الدالتان الأسية واللوغاريتمية › الدالة الأسية تغيرات و النهايات
النهايات و التمثيل البياني للدالة الأسية
النهايتان تُبرهنان، لا تُقبلان: البرهان يقارن ex بـ x، و هي مقارنة سنعيد استعمالها طوال السنة.
- حساب نهايتَي الدالة الأسّية عند -∞ و +∞
- قراءة جدول تغيّرات الدالة الأسّية و تعيين مستقيمها المقارب
- كتابة معادلة المماس للمنحنى عند النقطة ذات الفاصلة 0
- توظيف النهاية الشهيرة و التقريب التآلفي بجوار الصفر
- حساب النهايات و تفسيرها بيانيا
- معادلة المماس لمنحنى عند نقطة
1. النهايتان
ندرس الدالة g المعرّفة على [0 ; +∞[ بـ g(x) = ex - x. مشتقّتها ex - 1 موجبة لأنّ ex ≥ 1 على هذا المجال، و g(0) = 1، إذن g(x) ≥ 0 أي ex ≥ x. و بما أنّ x تؤول إلى +∞ فكذلك ex.
بل إنّ المتباينة صحيحة من أجل كلّ عدد حقيقي. ندرس الدالة d المعرّفة على ℝ بـ d(x) = ex − x. مشتقّتها d′(x) = ex − 1 سالبة تماما من أجل x < 0 لأنّ ex < 1، و موجبة تماما من أجل x > 0، و تنعدم عند الصفر: d متناقصة ثمّ متزايدة، و قيمتها الحدّية الدنيا d(0) = e⁰ − 0 = 1. إذن d(x) ≥ 1 > 0 من أجل كلّ x، أي ex > x على ℝ كلّه.
نكتب ex = 1/e⁻x. لمّا يؤول x إلى -∞ يؤول -x إلى +∞، فيؤول e⁻x إلى +∞، و منه يؤول مقلوبه إلى الصفر.
2. جدول التغيّرات
المشتقّة هي الدالة نفسها، و هي موجبة تماما، فالجدول لا يحتوي أيّ تغيّر في الاتّجاه:
- السطر الأوّل: الفواصل، من -∞ إلى +∞ مرورا بالصفر
- السطر الثاني: إشارة المشتقّة، موجبة تماما في كلّ مكان — لا صفر و لا انقطاع
- السطر الثالث: القيم، من 0 صعودا إلى 1 عند الصفر ثمّ صعودا إلى +∞
و منه ثلاث قراءات بيانية مباشرة:
- الدالة متزايدة تماما على ℝ كلّه، دون أيّ قيمة حدّية
- المنحنى يقبل محور الفواصل مستقيما مقاربا لمّا يؤول x إلى -∞، لأنّ النهاية هناك صفر
- المنحنى يقع كلّه فوق محور الفواصل، لأنّ ex > 0
3. المماس عند الصفر و التقريب التآلفي
عند النقطة ذات الفاصلة 0 لدينا صورة معلومة و عدد مشتقّ معلوم، فالمماس يُكتب فورا:
نطبّق y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀) عند x₀ = 0: العدد المشتقّ exp'(0) = e⁰ = 1، و الصورة exp(0) = 1، فتصير المعادلة y = 1 × x + 1.
و من تعريف العدد المشتقّ عند الصفر تُقرأ نهاية شهيرة، تُستعمل في كلّ رفع لعدم تعيين من النوع صفر على صفر:
النسبة هي بالضبط [exp(0 + x) - exp(0)]/x، و نهايتها لمّا يؤول x إلى الصفر هي العدد المشتقّ exp'(0)، أي 1.
من أجل x قريب من الصفر. الدالة التآلفية x ↦ 1 + x هي أحسن تقريب للأسّية بجوار الصفر — و هي بالضبط معادلة المماس.
نعتبر الدالتين f و g المعرّفتين على ℝ بـ f(x) = ex + 3 و g(x) = 2ex - 1.
🎯المطلوب: احسب نهاية f عند -∞ و نهاية g عند +∞، ثمّ عيّن المستقيم المقارب لمنحنى f.
نهاية الأسّية عند -∞ هي الصفر، و الثابت لا يتغيّر.
نهاية الأسّية عند +∞ هي +∞، و الضرب في 2 لا يغيّر ذلك.
النتيجة الأولى تُفسّر بيانيا.
نعتبر منحنى الدالة الأسّية عند النقطة ذات الفاصلة 1.
🎯المطلوب: اكتب معادلة المماس لمنحنى الدالة الأسّية عند النقطة ذات الفاصلة 1.
العدد المشتقّ هو قيمة الدالة نفسها عند 1.
الصورة عند 1 هي نفسها e.
نعوّض في معادلة المماس.
ننشر و نبسّط.
نعتبر النهاية lim(x → 0) (e³x - 1)/x، و هي على صيغة عدم تعيين من النوع صفر على صفر.
🎯المطلوب: احسب هذه النهاية باستعمال النهاية الشهيرة.
نُظهر النهاية الشهيرة بضرب و قسمة على 3.
نضع X = 3x، فتؤول X إلى الصفر لمّا تؤول x إلى الصفر.
النهاية الشهيرة تعطي 1، فيبقى العامل 3.
نريد قيمة مقرّبة للعدد الذي أسّه 0,02 دون استعمال الحاسبة.
🎯المطلوب: احسب قيمة مقرّبة للعدد المذكور باستعمال التقريب التآلفي، ثمّ قارنها بقيمة الحاسبة.
العدد 0,02 قريب من الصفر، فالتقريب مشروع.
نجمع.
الحاسبة تعطي 1,0202 بأربعة أرقام.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net