الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدالتان الأسية واللوغاريتمية الدالة الأسية تغيرات و النهايات

دراسة الدالة ⁦exp ∘ u⁩

🔊 المعلّمة تقرأ لك

الدوال التي نصادفها في التمارين نادرا ما تكون e^x وحدها: نجد ⁦exp(-x + 2)⁩، أو ⁦exp(x² - 1)⁩، أو أسّية مركّبة مع مقلوب. في كلّ هذه الحالات هناك دالة داخليّة u تدخل في الأسّ. فكيف ندرس دالة أسّية مركّبة دون أن نعيد البرهان في كلّ مرّة؟

ثلاث قواعد تكفي، و كلّها مبنيّة على شيء واحد: الأسّية متزايدة تماما و قابلة للاشتقاق على ℝ. فما تفعله u، تفعله exp ∘ u في الاتّجاه نفسه.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

حساب نهاية دالة على صيغة exp ∘ u باستعمال نهاية دالة مركّبة
استنتاج اتجاه تغيّر exp ∘ u من اتجاه تغيّر u
حساب مشتقّة دالة على صيغة exp ∘ u
دراسة دالة أسّية مركّبة دراسة كاملة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

نهاية دالة مركّبة و اتجاه تغيّر دالة مركّبة
حساب مشتقّة دالة مركّبة

1. النهايات

نستعمل مبرهنة نهاية دالة مركّبة: نحسب أوّلا نهاية الدالة الداخليّة، ثمّ نحسب نهاية الأسّية عند تلك القيمة.

المبدأ

الترتيب مهمّ: الداخليّة أوّلا، ثمّ الخارجيّة. و القيمة b قد تكون عددا أو لانهاية.

lim(x → a) u(x) = b ; lim(X → b) exp(X) = c ⟹ lim(x → a) exp(u(x)) = c

⛔ لا تحسب النهاية « دفعة واحدة ». اكتب سطرين منفصلين: سطر لنهاية u، و سطر لنهاية الأسّية عند تلك النهاية. هذا هو الشكل المطلوب في التصحيح.

2. اتجاه التغيّر

الخاصية

إذا كانت u معرّفة على مجال I، فللدالتين u و exp ∘ u نفس اتجاه التغيّر على I. السبب: الأسّية متزايدة تماما، و تركيب دالة مع دالة متزايدة تماما يحفظ الاتّجاه.

u ↗ ⟹ exp ∘ u ↗ ; u ↘ ⟹ exp ∘ u ↘

عمليّا: ادرس u وحدها — و هي غالبا كثير حدود بسيط — ثمّ انقل جدولها كما هو. لا حاجة لاشتقاق المركّب من أجل معرفة الاتّجاه فقط.

3. المشتقّة

قاعدة الاشتقاق

إذا كانت u قابلة للاشتقاق على مجال I، فـ exp ∘ u قابلة للاشتقاق على I. لاحظ أنّ الأسّية تبقى كما هي، و يظهر العامل ⁦u'(x)⁩ أمامها.

(exp ∘ u)'(x) = u'(x) × exp(u(x))

⛔ الخطأ الأكثر تكرارا: نسيان العامل ⁦u'(x)⁩. مشتقّة ⁦exp(x²)⁩ ليست ⁦exp(x²)⁩، بل ⁦2x × exp(x²)⁩. اكتب سطر التعرّف — u هي كذا، و u' هي كذا — قبل أن تشتقّ.

منحنيان في نفس المعلم: منحنى الدالة الأسّية العادية يتزايد نحو اليمين، ومنحنى الدالة الأسّية المركّبة بدالة متناقصة يتناقص نحو اليمين ويلتصق بمحور الفواصل، وهما يتقاطعان في نقطة واحدة. — ما يتغيّر بالتركيب ليس شكل المنحنى بل الجهة التي يقترب فيها من مقاربه.

مثال 1: نهايتان لدالة مركّبة

نعتبر الدالة f المعرّفة على ℝ بـ ⁦f(x) = exp(-x + 2)⁩.

🎯المطلوب: احسب نهايتَي الدالة f عند -∞ و عند +∞، ثمّ فسّر النتيجة الثانية بيانيا.

🔹الخطوة 1: الداخليّة عند -∞

نحسب أوّلا نهاية الداخليّة عند -∞.

lim(x → -∞) (-x + 2) = +∞

🔹الخطوة 2: الخارجيّة

ثمّ نهاية الأسّية عند +∞.

lim(X → +∞) exp(X) = +∞

🔹الخطوة 3: الداخليّة عند +∞

نعيد نفس العمل في الجهة الأخرى.

lim(x → +∞) (-x + 2) = -∞

✅النّتيجة

نهاية الأسّية عند -∞ هي الصفر.

lim(x → -∞) f(x) = +∞ ; lim(x → +∞) f(x) = 0

النتيجة الثانية تعني أنّ المنحنى يقبل محور الفواصل مستقيما مقاربا عند +∞. لاحظ الانقلاب: إشارة السالب أمام x قلبت الجهتين مقارنة بالأسّية العادية.

مثال 2: اتجاه التغيّر بالتركيب

نعتبر الدالة f المعرّفة على ℝ بـ ⁦f(x) = exp(x² - 1)⁩.

🎯المطلوب: أدرس اتجاه تغيّر الدالة f على ℝ.

🔹الخطوة 1: التعرّف

نتعرّف على الدالة الداخليّة.

u(x) = x² - 1

🔹الخطوة 2: تغيّرات u قبل الصفر

مشتقّة الداخليّة هي ⁦u'(x) = 2x⁩، و هي سالبة قبل الصفر.

x ∈ ]-∞ ; 0] ⟹ u'(x) ≤ 0

🔹الخطوة 3: تغيّرات u بعد الصفر

و موجبة بعده، فتنقلب الجهة.

x ∈ [0 ; +∞[ ⟹ u'(x) ≥ 0

✅النّتيجة

التركيب مع الأسّية يحفظ الاتّجاه في المجالين.

x ∈ ]-∞ ; 0] ⟹ f ↘ ; x ∈ [0 ; +∞[ ⟹ f ↗

لم نشتقّ f و لم نحتج إليها: دراسة u وحدها كافية. القيمة الحدّية الدنيا هي ⁦f(0) = exp(-1)⁩، أي مقلوب e.

مثال 3: مشتقّتان

نعتبر الدالتين f و g المعرّفتين بـ ⁦f(x) = exp(x² + x + 1)⁩ على ℝ و ⁦g(x) = exp(1/x)⁩ على ℝ*.

🎯المطلوب: احسب مشتقّة كلّ من الدالتين f و g.

🔹الخطوة 1: التعرّف على الأولى

الدالة الداخليّة كثير حدود، و مشتقّتها مباشرة.

u(x) = x² + x + 1 ; u'(x) = 2x + 1

🔹الخطوة 2: المشتقّة الأولى

نطبّق القاعدة: المشتقّة الداخليّة أمام الأسّية.

f'(x)=(2x + 1) × exp(x² + x + 1)

🔹الخطوة 3: التعرّف على الثانية

الدالة الثانية معرّفة على ℝ* لأنّ المقلوب يمنع الصفر.

v(x) = 1x ; v'(x) = -1x²

✅النّتيجة

نطبّق القاعدة نفسها.

g'(x)=(-1x²) × exp(1x)

الأسّية لا تتغيّر أبدا عند الاشتقاق: تبقى كما هي، حرفا بحرف. كلّ العمل في العامل ⁦u'(x)⁩ الذي يظهر أمامها — و هو وحده مصدر الأخطاء.

كلّ دراسة دالة في الباكالوريا تحتوي مركّبا أسّيا واحدا على الأقلّ. اكتب سطر التعرّف قبل أيّ حساب: « نضع ⁦u(x) = …⁩ فتكون ⁦u'(x) = …⁩ ». هذا السطر يُنقّط، و هو الذي يمنع نسيان العامل ⁦u'(x)⁩ الذي يكلّف أكثر من نصف علامة السؤال.

الخلاصة: ثلاث قواعد لا رابعة لها. النهاية تُحسب على مرحلتين، الداخليّة ثمّ الخارجيّة. اتجاه التغيّر هو اتجاه u نفسه. و المشتقّة هي الأسّية كما هي، مضروبة في ⁦u'(x)⁩.

الصفحة 1/7