المتتاليات العددية
توليد متتالية عددية: بالحد العام و بالتراجع
المتتالية العددية ليست شيئا جديدا: هي دالة، لكنّ مجموعة تعريفها ليست مجالا من الأعداد الحقيقية بل مجموعة الأعداد الطبيعية. و هذا الفرق وحده يغيّر كلّ شيء: لا نتحدّث عن الاستمرار و لا عن المماس، بل عن الحدّ الموالي.
- التمييز بين التوليد بالحدّ العامّ و التوليد بالتراجع
- حساب حدود متتالية معرّفة بأيّ من الطريقين
- الانتقال من متتالية تراجعية إلى حدّها العامّ بمتتالية مساعدة
- التعرّف على رتبة حدّ و على مجموعة تعريف متتالية
- مفهوم الدالة و صورة عدد بدالة
- الحساب في مجموعة الأعداد الحقيقية و القوى
1. تعريف
المتتالية العددية الحقيقية u هي دالة ترفق بكلّ عدد طبيعي n، أكبر من أو يساوي عدد طبيعي n₀ معطى، العدد u(n). نكتب uₙ بدل u(n)، و نسمّي n رتبة الحدّ.
⭐ الترميز بالدليل ليس تزيينا: u(n) يوحي بدالة متّصلة، و uₙ يقول إنّ الرتب معزولة. الكتابتان تصفان الشيء نفسه، لكنّ الثانية تذكّرك بالمجال.
2. التوليد بالحدّ العامّ
التوليد بالحدّ العامّ هو إعطاء uₙ بدلالة n مباشرة، بدستور صريح. عندئذ تحسب أيّ حدّ دون المرور بما قبله.
الحدّ ذو الرتبة 100 يُحسب في سطر واحد: نعوّض n بمائة. لا حاجة إلى الحدود التسعة و التسعين الأولى.
3. التوليد بالتراجع
التوليد بالتراجع هو إعطاء الحدّ الأوّل، ثمّ علاقة تربط كلّ حدّ بالذي يسبقه. عندئذ لا يمكن بلوغ حدّ دون المرور بكلّ ما قبله.
لاحظ الفرق الجوهري: في الحدّ العامّ ندخل الرتبة في الدالة، و في التراجع ندخل الحدّ السابق. f(n) و f(uₙ) ليستا الشيء نفسه إطلاقا.
4. من التراجع إلى الحدّ العامّ
الحالة الأكثر ورودا في الباكالوريا هي المتتالية التراجعية الخطّية التي علاقتها من الصيغة uₙ₊₁ = a·uₙ + b. الطريقة واحدة، و هي دائما نفسها.
ثلاث حالات: إن كان a معدوما فالمتتالية ثابتة ابتداء من الرتبة الأولى؛ و إن كان a يساوي واحدا فهي حسابية أساسها b؛ و فيما عدا ذلك نمرّ بنقطة ثابتة.
⭐ هذه هي الحركة كلّها: نطرح العلاقتين طرفا بطرف، فيختفي الثابت b.
بالطرح: u₍ₙ₊₁₎ − α = a uₙ + b − (aα + b) = a(uₙ − α). فالمساعدة هندسية أساسها a، و منها نعود إلى uₙ بإضافة α.
نعتبر المتتالية (uₙ) المعرّفة على ℕ بالحدّ العامّ uₙ = (3n+2)/(n+1)، و المتتالية (wₙ) المعرّفة على ℕ بـ w₀ = −5 و w₍ₙ₊₁₎ = √(6 + wₙ).
🎯المطلوب: احسب الحدود الثلاثة الأولى لكلّ متتالية، ثمّ الحدّ ذا الرتبة العاشرة من (uₙ)، و بيّن لماذا لا يمكن فعل الشيء نفسه مع (wₙ).
في الحالة الأولى نعوّض الرتبة مباشرة في الدستور.
و للرتبة العاشرة نعوّض دون المرور بما قبلها.
في الحالة الثانية نبدأ من الحدّ الأوّل المعطى.
ثمّ نطبّق العلاقة حدّا بحدّ.
و نواصل: كلّ حدّ يحتاج الذي قبله.
فبلوغ الرتبة العاشرة هنا يستلزم عشر عمليات، لا واحدة.
نعتبر المتتالية (uₙ) المعرّفة على ℕ بـ u₀ = 2 و u₍ₙ₊₁₎ = (1/3)uₙ + 2.
🎯المطلوب: عيّن متتالية مساعدة هندسية، ثمّ استنتج الحدّ العامّ لـ (uₙ) بدلالة n.
نبحث أوّلا عن النقطة الثابتة: العدد الذي لا يغيّره التوليد.
نضع المتتالية المساعدة بطرح هذه النقطة.
نحسب حدّها الموالي بتعويض علاقة التراجع.
فهي هندسية أساسها الثلث، و حدّها الأوّل هو الفرق عند الرتبة صفر.
نكتب حدّها العامّ بدستور المتتالية الهندسية.
و نعود إلى المتتالية الأصلية بإضافة النقطة الثابتة.
نعتبر المتتالية التراجعية (uₙ) المعرّفة بحدّها الأوّل u₀ و بالعلاقة u₍ₙ₊₁₎ = a·uₙ + b، حيث a و b عددان حقيقيان.
🎯المطلوب: ناقش طبيعة المتتالية حسب قيمة a، ثمّ أعط حدّها العامّ في الحالة العامّة.
إن انعدم المعامل، فالحدّ الموالي لا يتعلّق بالسابق إطلاقا.
فالمتتالية ثابتة ابتداء من الرتبة الأولى.
و إن ساوى المعامل واحدا، فالفرق بين حدّين متتاليين ثابت.
و هذا بالضبط تعريف المتتالية الحسابية.
و فيما عدا ذلك توجد نقطة ثابتة وحيدة، لأنّ المقام غير معدوم.
فالمساعدة هندسية أساسها a، و منها الحدّ العامّ.
نضع a = −1 في العلاقة السابقة، فتصير المتتالية معرّفة بـ u₍ₙ₊₁₎ = −uₙ + b.
🎯المطلوب: أوجد الحدود السبعة الأولى بدلالة u₀، ضع تخمينا، ثمّ برهن على صحّته.
نحسب الحدود واحدا واحدا انطلاقا من الحدّ الأوّل.
فالحدّ ذو الرتبة اثنين يساوي الحدّ الأوّل تماما.
و بالتالي يتكرّر كلّ شيء بدورة طولها اثنان.
نبرهن: تطبيق العلاقة مرّتين يعيد الحدّ إلى نفسه.
فالمتتالية دورية دورها اثنان، و ليست لها نهاية إلاّ إذا تساوى الحدّان.
الصفحة 1/9
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net