الدالتان الأسية واللوغاريتمية › الدالة الأسية نظريات و تعاريف
الدالة الأسية: نظرية الوجود، التعريف و الوحدانية
الجواب نعم، و ليس بالتجريب: مبرهنة تُثبت أنّ دالة كهذه توجد، و أنّها وحيدة بمجرّد تثبيت قيمتها عند الصفر. تلك الدالة هي الدالة الأسّية، و هي محور هذه السنة.
- ذكر مبرهنة وجود و وحدانية الدالة الأسّية و شرطَيها
- استعمال النتيجتين exp(0) = 1 و exp'(x) = exp(x)
- تطبيق الخواص الجبرية الخمس للدالة الأسّية
- الانتقال بين الترميزين exp(x) و ex
- حساب مشتقّة دالة، و مشتقّة حاصل قسمة
- قواعد القوى ذات الأسّ الصحيح النسبي
1. المبرهنة و التعريف
شرطان اثنان لا ثالث لهما: أن تساوي الدالة مشتقّتها، و أن تأخذ القيمة 1 عند الصفر. هذان الشرطان يعيّنان دالة واحدة لا غير:
توجد دالة وحيدة f قابلة للاشتقاق على ℝ تحقّق هذين الشرطين. نرمز إليها بـ exp و نسمّيها الدالة الأسّية النيبيرية.
بعبارة أخرى: الدالة الأسّية هي الحلّ الخاصّ للمعادلة التفاضلية y' = y الذي يحقّق y(0) = 1. الشرط الأوّل يختار عائلة من الدوال، و الشرط الثاني يختار واحدة منها.
الأولى هي شرط التعيين نفسه، و الثانية هي تعريف الدالة. من حفظهما استغنى عن جدول المشتقات في نصف الحالات.
2. الخواص الجبرية
خمس خواص، و هي في الحقيقة قواعد القوى نفسها التي تعرفها منذ سنوات، منقولة إلى الأسّية:
الأسّية لا تنعدم أبدا. هذه أهمّ خاصية عمليّا: تسمح بالقسمة على exp(x) و بالضرب في البسط و المقام دون أيّ شرط.
الأسّ المعاكس يعطي المقلوب — تماما كما أنّ 2⁻³ يساوي مقلوب 2³.
هذه هي الخاصية الأمّ: الأسّية تحوّل الجمع إلى جداء. كلّ الخواص الأخرى تُشتقّ منها.
نتيجة مباشرة للخاصيتين 2 و 3: طرح في الأسّ يقابل قسمة في الصورة.
من أجل كلّ عدد صحيح نسبي n. الضرب في عدد صحيح يقابل رفعا إلى قوّة.
3. العدد e و الترميز ex
صورة العدد 1 بالدالة الأسّية عدد شهير، يُرمز إليه بـ e:
عدد غير ناطق، كما هو الحال بالنسبة لـ π. الحاسبة تعطيه بمفتاح مباشر.
بتطبيق الخاصية 5 على x = 1 نجد، من أجل كلّ عدد صحيح نسبي n، أنّ exp(n) = en. و اصطلاحا نمدّد هذه الكتابة إلى كلّ عدد حقيقي:
تُقرأ « e أسّية x ». الكتابتان تعنيان الشيء نفسه تماما، و الاصطلاح متلائم مع قواعد القوى عندما يكون الأسّ عددا صحيحا.
و تُعاد الخواص الخمس بهذا الترميز، فتصير مألوفة تماما:
اقرأها مرّة واحدة و قارنها بقواعد القوى: لا جديد فيها إلاّ أنّ الأسّ صار عددا حقيقيا أيّا كان، لا عددا صحيحا فحسب.
نعتبر العدد A = e⁵ × e⁻² ÷ e⁴.
🎯المطلوب: اكتب العدد A على صيغة قوّة واحدة للعدد e، ثمّ أعط قيمة مقرّبة له.
نجمع الأسّين عند الجداء.
نطرح الأسّين عند القسمة.
الأسّ سالب، فالنتيجة مقلوب.
نعتبر الدالة f المعرّفة على ℝ بـ f(x) = (ex - 1)/(ex + 1).
🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالة f فردية.
نعوّض x بـ -x في عبارة الدالة.
نضرب البسط و المقام في ex، و هو غير معدوم حسب الخاصية 1.
البسط صار معاكس البسط الأوّل، و المقام لم يتغيّر.
نعتبر الدالة f المعرّفة على ℝ بـ f(x) = (3ex - 1)/(ex + 1).
🎯المطلوب: بيّن أنّه من أجل كلّ عدد حقيقي x لدينا f(-x) + f(x) = 2، ثمّ فسّر النتيجة بيانيا.
نعوّض x بـ -x ثمّ نضرب البسط و المقام في ex.
للكسرين نفس المقام، فنجمع البسطين كما هما.
نُخرج 2 عاملا مشتركا في البسط، فيُبسّط المقام.
الصفحة 1/7
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net