الدوال العددية (الاشتقاقية والاستمرارية) › المعادلات التفاضلية
حل معادلة تفاضلية من الشكل y′ = f(x)
كلّ الفصل يقوم على ملاحظة واحدة: الاشتقاق عملية لها عكس. إذا كان x² مشتقّته 2x، فمن 2x نستطيع الرجوع إلى x². الرجوع هذا ليس دائما سهلا، لكنّه دائما ممكن للدوال المستمرّة — و هو موضوع الدرس.
- تعريف المعادلة التفاضلية و التحقّق من أنّ دالة حلّ لها
- قراءة جدول المشتقّات في الاتّجاه العكسي
- حلّ معادلة تفاضلية من الشكل y′ = f(x) بإيجاد كلّ الحلول
- تعيين الحلّ الوحيد الذي يحقّق شرطا ابتدائيا
- جدول مشتقّات الدوال المألوفة
- اشتقاق مجموع دالتين و جداء دالة في عدد
1. ما هي المعادلة التفاضلية
في معادلة عادية المجهول عدد. في معادلة تفاضلية المجهول دالة، و المعادلة تربط هذه الدالة بمشتقّاتها:
نسمّي حلّا للمعادلة على مجال I كلّ دالة تحقّقها في كلّ نقطة من I. لاحظ أنّ الحلّ دالة، لا عدد: هذا هو الفرق الوحيد الذي يهمّ.
إذن الدالة x ↦ 1 + sin x حلّ في ℝ للمعادلة التفاضلية y' = cos x. للتحقّق من أنّ دالة حلّ، اشتقّها و قارن: لا شيء آخر.
2. جدول المشتقّات، مقروءا من اليمين إلى اليسار
لحلّ المعادلة نحتاج، من أجل كلّ دالة f، دالة مشتقّتها هي f. و الجدول الذي تحفظه منذ العام الماضي يعطيها إذا قرأته بالمقلوب:
من أجل كلّ عدد طبيعي n. تحقّق بالاشتقاق: الأسّ ينزل معاملا فيبسّط المقام، و ينقص بواحد فيعود إلى n.
الأولى هي حالة n = 0، و الثانية حالة n = 1. لا تحفظهما على حدة.
⚠️ هاتان على مجال لا يحتوي الصفر: ]0 ; +∞[ أو ]-∞ ; 0[ للأولى، و ]0 ; +∞[ وحده للثانية.
⛔ العلامة السالبة في الثانية هي الخطأ الأكثر تكرارا في الباكالوريا. مشتقّة sin هي cos، لكنّ مشتقّة cos هي ناقص sin — فالرجوع يقلب العلامة.
3. المبرهنة: كلّ الحلول دفعة واحدة
الأمر الجوهري ليس أنّ للمعادلة حلاّ، بل أنّ لها عائلة كاملة من الحلول، و أنّ هذه العائلة معروفة تماما:
بشرط أن تكون f مستمرّة على المجال. الثابت c ليس تفصيلا: هو الذي يجعل الحلول لانهائية العدد. نسيانه يعني إعطاء حلّ واحد بدل عائلة.
و السبب بسيط: مشتقّة الثابت معدومة، فإضافة أيّ ثابت إلى حلّ تعطي حلاّ آخر. و العكس صحيح أيضا — دالتان لهما المشتقّة نفسها على مجال لا تختلفان إلاّ بثابت.
4. الشرط الابتدائي: اختيار حلّ واحد
العائلة اللانهائية لا تنفع في وضعية حقيقية: السيارة قطعت مسافة واحدة، لا مسافات. المعطى الذي يحسم يُسمّى الشرط الابتدائي، و هو قيمة الدالة عند نقطة واحدة:
نكتب الحلّ العامّ، نعوّض بالنقطة المعلومة، فنستخرج c. حلّ وحيد يمرّ من النقطة المعطاة، و لهذا يقول الفيزيائي إنّ الشرط الابتدائي « يعيّن الحركة ».
و التفسير بياني: منحنيات الحلول كلّها متطابقة، منقولة بعضها عن بعض عموديا. الشرط الابتدائي يعطي نقطة، و نقطة واحدة تكفي لاختيار منحنى واحد من المشط — كما في الرسم المقابل:
تسير سيارة بسرعة 90 كيلومترا في الساعة، ثمّ تتسارع بتسارع ثابت مدّة 5 ثوان حتّى تبلغ 135 كيلومترا في الساعة. نرمز بـ x إلى المسافة المقطوعة بالمتر و بـ v إلى السرعة بالمتر في الثانية.
🎯المطلوب: احسب المسافة المقطوعة خلال هذه الثواني الخمس.
نحوّل السرعتين إلى المتر في الثانية قبل أيّ حساب: الكيلومتر في الساعة هو ألف متر على 3600 ثانية، أي القسمة على 3,6.
التسارع ثابت، فهو تغيّر السرعة على المدّة.
السرعة دالة مشتقّتها التسارع، و قيمتها الابتدائية 25.
و المسافة دالة مشتقّتها السرعة. نطبّق قاعدة القوى حدّا حدّا: الأسّ يزيد بواحد و نقسم على الأسّ الجديد.
نحسب المعامل، ثمّ نستعمل الشرط الابتدائي: عند مبدأ الأزمنة لم تُقطع أيّ مسافة.
نعوّض بالثانية الخامسة.
نحسب كلّ حدّ على حدة قبل أن نجمع.
نحسب الحدّين ثمّ نجمع.
نعتبر المعادلة التفاضلية y' = 3x² - 2x + 5.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة التفاضلية، ثمّ عيّن الحلّ F الذي يحقّق F(1) = -2.
نبحث عن دالة مشتقّتها هي الطرف الأيمن، حدّا حدّا.
نتحقّق بالاشتقاق قبل المضيّ.
نعوّض بالشرط المعطى في الحلّ العامّ.
و هذا يساوي ناقص اثنين حسب المعطى.
نُعيد كتابة الحلّ بالثابت المعيّن.
نعتبر المعادلة التفاضلية y' = 1/x².
🎯المطلوب: حلّ المعادلة التفاضلية، مع تحديد مجال كلّ حلّ.
نبحث عن دالة مشتقّتها مقلوب مربّع المتغيّر.
نتحقّق: مشتقّة ناقص مقلوب x هي مقلوب مربّع x.
المقام ينعدم عند الصفر، فالمجال مقطوع إلى قسمين.
و لكلّ مجال ثابته الخاصّ: لا شيء يربط أحدهما بالآخر.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net