الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

التزايد المقارن ودراسة الدوال

دوال أسية، لوغاريتمية، دوال القوى — حل مسائل الاستمثال

🔊 المعلّمة تقرأ لك

منحنى الدالة ln يبتعد عن المبدأ لمّا نمضي يمينا، و يبتعد عنه أيضا لمّا نقترب من الصفر لأنّه يهوي إلى -∞. فبين الهاويتين لا بدّ من موضع تكون فيه نقطة المنحنى أقرب ما يمكن من المبدأ. العين تحدسه، لكنّها لا تعطي فاصلته. فكيف نحوّل سؤالا هندسيا من نوع « أين الأقرب؟ » إلى دراسة دالة نعرف كيف نجريها؟

مسألة استمثال ليست نوعا جديدا من التمارين: إنّها دراسة دالة، مسبوقة بخطوة نمذجة و متبوعة بخطوة قراءة. المنهجية أربع حركات، و هي واحدة في كلّ مرّة:

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

نمذجة كمّية يُطلب استمثالها بدالة على مجال
تعويض مسافة بمربّعها لتبسيط الاشتقاق دون تغيير موضع الحدّ الأدنى
دراسة إشارة مشتقّة بالاستعانة بدالة مساعدة
استغلال المعادلة التي يحقّقها الحلّ لتبسيط القيمة الحدّية

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

القيم الحدّية لدالة و علاقتها بإشارة المشتقّة
مبرهنة القيم المتوسطة و وجود حلّ وحيد لمعادلة

نمذجة: نسمّي المتغيّر، نحدّد مجاله، و نكتب الكمّية المطلوب استمثالها بدلالته.
تبسيط: إن كانت الكمّية جذرا، نستمثل مربّعها — الموضع نفسه، و الحساب أسهل.
دراسة: نشتقّ، ندرس إشارة المشتقّة، و نشكّل جدول التغيّرات.
قراءة: نترجم القيمة الحدّية إلى جواب على السؤال المطروح في البداية.

الحركة الثانية هي التي تُنسى. المسافة بين نقطتين تحتوي جذرا تربيعيا، و اشتقاق الجذر مزعج. لكنّ الدالة ⁦x ↦ √x⁩ متزايدة تماما، فالمسافة و مربّعها يبلغان حدّهما الأدنى عند الفاصلة نفسها. استمثل المربّع دائما.

1. المسألة النموذجية: أقرب نقطة من المبدأ

نأخذ المسألة التي فُتح بها الدرس. لتكن M نقطة من منحنى الدالة ln، فاصلتها x موجبة تماما و ترتيبها ln x. مربّع المسافة إلى المبدأ يُعطى بمبرهنة فيثاغورس:

النمذجة

نضع ⁦f(x) = x² + (ln x)²⁩ على المجال ⁦]0 ; +∞[⁩. استمثال f هو استمثال OM نفسه، لأنّ الدالة الجذر التربيعي متزايدة تماما.

M(x ; ln x) ⟹ OM² = x² + (ln x)²

xفاصلة النقطة M، و هي موجبة تماماOMالمسافة بين المبدأ و النقطة M

مثال 1: أقرب نقاط منحنى اللوغاريتم من المبدأ

ليكن ⁦(Γ)⁩ منحنى الدالة x ↦ ln x في معلم متعامد و متجانس، و M نقطة منه فاصلتها x.

🎯المطلوب: عيّن نقطة المنحنى ⁦(Γ)⁩ الأقرب من المبدأ O، و احسب المسافة الدنيا.

🔹الخطوة 1: المشتقّة

نشتقّ المجموع: مشتقّة مربّع اللوغاريتم هي ضعف اللوغاريتم على x.

f'(x) = 2x + 2 ln xx

🔹الخطوة 2: توحيد المقام

نوحّد المقام x، فتظهر دالة مساعدة في البسط.

f'(x) = 2(x² + ln x)x

🔹الخطوة 3: الدالة المساعدة

المقام x موجب تماما، فإشارة المشتقّة هي إشارة البسط وحده.

g(x) = x² + ln x ; g'(x) = 2x + 1x > 0

🔹الخطوة 4: وجود الحلّ

g متزايدة تماما و تنتقل من -∞ إلى +∞، فتنعدم مرّة واحدة حسب مبرهنة القيم المتوسطة.

∃! α ∈ ]0 ; +∞[ ; g(α) = 0

🔹الخطوة 5: حصر الحلّ

نحصر α بالحاسبة: ⁦g(0,65) < 0⁩ و ⁦g(0,66) > 0⁩.

0,65 < α < 0,66

🔹الخطوة 6: جدول التغيّرات

g سالبة قبل α و موجبة بعده، و كذلك المشتقّة: f تبلغ حدّها الأدنى عند α.

x ∈ ]0 ; α[ ⟹ f ↘ ; x ∈ ]α ; +∞[ ⟹ f ↗

🔹الخطوة 7: تبسيط القيمة الحدّية

⁦g(α) = 0⁩ يعني ⁦ln α = -α²⁩، فنعوّض في ⁦f(α)⁩ و نُخرج عاملا مشتركا.

f(α)=α² + α⁴=α²(1 + α²)

✅النّتيجة

نأخذ الجذر التربيعي، و نحسب عدديا.

OM = α√(1 + α²) ≈ 0,78 ; A(0,65 ; -0,43)

⭐ الخطوة 7 هي الأجمل في التمرين، و هي التي تُميّز التلميذ: لا تحسب α ثمّ تعوّض بقيمة تقريبية. استعمل بدلها المعادلة التي يحقّقها α — هنا ⁦ln α = -α²⁩ — فتحصل على عبارة مضبوطة. المصحّح يبحث عن هذا السطر بالذات.

و نقطة واحدة تحقّق ذلك، لأنّ الحدّ الأدنى بلغ مرّة واحدة. موضعها يُقرأ على الرسم المقابل:

منحنى الدالة ln و الدائرة التي مركزها المبدأ و التي تمسّه في النقطة A: هذه النقطة هي أقرب نقاط المنحنى من المبدأ، و نصف القطر هو المسافة الدنيا. — كلّ دائرة أصغر لا تلقى المنحنى، و كلّ دائرة أكبر تقطعه في نقطتين: نصف القطر الذي يمسّ هو المسافة الدنيا بالضبط.

2. الاستمثال في وضعية تجريبية

نفس المنهجية تُستعمل لمقارنة نموذجين متنافسين على المعطيات نفسها. و هذه وضعية حقيقية: فريقان من البيولوجيّين ينمذجان تطوّر مجتمع من الطفيليات في حقل، بالمئات، عبر الأيام.

مثال 2: نموذجان لتطوّر مجتمع

عدد الطفيليات بالمئات عند اللحظة t بالأيام قيس كما يلي: 10 عند ⁦t = 0⁩، ثمّ 11 عند ⁦t = 1⁩، ثمّ 12 عند ⁦t = 3⁩، ثمّ 15 عند ⁦t = 6⁩، ثمّ 18 عند ⁦t = 10⁩. نمذّج فريق أوّل التطوّر بـ ⁦f(t) = 10 × (1,07)^t⁩، و فريق ثان بـ ⁦g(t) = 100/(1 + 9 × (1,07)⁻^t)⁩.

🎯المطلوب: قارن بين النموذجين من حيث اتّجاه التغيّر و النهاية، ثمّ ناقش أيّهما أوفى للمعطيات المقيسة.

🔹الخطوة 1: معنى المعامل 1,07

نحسب النسبة بين قيمتين متتاليتين للنموذج الأوّل.

f(t + 1)f(t) = 1,07

🔹الخطوة 2: نهاية النموذج الأوّل

النسبة ثابتة، أي زيادة بسبعة بالمائة كلّ يوم، دون سقف.

lim(t → +∞) f(t) = +∞

🔹الخطوة 3: تحضير النموذج الثاني

في النموذج الثاني الأسّ سالب، فالقوّة تؤول إلى الصفر عند +∞.

lim(t → +∞) (1,07)⁻^t = 0

🔹الخطوة 4: نهاية النموذج الثاني

فيؤول المقام إلى 1، و الدالة إلى 100 — أي عشرة آلاف طفيلي.

lim(t → +∞) g(t) = 100

🔹الخطوة 5: المقارنة العددية

نقارن بالمعطاة عند اليوم العاشر: القياس 18.

f(10) ≈ 19,67 ; g(10) ≈ 17,94 ; N(10) = 18

✅النّتيجة

النموذج الثاني أقرب إلى القياس، و هو الوحيد الذي يفرض سقفا للمجتمع.

|g(10) - 18| < |f(10) - 18| ; lim(t → +∞) g(t) = 100

النموذج الأوّل نموذج « مالتوس »: نسبة التطوّر تبقى ثابتة، فالنموّ بلا سقف. و الثاني نموذج « فرهولست »: نسبة التطوّر تتناقص، فلا يتعدّى المجتمع حدّا معيّنا. ⛔ نموذج بلا سقف لا ينمذج مجتمعا حيّا طويلا: الحقل محدود، و الغذاء محدود. الرياضيات هنا تحكم على البيولوجيا.

3. استمثال بدالة مساعدة من نوع آخر

و ليست كلّ مسألة استمثال هندسية. المقارنة بين عددين طبيعيين قد تُحلّ بالطريقة نفسها، متى أحسنّا اختيار الدالة المساعدة.

مثال 3: مقارنة عددين طبيعيين

نريد مقارنة العددين الطبيعيين n أسّ ⁦(n + 1)⁩ و ⁦(n + 1)⁩ أسّ n، من أجل n طبيعي غير معدوم.

🎯المطلوب: قارن بين العددين حسب قيم n، بعد اختيار دالة مساعدة مناسبة.

🔹الخطوة 1: إدخال اللوغاريتم

نأخذ اللوغاريتم للطرفين: الدالة ln متزايدة تماما فتحفظ الترتيب.

nⁿ⁺¹ > (n+1)ⁿ ⟺ (n + 1)ln n > n ln(n + 1)

🔹الخطوة 2: الدالة المساعدة

نقسم على الجداء ⁦n(n + 1)⁩ الموجب تماما، فتظهر الدالة المناسبة.

ln nn > ln(n + 1)n + 1

🔹الخطوة 3: اشتقاق الدالة المساعدة

ندرس إذن الدالة h المعرّفة بنسبة اللوغاريتم على المتغيّر.

h(x) = ln xx ; h'(x) = 1 - ln xx²

🔹الخطوة 4: التغيّرات

المشتقّة تنعدم عند ⁦x = e⁩ و تتغيّر إشارتها هناك: حدّ أقصى.

x < e ⟹ h ↗ ; x > e ⟹ h ↘

🔹الخطوة 5: الاستنتاج

من أجل ⁦n ≥ 3⁩ نحن بعد العدد e، فـ h متناقصة و المتراجحة محقّقة.

n ≥ 3 ⟹ h(n) > h(n + 1) ⟹ nⁿ⁺¹ > (n+1)ⁿ

✅النّتيجة

نتحقّق من الحالتين الأوليين مباشرة، فنجد الترتيب معكوسا.

1² < 2¹ ; 2³ = 8 < 3² = 9 ; 3⁴ = 81 > 4³ = 64

⭐ « اختر دالة مناسبة » هي أصعب تعليمة في الباكالوريا، و لها قاعدة: رتّب المتراجحة حتّى يصير الطرفان من الصيغة نفسها، بمتغيّرين مختلفين فحسب. هنا الطرفان صارا ln n على n و ⁦ln(n+1)⁩ على ⁦(n+1)⁩: الدالة تفرض نفسها. ⛔ و لا تنس فحص القيم الصغيرة يدويا: ⁦n = 1⁩ و ⁦n = 2⁩ يخالفان القاعدة.

مسألة الاستمثال هي التمرين الأخير في أغلب المواضيع، و هي الأثقل نقطة. ⛔ الخطأ القاتل: الشروع في الاشتقاق قبل كتابة مجال المتغيّر. لا تُقبل قيمة حدّية خارج المجال، و مجال غير مذكور يُفقد أوّل سطر من التنقيط. اكتب دائما: « نضع ⁦x = …⁩ حيث ⁦x ∈ …⁩ ».

الخلاصة: كلّ مسألة استمثال تُختصر في أربع حركات — نمذجة، تبسيط بالمربّع، دراسة تغيّرات، ثمّ قراءة الجواب. و حيلتان تُوفّران أكثر من نصف العمل: استمثل المربّع بدل الجذر، و استعمل المعادلة التي يحقّقها الحلّ بدل قيمته التقريبية.

الصفحة 1/5