الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية

استعمال التمثيل البياني لتخمين سلوك و نهاية متتالية

🔊 المعلّمة تقرأ لك

متتالية معرّفة بـ ⁦u₀ = 0⁩ و ⁦u₍ₙ₊₁₎ = −(1/2)uₙ + 3⁩. حساباتها تعطي 0 ثمّ 3 ثمّ 1,5 ثمّ 2,25 ثمّ 1,875: تقفز فوق قيمة و تحتها بالتناوب، و تقترب منها في كلّ مرّة. الأعداد وحدها لا تقول أيّ قيمة. فكيف نجعل الرسم يقول ما ستفعله المتتالية قبل أن نبرهنه؟

الرسم في هذا الفصل ليس زينة: هو أداة تخمين. يعطيك الجواب المرجّح في ثوان، ثمّ يبقى عليك أن تبرهنه. و من قفز إلى البرهان دون تخمين لا يعرف ما الذي يبرهنه.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تمثيل متتالية معرّفة بحدّ عامّ بسحابة نقط
بناء حدود متتالية تراجعية على محور الفواصل بالمنحنى و المنصّف
تخمين اتّجاه التغيّر و التقارب انطلاقا من الرسم
التمييز بين ما يُخمَّن بيانيا و ما يجب برهانه

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

توليد متتالية بالحدّ العامّ و بالتراجع
التمثيل البياني لدالة و قراءة نقطة تقاطع

1. متتالية بحدّ عامّ: سحابة نقط

لمّا تكون المتتالية معرّفة بـ ⁦uₙ = f(n)⁩، نمثّلها بـ سحابة النقط ذات الإحداثيّات ⁦(n ; uₙ)⁩. النقط معزولة، لا نصلها بخطّ: المتتالية ليست دالة على مجال.

نقط السحابة

المحور الأفقي يحمل الرتبة و العمودي يحمل القيمة. صعود السحابة يعني متتالية متزايدة، و استواؤها نحو ارتفاع ثابت يعني التقارب نحوه.

M_n (n ; u_n)

2. متتالية تراجعية: المنحنى و المنصّف

لمّا تكون المتتالية معرّفة بـ ⁦u₍ₙ₊₁₎ = f(uₙ)⁩، لا يصلح المحور الأفقي للرتب: الحدود تُبنى بعضها من بعض. نرسم إذن منحنى الدالة f و المستقيم الأوّل المنصّف ذا المعادلة ⁦y = x⁩، و نبني الحدود على محور الفواصل.

ننطلق من u₀ على محور الفواصل، و نصعد عموديا إلى المنحنى: الارتفاع هو u₁
ننتقل أفقيا إلى المنصّف: هناك يصير الارتفاع u₁ فاصلة
نصعد عموديا من جديد إلى المنحنى: الارتفاع هو u₂
و نكرّر — فتتولّد الحدود من تلقائها، درجة درجة

مقارنة بين بناءين: منحنى متزايد يولّد حدودا على شكل درج يصعد نحو نقطة التقاطع، و منحنى متناقص يولّد حدودا تلتفّ حولها كالحلزون. — نصعد من الفاصلة إلى المنحنى، ثمّ ننتقل أفقيا إلى المنصّف ليصير الارتفاع فاصلة: هكذا تتولّد الحدود بعضها من بعض.

⭐ شكل البناء يقرأ إشارة الاشتقاق: إذا كانت f متزايدة فالحدود تتقدّم في اتّجاه واحد و يظهر درج؛ و إذا كانت متناقصة فهي تتناوب حول النقطة الثابتة و يظهر حلزون. هذه الملاحظة وحدها تعطيك اتّجاه التغيّر قبل أيّ حساب.

3. ما يُقرأ على الرسم

اتّجاه التغيّر: سحابة صاعدة أو درج يصعد ⟸ متزايدة
التقارب: النقط تستوي نحو ارتفاع ثابت، أو الدرج يقترب من نقطة التقاطع
النهاية المرشّحة: فاصلة تقاطع المنحنى مع المنصّف — لأنّ الحدّ الذي لا يتغيّر يحقّق ⁦f(x) = x⁩ بالضبط
الحدّ الأدنى أو الأعلى: ارتفاع لا تتجاوزه أيّ نقطة

🔹النهاية المرشّحة

⭐ إن تقاربت المتتالية نحو l و كانت f مستمرّة، فبالمرور إلى النهاية في ⁦⁦u₍ₙ₊₁₎ = f(uₙ)⁩⁩ نجد ⁦⁦l = f(l)⁩⁩. حلّ هذه المعادلة يعطي المرشّحين، لا أكثر.

l = f(l)

lالنهاية المحتملة، إن وُجدت

⛔ الرسم يخمّن، و لا يبرهن أبدا. ثلاثة أخطاء شائعة: ① الاعتقاد أنّ نقطة التقاطع نهاية بالضرورة — قد لا تتقارب المتتالية أصلا؛ ② الاعتقاد أنّ رسما لعشرة حدود يقرّر ما يحدث عند الرتبة الألف؛ ③ استنتاج اتّجاه تغيّر متتالية تراجعية من تغيّرات f — و هذا باطل، لأنّ f تأكل الحدّ لا الرتبة.

مثال 1: بناء في حلزون

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بـ ⁦u₀ = 0⁩ و ⁦u₍ₙ₊₁₎ = −(1/2)uₙ + 3⁩.

🎯المطلوب: أنشئ الحدود الأربعة الأولى بيانيا، ضع تخمينا حول التقارب، ثمّ برهن عليه.

🔹الخطوة 1: الدالة المولّدة

الدالة المولّدة هي دالة تآلفية متناقصة، فنرسمها مع المنصّف.

f(x)=−x2 + 3

🔹الخطوة 2: النقطة الثابتة

نحسب فاصلة التقاطع بحلّ المعادلة التي تقول إنّ الحدّ لا يتغيّر.

−α2 + 3 = α ⟹ 3 = (32)α ⟹ α = 2

🔹الخطوة 3: الحدود الأولى

نبني الحدود على محور الفواصل انطلاقا من الصفر.

u₀ = 0 ; u₁ = 3 ; u₂ = 1,5 ; u₃ = 2,25

🔹الخطوة 4: التخمين

نلاحظ أنّها تتناوب حول 2: واحدة تحته و التي تليها فوقه.

u₀ < 2 < u₁ ; u₂ < 2 < u₃

🔹الخطوة 5: تبرير التخمين

و المسافة إلى 2 تُقسم على اثنين في كلّ خطوة، لأنّ المعامل نصف بالإشارة السالبة.

u_n+1 − 2=−(12)(u_n − 2)

✅النّتيجة

فالفرق متتالية هندسية أساسها ناقص نصف، و هو محصور بين ناقص واحد و واحد.

u_n − 2 = (−12)ⁿ (u₀ − 2) ⟹ lim u_n = 2

⭐ التناوب ليس عيبا في المتتالية بل توقيع الإشارة السالبة. كلّ متتالية تراجعية خطّية بمعامل سالب تلتفّ حول نقطتها الثابتة. و إذا كانت القيمة المطلقة للمعامل أصغر من واحد، فالالتفاف يضيق و تتقارب.

مثال 2: بناء في درج

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بـ ⁦u₀ = −5⁩ و ⁦u₍ₙ₊₁₎ = √(6 + uₙ)⁩.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة تعريف الدالة المولّدة و نقطتها الثابتة، أنشئ الحدود الأربعة الأولى بيانيا، ثمّ ضع تخمينا حول اتّجاه التغيّر و التقارب.

🔹الخطوة 1: الدالة المولّدة

الدالة المولّدة جذرية، معرّفة و متزايدة على مجال يبدأ من ناقص ستّة.

f(x) = √(x + 6) ; D_f = [−6 ; +∞[

🔹الخطوة 2: النقطة الثابتة

النقطة الثابتة تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بعد التربيع.

x + 6 = x² ⟹ x² − x − 6 = 0 ⟹ x = 3 ; x = −2

🔹الخطوة 3: الفرز

نحتفظ بالجذر الموجب وحده، لأنّ الجذر التربيعي موجب دائما.

α = 3

🔹الخطوة 4: الحدود

نحسب الحدود الأولى.

u₀ = −5 ; u₁ = √1 = 1 ; u₂ = √7 ≈ 2,6458 ; u₃ ≈ 2,9404

🔹الخطوة 5: قراءة الرسم

الدالة متزايدة، فالبناء درج يصعد و لا يتناوب.

u₀ < u₁ < u₂ < u₃ < 3

✅النّتيجة

فالتخمين: متزايدة، محدودة من الأعلى بثلاثة، و تتقارب نحوها.

lim u_n = 3

⭐ انتبه إلى الفرز في الخطوة 3. التربيع يضيف جذرا دخيلا: ⁦−2⁩ يحقّق المعادلة المربّعة لكنّه لا يحقّق الأصلية لأنّ الجذر التربيعي لا يكون سالبا. كلّ تربيع يستوجب فرزا.

مثال 3: قراءة سحابة نقط

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة من أجل كلّ عدد طبيعي غير معدوم n بـ ⁦uₙ = 4n/(n+3)⁩.

🎯المطلوب: مثّل المتتالية بسحابة نقط، خمّن اتّجاه تغيّرها و نهايتها، ثمّ تحقّق بالحساب.

🔹الخطوة 1: النموذج

المتتالية معرّفة بحدّ عامّ، فنمثّلها بسحابة النقط ذات الرتبة و القيمة.

M_n (n ; u_n)

🔹الخطوة 2: قيم أولى

نحسب بعض الحدود لنرسم.

u₁ = 1 ; u₂ = 1,6 ; u₃ = 2 ; u₅ = 2,5 ; u₁₀ ≈ 3,0769

🔹الخطوة 3: التحقّق من التزايد

السحابة تصعد، فنخمّن أنّها متزايدة، و نتحقّق بالفرق.

u_n+1 − u_n=4(n+1)n+4 − 4nn+3=12(n+3)(n+4) > 0

🔹الخطوة 4: السلوك عند اللانهاية

السحابة تستوي تحت ارتفاع، و الحدّ العامّ يقوله: نقسم على n.

u_n=41 + 3n

✅النّتيجة

فلمّا يكبر n يؤول المقام إلى واحد.

lim u_n = 4

⭐ السحابة قالت «تصعد و تستوي»، و الحساب قال «متزايدة و نهايتها 4». هذا هو الدور الصحيح للرسم: يوجّه السؤال. و لاحظ أنّ الرسم لا يميّز بين نهاية 4 و نهاية 3,99 — البرهان وحده يميّز.

مثال 4: سحابتان تلتقيان

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ* بـ ⁦uₙ = 1 + 1/2² + 1/3² + … + 1/n²⁩، و المتتالية ⁦(vₙ)⁩ المعرّفة بـ ⁦vₙ = uₙ + 1/n⁩.

🎯المطلوب: مثّل السحابتين على الرسم نفسه و صف ما تلاحظه، ثمّ احسب الفرق بينهما.

🔹الخطوة 1: التمثيل المشترك

نمثّل السحابتين على الرسم نفسه، بلونين مختلفين.

M_n (n ; u_n) ; N_n (n ; v_n)

🔹الخطوة 2: القراءة الأولى

الأولى تصعد من واحد، و الثانية تنزل من اثنين.

u₁ = 1 ; v₁ = 2

🔹الخطوة 3: القراءة الثانية

و عند الرتبة العاشرة يكادان يتلامسان.

u₁₀ ≈ 1,5498 ; v₁₀ ≈ 1,6498

🔹الخطوة 4: الفرق

الفرق بينهما مقلوب الرتبة، و هو يؤول إلى الصفر.

v_n − u_n = 1n

✅النّتيجة

فالسحابتان تحاصران قيمة واحدة بينهما، من الأسفل و من الأعلى.

u_n < l < v_n ; lim (v_n − u_n) = 0

⭐ هذه الصورة هي درس الحصّة الأخيرة كلّه، مرسوما: متتاليتان تحاصران عددا لا نعرفه، إحداهما من تحت و الأخرى من فوق، و المسافة بينهما تُمحى. الرسم يقنعك قبل أن يقنعك أيّ برهان.

⛔ في الباكالوريا، السؤال البياني يأتي أوّلا و يُنقّط: «أنشئ u₀، u₁، u₂ على محور الفواصل» ثمّ «خمّن». لا تهمله ظنّا أنّه ثانوي — و لا تكتب في البرهان «كما يظهر على الرسم». الرسم يُنقّط كتخمين، و يُرفض كبرهان.

الخلاصة: متتالية بحدّ عامّ تُرسم سحابة نقط؛ و متتالية تراجعية تُبنى بالمنحنى و المنصّف، فتعطي درجا إن كانت الدالة متزايدة و حلزونا إن كانت متناقصة. و فاصلة التقاطع هي النهاية المرشّحة. كلّ هذا تخمين — و التخمين نصف الطريق، لا نهايته.

الصفحة 1/8