: تحديد التقاطع

نأخذ العناصر المشتركة بين المجموعتين.

A ∩ B = {3}
🔹الخطوة 2: احتمالا A و ⁦A∩B⁩

نحسب احتمال كل من A و ⁦A∩B⁩ بالعدّ، لأنّ النرد متوازن (تساوي الاحتمال).

p(A) = 36 ; p(A∩B) = 16
✅النّتيجة

نطبّق التعريف: احتمال التقاطع على احتمال A، و هو هنا عدد عناصر التقاطع على عدد عناصر A.

p(B|A)=1636=13
⭐ تحقّق دائما من الحادثة أولا حرفيا قبل أيّ حساب: A تعني «فردي»، فعناصرها هي بالضبط الأرقام الفردية بين 1 و6 — الخطأ الأكثر شيوعا هو الخلط بين حادثة و مجموعة أخرى تشبهها في العدد لا في التعريف.
مثال 2: التمييز بين ⁦p(B|A)⁩ و ⁦p(A|B)⁩ في نفس الوضعية

في قسم من 30 تلميذا، 18 تلميذا ذكور من بينهم 6 يضعون نظّارات، و 10 تلاميذ يضعون نظّارات في المجموع (ذكورا و إناثا). نختار تلميذا عشوائيا، و نعتبر A «التلميذ ذكر» و B «التلميذ يضع نظّارات».

🎯المطلوب: احسب ⁦p(B|A)⁩ ثمّ ⁦p(A|B)⁩، و قارن بينهما.

📌المعطى: تعداد قسم من 30 تلميذا

نكتب المعطيات المعدودة: 30 تلميذا، 18 ذكرا من بينهم 6 يضعون نظّارات، و 10 تلاميذ يضعون نظّارات في المجموع.

|A| = 18 ; |B| = 10 ; |A∩B| = 6
🔹الخطوة 1: احتمالات A و B و ⁦A∩B⁩

نحسب احتمالات A و B و تقاطعهما بقسمة كل تعداد على 30.

p(A) = 1830 = 35 ; p(B) = 1030 = 13 ; p(A∩B) = 630 = 15
🔹الخطوة 2: الاحتمال الشرطي ⁦p(B|A)⁩

نقسم احتمال التقاطع على احتمال A، لأنّ الشرط هنا هو A.

p(B|A)=1535=13
🔹الخطوة 3: الاحتمال الشرطي ⁦p(A|B)⁩

نقسم احتمال التقاطع على احتمال B هذه المرّة، لأنّ الشرط تغيّر إلى B.

p(A|B)=1513=35
✅النّتيجة

العددان مختلفان تماما رغم أنّهما مبنيّان على نفس التقاطع: هذا يؤكّد أنّ الشرط يغيّر المعنى.

p(B|A)=13 ≠ p(A|B)=35
⭐ هذا المثال هو أفضل حماية من الخلط بين الصيغتين: نفس التقاطع بالضبط (6 تلاميذ)، لكن القسمة على 18 أو على 10 تعطي عددين مختلفين جدّا — القاسم هو الذي يحدّد أيّ احتمال شرطي نحسب.
مثال 3: إيجاد احتمال التقاطع من احتمال شرطي معطى

نعلم أنّ احتمال حادثة A يساوي 0,4، و أنّ الاحتمال الشرطي لتحقّق حادثة B علما أنّ A محقّقة يساوي 0,25.

🎯المطلوب: احسب احتمال تحقّق A و B معا.

📌المعطى: احتمال A و احتمال شرطي

نكتب المعطيين مباشرة: احتمال A، ثمّ احتمال B شرط تحقّق A.

p(A) = 0,4 ; p(B|A) = 0,25
🔹الخطوة 1: تطبيق صيغة التقاطع

نستعمل الصيغة الأولى لاحتمال التقاطع: نضرب احتمال A في الاحتمال الشرطي.

p(A∩B)=p(A) × p(B|A)=0,4 × 0,25
✅النّتيجة

نحسب هذا الجداء.

p(A∩B) = 0,1
⭐ الصيغة ⁦p(A∩B)=p(A)×p(B|A)⁩ تُستعمل غالبا في الاتجاه المعاكس لتعريفها: بدل قسمة معطاة لإيجاد احتمال شرطي، نضرب احتمالا شرطيا معطى لإيجاد التقاطع.
مثال 4: احتمال شرطي في وضعية رمي نردين

نرمي حجري نرد متوازنين مرّة واحدة، و نلاحظ الرقمين الظاهرين على كل منهما. نعتبر الحادثتين A «مجموع الرقمين زوجي» و B «الحصول على 6 على الأقلّ في أحد النردين».

🎯المطلوب: احسب الاحتمال الشرطي لحادثة B علما أنّ A محقّقة.

🔹الخطوة 1: عدد الحالات الممكنة

نعدّ الحالات الممكنة الكلّية: كل نرد له 6 أوجه، و النردان مستقلّان.

|E|=6 × 6=36
🔹الخطوة 2: عدد عناصر A

من بين الحالات الـ36، نعدّ التي يكون فيها المجموع زوجيا.

|A| = 18
🔹الخطوة 3: عدد عناصر ⁦A∩B⁩

من بين حالات A، نعدّ التي تحقّق أيضا ظهور 6 على الأقلّ في أحد النردين.

|A∩B| = 5
✅النّتيجة

نطبّق دستور تساوي الاحتمال: عدد عناصر ⁦A∩B⁩ على عدد عناصر A.

p(B|A) = 518
⭐ في وضعية تساوي الاحتمال، أسرع طريق هو العدّ المباشر: لا حاجة لحساب ⁦p(A)⁩ و ⁦p(A∩B)⁩ كنسبتين منفصلتين ثمّ قسمتهما — قسمة التعدادين مباشرة (5 على 18) تعطي نفس النتيجة بخطوة واحدة أقلّ.
الاحتمال الشرطي ⁦p(B|A)⁩ يقارن مساحة ⁦A∩B⁩ بمساحة A وحدها، لا بمساحة المستطيل E كلّه.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في سؤال من نوع: «احسب احتمال B علما أنّ A تحقّقت»، أو في الاتّجاه المعاكس: يُعطى احتمال شرطيّ ويُطلب احتمال التقاطع. جهّز ثلاثة عناصر: ① التعريف: ⁦p(B|A) = p(A∩B)/p(A)⁩، ويقيس احتمال B بعد أن نعلم أنّ A تحقّقت ؛ ② حالة تساوي الاحتمال: ⁦p(B|A) = |A∩B|/|A|⁩، أي عدد عناصر ⁦A∩B⁩ على عدد عناصر A ؛ ③ صيغتا التقاطع: ⁦p(A∩B) = p(A) × p(B|A) = p(B) × p(A|B)⁩، وهما أداتك كلّما أُعطي احتمال شرطيّ وطُلب التقاطع أو العكس. ⚠️ الخطأ الشائع: الخلط بين ⁦p(B|A)⁩ و ⁦p(A|B)⁩ ؛ هما عددان مختلفان في الغالب، فحدّد أوّلا أيّ الحادثتين هي الشرط، أي المعلومة التي تحقّقت. ⚠️ وخطأ ثانٍ: القسمة على عدد عناصر المجموعة كلّها بدل عدد عناصر A في حالة تساوي الاحتمال.
الخلاصة: الاحتمال الشرطي ⁦p(B|A)=p(A∩B)/p(A)⁩ يقيس احتمال B بعد أن نعلم أنّ A تحقّقت، و في حالة تساوي الاحتمال يُختصر إلى عدّ عناصر ⁦A∩B⁩ على عدد عناصر ⁦A⁩. ⁦p(B|A)⁩ و ⁦p(A|B)⁩ عددان مختلفان في الغالب، و من تعريف كل منهما تُشتقّ صيغتا حساب التقاطع ⁦p(A∩B)=p(A)×p(B|A)=p(B)×p(A|B)⁩ — الأداة التي نستعملها كلّما أعطينا احتمالا شرطيا و طُلب منّا التقاطع، أو العكس.

الصفحة 1/6

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net