الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الأعداد والحساب Z الموافقات في

الموافقات في ℤ: تعاريف و خواص

🔊 المعلّمة تقرأ لك

عند الصندوق، يمرّ البائع لصيقة السلعة أمام قارئ ضوئي: صفير واحد إن كان الترميز سليما، و رفض إن كان فيه رقم واحد خاطئ. و القارئ لا يسأل أيّ قاعدة بيانات، و لا يقارن اللصيقة بشيء: كلّ ما يفعله هو حساب صغير جدّا على أرقامها الاثني عشر. فما هو الحساب الذي يكشف خطأ في رقم واحد من بين ثلاثة عشر رقما، في جزء من الثانية؟

الجواب هو الباقي، و لا شيء غيره. سنبني في هذا الدرس أداة تقول: «هذان العددان لهما نفس الباقي في القسمة على n»، و نكتبها ⁦a ≡ b[n]⁩. و ستكتشف أنّ هذه الأداة تُجمع و تُضرب و تُرفع إلى قوّة تماما كالمساواة، فتصير قادرا على معرفة باقي قسمة عدد له آلاف الأرقام دون أن تكتب رقما واحدا منه. و مفتاح اللصيقة هو أوّل تطبيق من تطبيقاتها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعريف الموافقة ⁦a ≡ b[n]⁩ و التنقّل بين قراءتها بالباقي و قراءتها بالمضاعف
توظيف الخواص الثماني للموافقات في الجمع و الجداء و رفع الأسّ
تعيين باقي قسمة عدد كبير جدّا أو عدد سالب دون إنجاز القسمة
حلّ ترديدة من الدرجة الأولى بدراسة كلّ البواقي الممكنة
البرهان على معايير قابلية القسمة على 2 و 3 و 4 و 5 و 9 و 10 و 11
معالجة تمرين بكالوريا مبنيّ على دورية بواقي القوى

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

القسمة الإقليدية في ℤ، و حصر الباقي بين 0 و القاسم
قابلية القسمة في ℤ و خواصّها، و خاصّة التركيب الخطّي
البرهان بالتراجع
المتتاليات الحسابية و الهندسية، و مجموع حدود متتابعة منها

1. نشاطان يقودان إلى الفكرة

قبل أيّ تعريف، ننجز نشاطين قصيرين. الأوّل يُري أنّ البواقي تحسب مع الجمع و الجداء و القوى، و الثاني يُري أنّ حدود متتالية حسابية كلّها لها نفس الباقي. من هذين الملاحظتين وحدهما يولد الباب كلّه.

النشاط الأوّل: بواقي القسمة على 5 على المجدول

نفتح ورقة مجدول، و نتّبع الخطوات الآتية.

في العمود A و ابتداء من الخلية A2 نحجز الأعداد من 1 إلى 50.
في الخلية B2 نحجز دالة الباقي، ثمّ نسحب إلى تحت. ماذا نلاحظ؟
في الخليتين E2 و F2 نحجز عددين طبيعيّين n و n'، ثمّ نحسب ⁦n + n'⁩ و ⁦n × n'⁩ و n² و n'² و n³ و n'³.
في السطر الثالث نحسب بواقي قسمة كلّ هذه الأعداد على 5.
نعيد نفس العملية بأعداد أخرى، ثمّ نخمّن قاعدة لحساب البواقي.

دالة باقي القسمة في المجدول

تعطي هذه الدالة باقي قسمة العدد الأوّل على الثاني. هي كلّ ما يلزم لهذا النشاط.

MOD(a ; b)

العمود الأوّل وحده يكشف شيئا: البواقي تدور. نقرأ الستّة الأولى منها.

📌المعطى: الأسطر الأولى من ورقة المجدول

n	باقي قسمة n على 5
1	1
2	2
3	3
4	4
5	0
6	1

بعد 5 يعود الباقي إلى 1: البواقي الممكنة خمسة لا غير، و هي 0 و 1 و 2 و 3 و 4، و هي تتكرّر إلى ما لا نهاية. هذا هو أوّل شيء يجعل الأعداد الكبيرة قابلة للترويض.

ننتقل إلى الجزء الثاني من النشاط. نأخذ العددين اللذين يحجزهما المجدول في المثال.

📌المعطى: العددان المحجوزان

n = 632 ; n' = 174

🔹الخطوة 1: باقي العدد الأوّل

632 = 5 × 126 + 2

🔹الخطوة 2: باقي العدد الثاني

174 = 5 × 34 + 4

🔹الخطوة 3: مجموع العددين

632 + 174 = 806

🔹الخطوة 4: باقي المجموع

⭐ هذه الخانة يتركها الكتاب فارغة، لأنّها عمل التلميذ. و هي بالضبط الخانة التي تكشف القاعدة.

806 = 5 × 161 + 1

🔹الخطوة 5: نفس الباقي انطلاقا من البواقي وحدها

2 + 4 = 6 ; 6 = 5 × 1 + 1

لاحظ ما وقع: حسبنا باقي 806 مرّتين، مرّة على العدد الكبير و مرّة على الباقيين 2 و 4 وحدهما، فوجدنا 1 في الحالتين. نجرّب نفس الشيء على الجداء و على القوى.

✅النّتيجة: العمودان الأخيران يتّفقان في الأسطر الستّة

العبارة	قيمتها	باقيها على 5	الحساب على البواقي وحدها
⁦n + n'⁩	806	1	⁦2 + 4 = 6⁩ ; باقيه 1
⁦n × n'⁩	109968	3	⁦2 × 4 = 8⁩ ; باقيه 3
n²	399424	4	⁦2² = 4⁩ ; باقيه 4
n'²	30276	1	⁦4² = 16⁩ ; باقيه 1
n³	252435968	3	⁦2³ = 8⁩ ; باقيه 3
n'³	5268024	4	⁦4³ = 64⁩ ; باقيه 4

العمودان الثالث و الرابع محسوبان بطريقتين مختلفتين تماما، و مع ذلك يتّفقان.

⭐ اقرأ العمودين الأخيرين جنبا إلى جنب. في العمود الثالث حسبنا العدد كلّه ثمّ قسمناه؛ في الرابع لم نستعمل إلّا الباقيين 2 و 4. النتيجة واحدة في الأسطر الستّة. ⚖️ هذا التخمين هو ما ستثبته الخواص 5 و 6 و 8 من هذا الدرس، و هو ما يجعل حساب باقي عدد ضخم ممكنا في سطرين.

النشاط الثاني: الطفل الذي يقفز

يقوم طفل بقفزات وفق محور، يقطع في كلّ قفزة 5 وحدات، و الوحدة ⁦10 cm⁩. ننطلق من الوحدة الثانية، و نسمّي uₙ العدد الطبيعي الذي يتوقّف عنده الطفل بعد n قفزة، مع n عدد طبيعي غير معدوم.

عيّن uₙ بدلالة n.
ما هو الفرق بين حدّين متتابعين من المتتالية؟
ما هي طبيعة المتتالية؟
الفرق بين حدّين من المتتالية هو مضاعف لأيّ عدد طبيعي؟
ما هو باقي قسمة حدّ كيفيّ من المتتالية على 5؟

⚠️ هذا النشاط عمل التلميذ. الأسطر الموالية قراءة مباشرة للنصّ، و الخلاصة العامّة التي تخرج منها مبرهنة، ستراها في المثال الثالث من هذا الدرس.

🔹الخطوة 1: عبارة الحدّ العامّ

ينطلق الطفل من الوحدة 2، و يضيف 5 وحدات في كلّ قفزة.

u_n = 2 + 5 n

🔹الخطوة 2: الحدود الأولى

u₁ = 7 ; u₂ = 12 ; u₃ = 17

🔹الخطوة 3: الفرق بين حدّين متتابعين

الفرق ثابت، إذن المتتالية حسابية أساسها 5.

u_n+1 − u_n=(2 + 5(n + 1)) − (2 + 5 n)=5

🔹الخطوة 4: الفرق بين حدّين كيفيّين

العدد ⁦p − k⁩ صحيح، إذن الفرق مضاعف للعدد 5 مهما كان الحدّان.

u_p − u_k=5 p − 5 k=5(p − k)

✅النّتيجة: باقي كلّ حدّ

u_n = 5 n + 2 ; 0 ≤ 2 < 5

كلّ حدود المتتالية لها نفس الباقي 2 في القسمة على 5. فبعد ألف قفزة أو مليون، لا يقع الطفل أبدا على مضاعف للعدد 5، و لا على العدد الذي يسبقه: يقع دائما على عدد باقيه 2.

ما خرجنا به من النشاطين: ① البواقي تُحسب على البواقي في الجمع و الجداء و القوى؛ ② الأعداد التي لها نفس الباقي هي تلك التي فرقها مضاعف للقاسم. و الدرس كلّه ليس إلّا تسمية هاتين الملاحظتين و البرهان عليهما.

2. نشاط: بواقي 2ⁿ على 5 تدور

النشاط الموالي هو الذي يفتح الباب على أقوى ما في هذا الدرس: بواقي القوى دورية. و متى عرفت الدور، عرفت باقي أيّ قوّة مهما كان أسّها، حتّى لو كان الأسّ يفوق الألف.

أذكر البواقي الممكنة للقسمة الإقليدية على 5.
عيّن باقي قسمة كلّ من 2¹ و 2² و 2³ و 2⁴ على 5.
استعمل مجدولا للحصول على بواقي قسمة 2ⁿ على 5 من أجل n من 0 إلى 20.
أعط تخمينا لبواقي قسمة 2ⁿ على 5 من أجل n عدد طبيعي.
باستعمال البرهان بالتراجع، أثبت أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي p، العدد 2 المرفوع إلى الأسّ 4p ثمّ منقوصا منه 1، يقبل القسمة على 5.
استنتج بواقي قسمة القوى التي أسّها 4p و ⁦4p + 1⁩ و ⁦4p + 2⁩ و ⁦4p + 3⁩ على 5.

الجواب 1: البواقي الممكنة على 5

باقي القسمة على 5 محصور دائما بين 0 و 4، لأنّ شرط القسمة الإقليدية هو أن يكون الباقي أصغر تماما من القاسم.

r ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}

الجواب 2: القوى الأربع الأولى

2¹ = 2 = 5 × 0 + 2 ; 2² = 4 = 5 × 0 + 4

الجواب 2: القوّتان المواليتان

2³ = 8 = 5 × 1 + 3 ; 2⁴ = 16 = 5 × 3 + 1

البواقي الأربعة بالترتيب هي 2 ثمّ 4 ثمّ 3 ثمّ 1. ننجز الجدول المطلوب على المجدول من أجل n من 0 إلى 20، فنقرأ فيه ما يلي.

✅النّتيجة: بواقي 2ⁿ على 5 من أجل n من 0 إلى 20

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
باقي قسمة 2ⁿ على 5	1	2	4	3	1	2	4	3	1	2	4	3	1	2	4	3	1	2	4	3	1

إنجاز هذا الجدول على المجدول هو عمل التلميذ.

الجواب 3: التخمين

نفس الأربعة تعود كلّ أربع خطوات: الدور يساوي 4.

1 ; 2 ; 4 ; 3 ; 1 ; 2 ; 4 ; 3 ; ...

حلقة مغلقة بأربعة بواقي: 1 ثمّ 2 ثمّ 4 ثمّ 3 ثمّ العودة إلى 1، و كلّ سهم يعني الضرب في 2؛ و تحتها سطر يبيّن كيف تعود نفس البواقي كلّ أربع قيم للأسّ. — ⭐ الضرب في 2 ينقلك من باقٍ إلى الذي يليه، و بعد أربع مرّات تعود إلى نقطة الانطلاق. هذه الدورة هي كلّ سرّ الباب.

يبقى أن نبرهن على التخمين، لا أن نكتفي بقراءته. و البرهان بالتراجع يفعل ذلك في ثلاث خطوات.

🔹الخطوة 1: التحقّق من أجل الأسّ الأصغر

العدد 0 مضاعف للعدد 5، إذن الخاصية صحيحة عند نقطة الانطلاق.

2^{4 × 0} − 1=1 − 1=0=5 × 0

🔹الخطوة 2: الفرضية

نفترض الخاصية محقّقة من أجل عدد طبيعي p، و نبرهن أنّها تنتقل إلى ⁦p + 1⁩.

2^{4 p} − 1 = 5 k ; k ∈ ℕ

🔹الخطوة 3: الانتقال إلى الأسّ الموالي

2^{4(p + 1)}=2^{4 p + 4}=16 × 2^{4 p}

🔹الخطوة 4: إظهار الفرضية

نضيف 16 و نطرحها: هذه هي الحيلة الوحيدة في البرهان كلّه، و هي التي تُظهر المقدار الذي تتكلّم عنه الفرضية.

16 × 2^{4 p} − 1 = 16(2^{4 p} − 1) + 15

✅النّتيجة: الخاصية وراثية

نعوّض بالفرضية، فيظهر العامل 5. و العدد ⁦16k + 3⁩ طبيعي، إذن الخاصية محقّقة من أجل ⁦p + 1⁩، و منه من أجل كلّ p.

2^{4(p + 1)} − 1=16 × 5 k + 15=5(16 k + 3)

نستنتج الآن بواقي القوى الأربع المطلوبة. نضع 2 مرفوعا إلى الأسّ 4p في صيغته المحصّلة، ثمّ نضرب في 2 ثمّ في 4 ثمّ في 8.

✅الاستنتاج 1: الأسّ 4p

2^{4 p} = 5 k + 1 ; 0 ≤ 1 < 5

✅الاستنتاج 2: الأسّ ⁦4p + 1⁩

2^{4 p + 1} = 2(5 k + 1) = 10 k + 2 ; 0 ≤ 2 < 5

✅الاستنتاج 3: الأسّ ⁦4p + 2⁩

2^{4 p + 2} = 4(5 k + 1) = 20 k + 4 ; 0 ≤ 4 < 5

✅الاستنتاج 4: الأسّ ⁦4p + 3⁩

2^{4 p + 3}=8(5 k + 1)=40 k + 8

✅النّتيجة: باقي الأسّ ⁦4p + 3⁩

لا يكفي أن نكتب ⁦40k + 8⁩: العدد 8 أكبر من القاسم 5، فنقتطع منه 5 ليصير الباقي محصورا كما يجب.

40 k + 8 = 5(8 k + 1) + 3 ; 0 ≤ 3 < 5

⭐ هذه هي الحركة التي ستعيدها في كلّ تمرين بكالوريا في هذا الباب: تحسب البواقي الأولى، تلاحظ الدور، تبرهن على أنّ القوّة ذات الأسّ المضاعف للدور توافق 1، ثمّ تقسم الأسّ المطلوب على الدور و تقرأ الجواب من الباقي. ⚖️ لاحظ أنّه لم يُحسب هنا أيّ عدد كبير: كلّ الحساب جرى على الأعداد 1 و 2 و 4 و 8.

3. تعريف الموافقة و ترميزها

ليكن n عددا طبيعيّا غير معدوم. نقول إنّ العددين الصحيحين a و b متوافقان بترديد n إذا كان لهما نفس الباقي في القسمة على n. و نرمز إلى ذلك بالكتابة الموالية، و نقرأ: a يوافق b بترديد n.

تعريف الموافقة

⭐ انتبه إلى شكل الرمز: ثلاثة خطوط لا اثنان، لأنّه ليس مساواة؛ و الترديد يوضع بين قوسين معقوفين على يمين الطرف الثاني. و المصطلح العربي لهذه العلاقة هو ترديدة.

a ≡ b [n]

aعدد صحيح كيفيّbعدد صحيح كيفيّnالترديد، و هو عدد طبيعي غير معدوم

ما يعنيه التعريف بالضبط

نفس الحرف r في السطرين: الحاصلان q و q' لا يهمّان في شيء، و الشرط الوحيد هو تساوي الباقيين، مع بقاء الباقي محصورا بين 0 و ⁦n − 1⁩.

a = n q + r ; b = n q' + r ; 0 ≤ r < n

نأخذ خمس ترديدات كأمثلة. نكتبها، ثمّ نتحقّق من كلّ واحدة منها بالفرق.

المثال الأوّل

27 ≡ 92 [5]

المثال الثاني

12 ≡ 34 [11]

المثال الثالث

24 ≡ 3 [7]

المثال الرابع

−20 ≡ 1 [7]

المثال الخامس

−59 ≡ −3 [8]

✅النّتيجة: التحقّق من الأمثلة الخمسة، واحدا واحدا

الترديدة	الفرق بين الطرفين	تحليله	الترديد يقسمه؟
⁦27 ≡ 92 [5]⁩	⁦92 − 27 = 65⁩	⁦65 = 5 × 13⁩	نعم
⁦12 ≡ 34 [11]⁩	⁦34 − 12 = 22⁩	⁦22 = 11 × 2⁩	نعم
⁦24 ≡ 3 [7]⁩	⁦24 − 3 = 21⁩	⁦21 = 7 × 3⁩	نعم
⁦−20 ≡ 1 [7]⁩	⁦1 − (−20) = 21⁩	⁦21 = 7 × 3⁩	نعم
⁦−59 ≡ −3 [8]⁩	⁦−3 − (−59) = 56⁩	⁦56 = 8 × 7⁩	نعم

⭐ لاحظ السطرين الأخيرين: الترديدة تشتغل على الأعداد السالبة تماما كما تشتغل على الموجبة، شرط الانتباه إلى إشارة الفرق.

و يعطي الكتاب ملاحظتين قصيرتين لا بدّ من الانتباه إليهما.

🔍الملاحظة الأولى: الترديد 1

كلّ عدد صحيح يقبل القسمة على 1 بباقٍ معدوم، فالترديدة بترديد 1 صحيحة دائما.

(∀ x ∈ ℤ) x ≡ 0 [1]

🔍الملاحظة الثانية: ترميز آخر

بعض الكتب تضع الترديد بين قوسين هلاليّين. درسنا يعتمد القوسين المعقوفين، و هذا الترميز الثاني مذكور مرّة واحدة حتّى تتعرّف عليه إن صادفته.

a ≡ b (n)

⚖️ قراءة، لا نصّ منقول: لمّا يكون الترديد 1، تكون الترديدة صحيحة دائما و لا تقول شيئا؛ و الخاصية الأولى الموالية تفترض صراحة ⁦n ≥ 2⁩. فالترديد المفيد هو الذي يساوي 2 على الأقلّ. هذه جملة تُستنتج من الملاحظتين معا.

⭐ مفردات هذا الباب، و هي مطلوبة في الإجابة: العدد n يسمّى الترديد، و العلاقة ⁦a ≡ b[n]⁩ تسمّى ترديدة، و نقرأ الرمز «يوافق». ⛔ لا تقل «يساوي»: الترديدة ليست مساواة، و طرفاها قد يختلفان تماما، كما في ⁦−20⁩ و 1 بترديد 7.

4. المبرهنة: نفس الباقي، أو فرق مضاعف

التعريف يتكلّم عن الباقيين، و هما شيء يُحسب. المبرهنة الموالية تعطي قراءة ثانية للشيء نفسه، تتكلّم عن الفرق، و هي أسهل بكثير في الاستعمال: لا قسمة، بل تحليل.

المبرهنة

⭐ هذه هي أهمّ مبرهنة في الباب من حيث الاستعمال: كلّما طُلب منك البرهان على ترديدة، لا تقسم — بل احسب الفرق و أظهر فيه عاملا يساوي n.

(a = n q + r ; b = n q' + r) ⟺ (∃ k ∈ ℤ) a − b = k n

kالعدد الصحيح الذي يشهد على أنّ الفرق مضاعفrالباقي المشترك بين العددين

البرهان، الاتّجاه الأوّل. نفرض أنّ للعددين a و b نفس الباقي r في القسمة الإقليدية على n، و نبرهن أنّ فرقهما مضاعف للعدد n.

🔹الخطوة 1: كتابة القسمتين

a = n q + r ; 0 ≤ r < n

🔹الخطوة 2: القسمة الثانية بنفس الباقي

b = n q' + r

🔹الخطوة 3: طرح المساواتين

a − b=n q + r − n q' − r

🔹الخطوة 4: تبسيط

a − b = n(q − q')

✅النّتيجة الأولى

العدد ⁦q − q'⁩ صحيح لأنّه فرق عددين صحيحين، فهو يصلح للعب دور k.

q − q' ∈ ℤ ⟹ a − b = k n

البرهان، الاتّجاه العكسي. نفرض الآن أنّ ⁦a − b⁩ مضاعف للعدد n، و نبرهن أنّ للعددين نفس الباقي. و هذه هي الجهة التي ينساها التلاميذ في الامتحان.

🔹الخطوة 1: ترجمة الفرضية

(∃ k ∈ ℤ) a − b = k n

🔹الخطوة 2: تسمية باقي العدد الثاني

b = n q + r ; 0 ≤ r < n

🔹الخطوة 3: التعويض

a=b + k n=n q + r + k n

🔹الخطوة 4: تجميع مضاعفات الترديد

a = (q + k)n + r

✅النّتيجة الثانية

الشرطان معا هما بالضبط شرطا القسمة الإقليدية، إذن r هو باقي قسمة a على n، و هو نفسه باقي قسمة b. فللعددين نفس الباقي.

q + k ∈ ℤ ; 0 ≤ r < n

✅النّتيجة (كما يكتبها الكتاب)

a ≡ b [n] ⟺ (∃ k ∈ ℤ) a − b = k n

⭐ متى تستعمل كلّ قراءة؟ إن كان العددان صغيرين، احسب الباقيين و قارن. و إن كان أحدهما كبيرا أو سالبا أو مكتوبا بحرف، اطرح و حلّل: هذه هي الطريقة التي يوصي بها الكتاب نفسه، و هي التي تشتغل على العبارات الحرفية.

5. الخواص الثماني للترديدات

الخواص الموالية هي أدوات الحساب. كلّ واحدة منها تقول: إن كانت لك ترديدة أو ترديدتان، فلك الحقّ في هذه العملية دون أن تحسب أيّ باقٍ. و هي التي تجعل الترديدات تُعامل تقريبا كالمساواة.

الخاصية 1: كلّ عدد يوافق باقيه

الخاصية 1

هذه الخاصية هي التي تسمح بـ تصغير الأعداد: كلّ عدد، مهما كبر، يمكن تعويضه بباقيه، و الباقي محصور بين 0 و ⁦n − 1⁩.

n ≥ 2 ; a ≡ r [n]

rباقي قسمة a على n

البرهان: الخطوة 1

a = n q + r ; 0 ≤ r < n

البرهان: النّتيجة

نطرح r من الطرفين فيبقى ⁦a − r = n q⁩: الفرق مضاعف للعدد n، و بالمبرهنة السابقة هذا يكفي تماما.

a − r = n q ⟹ a ≡ r [n]

الخاصية 2: كلّ عدد يوافق نفسه

الخاصية 2

(∀ a ∈ ℤ) a ≡ a [n]

البرهان

للعددين a و a نفس الباقي بداهة، و فرقهما 0 مضاعف لكلّ عدد.

a − a=0=n × 0

الخاصية 3: يمكن قلب الطرفين

الخاصية 3

a ≡ b [n] ⟹ b ≡ a [n]

البرهان: الخطوة 1

a ≡ b [n] ⟹ a − b = k n ; k ∈ ℤ

البرهان: النّتيجة

نضرب الفرق في ⁦−1⁩، و نظير عدد صحيح عدد صحيح، فالفرق المقلوب يبقى مضاعفا للترديد.

b − a = −k n ; −k ∈ ℤ ⟹ b ≡ a [n]

الخاصية 4: التعدّي

الخاصية 4

(a ≡ b [n] ; b ≡ c [n]) ⟹ a ≡ c [n]

البرهان: الخطوة 1

a − b = k n ; b − c = k' n

البرهان: النّتيجة

مجموع عددين صحيحين عدد صحيح. و هذه الخاصية هي التي تسمح بسلسلة من الترديدات، فتنتقل من العدد الأوّل إلى الأخير مباشرة.

(a − b) + (b − c) = a − c = (k + k')n ⟹ a ≡ c [n]

الخاصية 5: جمع ترديدتين طرفا بطرف

الخاصية 5

(a ≡ b [n] ; c ≡ d [n]) ⟹ a + c ≡ b + d [n]

البرهان: الخطوة 1

a − b = k n ; c − d = k' n

البرهان: النّتيجة

نجمع الفرقين المعروفين، فيظهر الترديد عاملا مشتركا.

(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d) = (k + k')n ⟹ a + c ≡ b + d [n]

⭐ الخاصية 5 تسمح بالطرح أيضا: خذ الترديدة ⁦c ≡ d[n]⁩، اضربها في ⁦−1⁩ بالخاصية 7، ثمّ اجمع. و هذه هي الحركة التي تنقل حدّا من طرف إلى طرف في حلّ ترديدة.

الخاصية 6: ضرب ترديدتين طرفا بطرف

الخاصية 6

(a ≡ b [n] ; c ≡ d [n]) ⟹ a c ≡ b d [n]

البرهان: الخطوة 1

a − b = k n ; c − d = k' n

البرهان: الخطوة 2 — الحيلة

⭐ نضيف a d و نطرحها. هذه هي الخطوة الوحيدة التي تحتاج إلى فكرة في البرهان كلّه: هي التي تسمح بتجميع الفرقين المعروفين.

a c − b d=a c − a d + a d − b d

البرهان: الخطوة 3 — التحليل

a c − b d=a(c − d) + d(a − b)

البرهان: النّتيجة

العدد ⁦a k' + d k⁩ صحيح، فالفرق مضاعف للترديد. الخاصية 6 هي أكثر الخواص استعمالا في هذا الباب على الإطلاق.

a c − b d = a k' n + d k n = (a k' + d k)n ⟹ a c ≡ b d [n]

الخاصية 7: الضرب في عدد صحيح

الخاصية 7

a ≡ b [n] ⟹ (∀ k ∈ ℤ) k a ≡ k b [n]

البرهان: الخطوة 1

بالخاصية 2، كلّ عدد يوافق نفسه. هكذا صار عندنا ترديدتان لا واحدة.

k ≡ k [n]

البرهان: النّتيجة

نضرب الترديدتين طرفا بطرف بالخاصية 6. لاحظ أنّ الخاصية 7 ليست جديدة في الحقيقة: هي حالة خاصّة من الخاصية 6.

(a ≡ b [n] ; k ≡ k [n]) ⟹ k a ≡ k b [n]

⛔ الخاصية 7 لا تُقلب. من ⁦a ≡ b[n]⁩ نستنتج ⁦k a ≡ k b[n]⁩، لكنّ العكس خاطئ: من ⁦k a ≡ k b[n]⁩ لا تستنتج ⁦a ≡ b[n]⁩. مثال مضادّ يكفي: ⁦2 × 1 ≡ 2 × 4 [6]⁩ صحيحة لأنّ ⁦8 − 2 = 6⁩، بينما ⁦1 ≡ 4[6]⁩ خاطئة لأنّ ⁦4 − 1 = 3⁩ ليس مضاعفا للعدد 6. الاختزال ممنوع في الترديدات، و هذا أشهر خطأ في الباب.

الخاصية 8: رفع الطرفين إلى نفس الأسّ

الخاصية 8

a ≡ b [n] ⟹ (∀ p ∈ ℕ*) a^p ≡ b^p [n]

البرهان بالتراجع على الأسّ p.

البرهان: الخطوة 1 — الأسّ 1

من أجل ⁦p = 1⁩ الترديدة هي المعطى نفسه، فهي صحيحة.

a¹ ≡ b¹ [n]

البرهان: الخطوة 2 — الفرضية

a^k ≡ b^k [n] ; k ≥ 1

البرهان: الخطوة 3 — ترديدتان في اليد

(a^k ≡ b^k [n] ; a ≡ b [n])

البرهان: الخطوة 4 — الضرب بالخاصية 6

⭐ الخاصية المستعملة هنا هي الخاصية 6، لأنّنا نضرب ترديدتين مختلفتين طرفا بطرف. الخاصية 7 شيء آخر: هي تضرب طرفي ترديدة واحدة في نفس العدد.

a^k × a ≡ b^k × b [n]

البرهان: النّتيجة

الخاصية وراثية ابتداء من ⁦p = 1⁩، إذن هي صحيحة من أجل كلّ عدد طبيعي غير معدوم p.

a^{k + 1} ≡ b^{k + 1} [n]

✅النّتيجة: الخواص الثماني في جدول واحد

الخاصية	ما تقوله	متى تستعملها
1	⁦a ≡ r [n]⁩ حيث r باقي a	لتصغير عدد كبير و تعويضه بباقيه
2	⁦a ≡ a [n]⁩	لخلق ترديدة ثانية من العدم، تمهيدا للخاصية 6
3	⁦a ≡ b [n] ⟹ b ≡ a [n]⁩	لقلب الطرفين قبل الجمع أو التعدّي
4	التعدّي	لربط سلسلة ترديدات في ترديدة واحدة
5	جمع ترديدتين طرفا بطرف	لنقل حدّ من طرف إلى طرف، و للجمع و الطرح
6	ضرب ترديدتين طرفا بطرف	للجداءات، و لرفع الأسّ خطوة خطوة
7	الضرب في عدد صحيح k	لضرب الطرفين في نفس العدد، و منه الضرب في ⁦−1⁩
8	رفع الطرفين إلى نفس الأسّ	للقوى الكبيرة، و هي عماد تمارين البكالوريا

⛔ الخاصيتان 6 و 7 تتشابهان و لا تتطابقان: الأولى تضرب ترديدتين، الثانية تضرب طرفي ترديدة واحدة في نفس العدد. الخلط بينهما يفسد البرهان.

6. الطرائق، مثالا مثالا

هناك في هذا الباب طريقتان للحكم على ترديدة، و لا ثالث لهما: إمّا أن تبرهن على أنّ الفرق مضاعف للترديد، و إمّا أن تحسب الباقيين و تقارنهما. المثالان المواليان يطبّقان كلّ واحدة منهما على أربع ترديدات.

مثال 1: الحكم على ترديدة بحساب الفرق

ننظر في أربع ترديدات، و نستعمل في كلّ مرّة الفرق بين الطرفين وحده.

🎯المطلوب: عيّن الترديدات الصحيحة و الترديدات الخاطئة من بين الأربع الأولى.

الترديدة الأولى

نطرح الطرفين، ثمّ نبحث عن العدد 5 عاملا في الفرق.

26 − 11 = 15 = 3 × 5 ⟹ 26 ≡ 11 [5]

الترديدة الثانية

نفس الحركة مع عددين مختلفي الإشارة: الفرق سالب، و لا بأس في ذلك، و العدد ⁦−5⁩ صحيح.

−32 − 18 = −50 = (−5) × 10 ⟹ −32 ≡ 18 [10]

الترديدة الثالثة

نطرح، ثمّ نقسم الفرق على 5: الباقي 1 لا ينعدم، فالفرق ليس مضاعفا للعدد 5.

478 − 32 = 446 = 89 × 5 + 1 ⟹ 478 ≢ 32 [5]

✅النّتيجة: الترديدة الرابعة

انتبه إلى الإشارة: طرح عدد سالب يعني إضافته، و الفرق مضاعف للعدد 7.

58 − (−5) = 58 + 5 = 63 = 9 × 7 ⟹ 58 ≡ −5 [7]

⭐ طريقة الفرق هي الأسرع لمّا يكون العددان صغيرين أو مختلفي الإشارة. ⛔ و الخطأ الوحيد الذي يقع فيه التلميذ هنا هو إشارة الطرح: ⁦58 − (−5)⁩ تساوي 63 لا 53. اكتب القوسين، ثمّ اطرح.

مثال 2: الحكم على ترديدة بحساب الباقيين

ننظر في الترديدات الأربع الباقية، و نستعمل هذه المرّة الباقيين لا الفرق.

🎯المطلوب: حدّد الصحيحة و الخاطئة من بين الترديدات الأربع الأخيرة.

الترديدة الخامسة: كتابة الأساس

العدد 63 ليس مضاعفا للعدد 5، فنكتب قسمته الإقليدية أوّلا.

63 = 12 × 5 + 3

نشر المربّع

ننشر المربّع بالمتطابقة الشهيرة، دون حساب 63² مباشرة.

63²=(12 × 5 + 3)²=12² × 5² + 2 × 12 × 5 × 3 + 9

الحدّ الأوّل

الحدّ الأوّل مضاعف صريح للعدد 5، فنخرجه.

12² × 5²=3600=5 × 720

الحدّان الباقيان

نجمع الحدّين الباقيين قبل قسمتهما.

2 × 12 × 5 × 3 + 9=360 + 9=369

قسمة الحدّين الباقيين

⭐ هذه هي الخطوة التي يُمرّ عليها بسرعة: 369 ليس مضاعفا للعدد 5، فنقسمه قسمة إقليدية، و باقيها 4 أصغر من 5.

369 = 5 × 73 + 4

تجميع النتيجة

نجمع ما خرج من الحدّين، فيظهر باقي قسمة 63² على 5: إنّه 4.

63²=5(720 + 73) + 4=5 × 793 + 4

التحقّق العددي

نتحقّق عدديّا من السطر السابق قبل أن نستنتج.

5 × 793 + 4=3965 + 4=3969=63²

الحكم على الترديدة الخامسة

للطرفين الباقي نفسه 4 في القسمة على 5، إذن الترديدة الخامسة صحيحة.

14 = 5 × 2 + 4 ⟹ 63² ≡ 14 [5]

الترديدة السادسة: باقي الطرف الأوّل

ننتقل إلى الترديدة السادسة، و هنا نحسب الباقيين مباشرة.

144 = 19 × 7 + 11

الترديدة السادسة: باقي الطرف الثاني

العدد 11 أصغر من 19، فهو باقي نفسه.

11 = 19 × 0 + 11 ⟹ 144 ≡ 11 [19]

الترديدة السابعة: باقي الطرف الأوّل

الترديدة السابعة: نحسب المربّع ثمّ نقسمه على 12.

131²=17161=1430 × 12 + 1

الترديدة السابعة: باقي الطرف الثاني

و نقسم الطرف الثاني على 12 كذلك.

25 = 2 × 12 + 1 ⟹ 131² ≡ 25 [12]

الترديدة الثامنة: باقي الطرف الأوّل

الترديدة الثامنة: نحسب المكعّب ثمّ نقسمه على 7.

48³=110592=15798 × 7 + 6

التحقّق العددي

نتحقّق من السطر السابق بالضرب، لأنّ الأعداد كبيرة.

15798 × 7 = 110586 ; 110586 + 6 = 110592

الترديدة الثامنة: باقي الطرف الثاني

ثمّ نقسم الطرف الثاني على 7.

36 = 5 × 7 + 1

✅النّتيجة

الباقي 6 يخالف الباقي 1، إذن الترديدة الثامنة خاطئة.

6 ≠ 1 ⟹ 48³ ≢ 36 [7]

⭐ طريقة الباقيين هي الطريق لمّا يظهر أسّ في أحد الطرفين. ⚖️ و لاحظ أنّ الترديدة الخامسة حُلّت دون حساب 63² مباشرة: نُشر المربّع، و أُخرج منه مضاعف العدد 5 حدّا حدّا. هذه هي الحركة التي ستنقذك لمّا يصير الأسّ كبيرا، لأنّك عندئذ لن تستطيع حساب العدد أصلا.

✅النّتيجة: حصيلة الترديدات الثماني

الترديدة	الطريقة المستعملة	الحكم
⁦26 ≡ 11 [5]⁩	الفرق: ⁦15 = 3 × 5⁩	صحيحة
⁦−32 ≡ 18 [10]⁩	الفرق: ⁦−50 = (−5) × 10⁩	صحيحة
⁦478 ≡ 32 [5]⁩	الفرق: ⁦446 = 89 × 5 + 1⁩	خاطئة
⁦58 ≡ −5 [7]⁩	الفرق: ⁦63 = 9 × 7⁩	صحيحة
⁦63² ≡ 14 [5]⁩	الباقيان: 4 و 4	صحيحة
⁦144 ≡ 11 [19]⁩	الباقيان: 11 و 11	صحيحة
⁦131² ≡ 25 [12]⁩	الباقيان: 1 و 1	صحيحة
⁦48³ ≡ 36 [7]⁩	الباقيان: 6 و 1	خاطئة

ستّ ترديدات صحيحة و اثنتان خاطئتان. ⛔ لاحظ أنّ الترديدة الثامنة هي الوحيدة التي يختلف فيها الباقيان مع أنّ العددين كبيران: الحجم لا يقول شيئا عن الصحّة.

مثال 3: كلّ حدود متتالية حسابية متوافقة

ليكن l عددا طبيعيّا غير معدوم و يختلف عن 1، و لتكن ⁦(uₙ)⁩ متتالية حسابية معرّفة على ℕ أساسها l. هذا هو التعميم الدقيق لنشاط الطفل الذي يقفز.

🎯المطلوب: أثبت أنّ حدّين كيفيّين من المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متوافقان بترديد l.

🔹الخطوة 1: الحدّ العامّ

نكتب الحدّ العامّ لمتتالية حسابية أساسها l.

u_n = u₀ + n l

🔹الخطوة 2: الحدّان المختاران

نأخذ حدّين كيفيّين، برتبتين مختلفتين p و k.

u_p = u₀ + p l ; u_k = u₀ + k l

🔹الخطوة 3: الطرح

نطرح، فيختفي الحدّ الأوّل.

u_p − u_k=u₀ + p l − u₀ − k l

🔹الخطوة 4: التبسيط

يبقى فرق مضاعفين للأساس.

u_p − u_k = p l − k l

🔹الخطوة 5: التحليل

نعمل على تحليل العامل المشترك.

u_p − u_k = l(p − k)

✅النّتيجة

العدد ⁦p − k⁩ صحيح، إذن الفرق مضاعف للأساس، و بالمبرهنة يكفي هذا.

u_p ≡ u_k [l]

⭐ راجع الآن نشاط الطفل: هناك كان الأساس 5، و كان كلّ حدّ من حدود المتتالية يوافق 2 بترديد 5. هنا برهنّا على الحالة العامّة، و الحالة الخاصّة تخرج منها بوضع ⁦l = 5⁩. ⚖️ هذا هو الفرق بين نشاط و مبرهنة: النشاط يلاحظ، و المبرهنة تضمن.

مثال 4: باقي قسمة عدد سالب

القسمة الإقليدية تفرض باقيا موجبا، حتّى لمّا يكون المقسوم سالبا. الطريقة التي يوصي بها الكتاب هي: نبحث عن باقي نظير العدد، ثمّ نضرب في ⁦−1⁩، ثمّ نضيف الترديد.

🎯المطلوب: عيّن باقي قسمة العدد ⁦−5817⁩ على 251.

🔹الخطوة 1: قسمة نظير العدد

نبدأ بالعدد الموجب: نقسم 5817 على 251.

5817 = 251 × 23 + 44

التحقّق العددي

نتحقّق من الضرب قبل المواصلة.

251 × 23 = 5773 ; 5773 + 44 = 5817

🔹الخطوة 2: الترديدة الأولى

نترجم القسمة إلى ترديدة.

5817 ≡ 44 [251]

🔹الخطوة 3: الضرب في ⁦−1⁩

نضرب الطرفين في ⁦−1⁩ بالخاصية 7.

−5817 ≡ −44 [251]

🔹الخطوة 4: ترديدة القاسم نفسه

العدد ⁦−44⁩ سالب، فلا يصلح باقيا: علينا رفعه إلى المجال ⁦[0 ; 251[⁩.

251 ≡ 0 [251]

🔹الخطوة 5: قلب الطرفين

نقلب الطرفين بالخاصية 3 حتّى يصير 251 في الطرف الأيمن.

0 ≡ 251 [251]

🔹الخطوة 6: الجمع

نجمع الترديدتين طرفا بطرف بالخاصية 5.

−5817 + 0 ≡ −44 + 251 [251]

🔹الخطوة 7: الحساب

فنحصل على عدد موجب محصور كما يجب.

−44 + 251 = 207 ; 0 ≤ 207 < 251

التحقّق العكسي

و نتحقّق عكسيّا بكتابة القسمة الإقليدية كاملة.

251 × (−24) + 207=−6024 + 207=−5817

✅النّتيجة

فالباقي معيّن، و هو موجب رغم أنّ المقسوم سالب.

−5817 ≡ 207 [251]

⭐ الخطوة 4 هي كلّ السرّ، و هي التي تُنسى: العدد ⁦−44⁩ ترديدة صحيحة، لكنّه ليس باقيا لأنّ الباقي محصور بين 0 و 250. إضافة 251 لا تغيّر الترديدة و ترفع العدد إلى المجال المطلوب. ⛔ لا تكتب أبدا باقيا سالبا في ورقة الامتحان: الجواب ⁦−44⁩ يُقرأ خطأ حتّى لو كانت الترديدة صحيحة.

مثال 5: حلّ ترديدة بسيطة

نبحث في ℤ عن المجموعة L لكلّ الأعداد الصحيحة x التي تحقّق الترديدة ⁦x + 4 ≡ 2[7]⁩.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة الأعداد الصحيحة x حيث ⁦x + 4 ≡ 2[7]⁩.

🔹الخطوة 1: طرح 4 من الطرفين

نطرح 4 من الطرفين. هذا مسموح به بالخاصية 5، لأنّ الطرح جمع لنظير العدد.

x + 4 − 4 ≡ 2 − 4 [7]

🔹الخطوة 2: التبسيط

فيبقى المجهول وحده في الطرف الأيسر.

x ≡ −2 [7]

🔹الخطوة 3: رفع الطرف الثاني

العدد ⁦−2⁩ سالب، فنبحث عن باقٍ موجب يوافقه.

5 − (−2) = 7 ⟹ −2 ≡ 5 [7]

🔹الخطوة 4: التعدّي

نربط الترديدتين بالتعدّي، أي بالخاصية 4.

x ≡ 5 [7]

🔹الخطوة 5: وصف الحلول

و الأعداد التي توافق 5 بترديد 7 هي التي باقيها 5 في القسمة على 7.

x = 7 k + 5 ; k ∈ ℤ

التحقّق العكسي: التعويض

⛔ لا يكفي هذا: علينا التحقّق عكسيّا من أنّ كلّ عدد من هذا الشكل يحقّق الترديدة.

(7 k + 5) + 4 = 7 k + 9

التحقّق العكسي: الترديدتان

نقرأ الترديدتين الظاهرتين في العبارة.

7 ≡ 0 [7] ; 9 ≡ 2 [7]

✅النّتيجة

فالمجموع يوافق 2 بترديد 7 مهما كان k، و المجموعة معيّنة تماما.

L = {7 k + 5 ; k ∈ ℤ}

⭐ الجواب هنا عائلة لا نهائية، و هذا طبيعي: كتابة ⁦7k + 5⁩ تصف كلّ الحلول دفعة واحدة. ⚖️ و التحقّق العكسي ليس زيادة: هو الذي يضمن أنّ العائلة كاملة و ليست جزءا من الحلول.

مثال 6: حلّ ترديدة معاملها يخالف 1

الترديدة الموالية أصعب من سابقتها: المجهول مضروب في 5، و لا يمكن القسمة على 5 لأنّ الاختزال ممنوع في الترديدات. الطريقة التي يوصي بها الكتاب هي دراسة كلّ البواقي الممكنة في القسمة على 7، و هي سبعة لا أكثر.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة الأعداد الصحيحة x حيث ⁦5x ≡ 3[7]⁩.

🔹الخطوة 1: البواقي السبعة الممكنة

كلّ عدد صحيح يوافق باقيه في القسمة على 7 بالخاصية 1، و البواقي الممكنة سبعة.

x ≡ r [7] ; r ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

نضرب كلّ حالة في 5 بالخاصية 7، ثمّ نأخذ باقي الجداء على 7. نجمع الحساب في جدول واحد.

🔹الخطوة 2: صور البواقي السبعة بالضرب في 5

الباقي الممكن للعدد x	1	2	3	4	5	6
جداؤه في 5	5	10	15	20	25	30
باقي الجداء على 7	5	3	1	6	4	2

السطر الأوّل هو الجداء كما هو، و الثاني باقيه على 7. ⭐ الحالة الوحيدة التي تعطي 3 هي ⁦x ≡ 2[7]⁩، و لا حالة غيرها.

🔹الخطوة 3: قراءة الحالة المطلوبة

نقرأ من الجدول أنّ ⁦10 ≡ 3[7]⁩، و 10 هو جداء 5 في 2.

x ≡ 2 [7] ⟹ 5 x ≡ 3 [7]

🔹الخطوة 4: وصف الحلول

x = 7 k + 2 ; k ∈ ℤ

التحقّق العكسي: التعويض

5(7 k + 2) = 35 k + 10

التحقّق العكسي: الترديدتان

35 ≡ 0 [7] ; 10 ≡ 3 [7]

✅النّتيجة

المجموعة الثانية معيّنة تماما، و التحقّق العكسي يضمن أنّها كاملة.

L' = {7 k + 2 ; k ∈ ℤ}

⭐ متى تلجأ إلى جدول البواقي؟ لمّا يكون معامل المجهول مختلفا عن 1. ⛔ و لا تحاول أبدا «قسمة الطرفين على 5»: رأينا في الخاصية 7 أنّ الاختزال ممنوع، و هو أشهر خطأ في الباب. ⚖️ الجدول ليس طولا في الحلّ: سبع حالات فقط، و هي كلّ الحالات الممكنة، فالبرهان تامّ.

مثال 7: باقي قوّة أسّها كبير جدّا

نبحث عن باقي قسمة قوى العدد 3 على 5 تبعا لقيم الأسّ، ثمّ نطبّق ذلك على أسّ لا يمكن حساب قوّته أصلا: أكثر من أربعة آلاف.

🎯المطلوب: عيّن باقي قسمة قوى العدد 3 على 5 تبعا لقيم العدد الطبيعي n، ثمّ استنتج باقي قسمة العدد 3 المرفوع إلى الأسّ 4039 على 5.

🔹الخطوة 1: الأسّان 0 و 1

نحسب بواقي القوى المتتابعة إلى أن يعود الباقي 1.

3⁰ = 1 ; 3¹ = 3

🔹الخطوة 2: الأسّ 2

نواصل مع الأسّ 2.

3²=9=5 × 1 + 4

🔹الخطوة 3: الأسّ 3

ثمّ الأسّ 3.

3³=27=5 × 5 + 2

🔹الخطوة 4: الأسّ 4

و عند الأسّ 4 يعود الباقي إلى 1: هنا يُغلق الدور.

3⁴=81=5 × 16 + 1

🔹الخطوة 5: الترديدة المفتاح

نكتب هذه الملاحظة الحاسمة في صيغة ترديدة.

3⁴ ≡ 1 [5]

🔹الخطوة 6: رفع الأسّ

نرفع الطرفين إلى الأسّ k بالخاصية 8.

3^{4 k} ≡ 1^k [5]

🔹الخطوة 7: التبسيط

و القوّة 1 مرفوعة إلى أيّ أسّ تساوي 1.

3^{4 k} ≡ 1 [5]

🔹الخطوة 8: الضرب بالخاصية 6

نضرب هذه الترديدة في الترديدة الخاصّة بالأسّ 1، بالخاصية 6.

3^{4 k} × 3¹ ≡ 1 × 3 [5]

🔹الخطوة 9: العائلة الأولى

فنقرأ باقي القوى التي أسّها من الشكل ⁦4k + 1⁩.

3^{4 k + 1} ≡ 3 [5]

🔹الخطوة 10: الضرب في القوّة الثانية

⭐ نعيد نفس الضرب مع الأسّ 2 — و هذه خطوة يمرّ عليها الكتاب بسرعة.

3^{4 k} × 3² ≡ 1 × 4 [5]

🔹الخطوة 11: العائلة الثانية

فنقرأ باقي العائلة الثانية.

3^{4 k + 2} ≡ 4 [5]

🔹الخطوة 12: الضرب في القوّة الثالثة

ثمّ نفس الشيء مع الأسّ 3.

3^{4 k} × 3³ ≡ 1 × 2 [5]

🔹الخطوة 13: العائلة الثالثة

فنقرأ باقي العائلة الثالثة، و تكتمل العائلات الأربع.

3^{4 k + 3} ≡ 2 [5]

🔹الخطوة 14: قسمة الأسّ على الدور

يبقى أن نعرف إلى أيّ عائلة ينتمي الأسّ المطلوب: نقسمه على الدور 4.

4039 = 4 × 1009 + 3

✅النّتيجة

الأسّ من الشكل ⁦4k + 3⁩، فالباقي هو باقي العائلة الثالثة.

3⁴⁰³⁹ ≡ 2 [5]

⭐ الطريقة التي يوصي بها الكتاب في مثل هذه التمارين: ابحث عن عدد طبيعي k غير معدوم حيث تكون القوّة ذات الأسّ k توافق 1 — و انتبه، هذا مستحيل في بعض الحالات. ⚖️ متى وجدته، صار حساب أيّ أسّ مسألة قسمة إقليدية على الدور، لا أكثر. و لاحظ أنّ العدد 3 المرفوع إلى الأسّ 4039 له أكثر من 1900 رقم: لم نكتب منها رقما واحدا.

7. أعمال موجهة: معايير قابلية القسمة، مبرهنا عليها

المعايير التي تحفظها منذ المتوسط — «يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3» — لم تُبرهن لك أبدا. الترديدات تبرهن عليها كلّها في ثلاثة أسطر لكلّ واحدة، و بنفس الحركة بالضبط.

جرّب بنفسك أوّلا، ثمّ اقرأ الأجوبة الموالية.

ليكن N عددا طبيعيّا مكتوبا في النظام العشري، أرقامه من رقم الآحاد a₀ إلى رقم أعلى رتبة aₙ، و هذا الأخير غير معدوم. ننشره وفق قوى العدد 10.

📌المعطى: نشر العدد وفق قوى 10

N=a_n × 10ⁿ + a_n−1 × 10ⁿ⁻¹ + ... + a₂ × 10² + a₁ × 10 + a₀

📌المعطى: شروط الأرقام

الرقم في النظام العشري محصور بين 0 و 9، و رقم أعلى رتبة لا يكون معدوما و إلّا لما كُتب.

0 ≤ a_p < 10 ; 1 ≤ a_n ≤ 9

⭐ المفتاح الوحيد لكلّ المعايير: كلّ معيار يخرج من باقي قسمة العدد 10 على القاسم المدروس. متى عرفت هذا الباقي، رفعتَه إلى الأسّ بالخاصية 8، ثمّ جمعت بالخاصية 5، فيسقط من النشر كلّ ما يسقط، و يبقى المعيار.

① المعايير على 10 و على 2 و على 5

العدد 10 مضاعف لكلّ من 10 و 2 و 5. نسمّي m أيّ واحد من هذه الأعداد الثلاثة، و نجري البرهان مرّة واحدة للثلاثة.

🔹الخطوة 1: العدد 10 مضاعف للقاسم

10=1 × 10=2 × 5

🔹الخطوة 2: الترديدة الأساس

10 ≡ 0 [m]

🔹الخطوة 3: رفع الأسّ بالخاصية 8

10^p ≡ 0 [m] ; p ≥ 1

🔹الخطوة 4: ضرب كلّ حدّ في رقمه بالخاصية 7

a_p × 10^p ≡ 0 [m] ; p ≥ 1

✅النّتيجة: الجمع بالخاصية 5

كلّ حدود النشر تحمل قوّة للعدد 10 أسّها 1 على الأقلّ، فتوافق كلّها 0؛ و لا يبقى إلّا حدّ الآحاد.

N ≡ a₀ [m]

✅النّتيجة: المعايير الثلاثة الأولى

القاسم	المعيار	قراءته بالكلمات
10	⁦a₀ = 0⁩	ينتهي العدد بصفر
2	⁦a₀ ∈ {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}⁩	رقم آحاده زوجيّ
5	⁦a₀ ∈ {0 ; 5}⁩	ينتهي العدد بـ 0 أو بـ 5

⭐ ثلاثة معايير، برهان واحد: الفرق الوحيد بينها هو الأعداد التي يقبل رقم الآحاد القسمة عليها.

✅النّتيجة: تطبيق المعايير الثلاثة على أعداد الكتاب

العدد	رقم آحاده	القاسم المدروس	الحكم
25810	0	10	يقبل القسمة
4328367	7	10	لا يقبلها
37891	1	2	لا يقبلها
7318964	4	2	يقبل القسمة
378488	8	2	يقبل القسمة
34915	5	5	يقبل القسمة
4417347	7	5	لا يقبلها
266480	0	5	يقبل القسمة

⚖️ الأحكام الثمانية محسوبة و متحقّق منها بالقسمة المباشرة كذلك.

② المعياران على 3 و على 9

هنا يتغيّر كلّ شيء: العدد 10 ليس مضاعفا للعدد 3 و لا للعدد 9، لكنّه يوافق 1 بترديد كلّ منهما. و العدد 1 مرفوع إلى أيّ أسّ يبقى 1، و هذا هو كلّ السرّ.

🔹الخطوة 1: باقي 10 على 3 و على 9

10=3 × 3 + 1=9 × 1 + 1

🔹الخطوة 2: الترديدة الأساس

10 ≡ 1 [m]

🔹الخطوة 3: رفع الأسّ بالخاصية 8

10^p ≡ 1^p [m] ⟹ 10^p ≡ 1 [m]

🔹الخطوة 4: ضرب كلّ حدّ في رقمه بالخاصية 7

a_p × 10^p ≡ a_p [m]

✅النّتيجة: الجمع بالخاصية 5

⭐ كلّ قوّة للعدد 10 تُستبدل بالعدد 1، فيصير كلّ حدّ مساويا لرقمه: العدد يوافق مجموع أرقامه بترديد 3 و بترديد 9.

N ≡ a_n + a_n−1 + ... + a₁ + a₀ [m]

✅النّتيجة: تطبيق المعيارين على أعداد الكتاب

العدد	مجموع أرقامه	القاسم المدروس	الحكم
25881	24	3	يقبل القسمة
728548	34	3	لا يقبلها
264493	28	3	لا يقبلها
25881	24	9	لا يقبلها
275841	27	9	يقبل القسمة
624599	35	9	لا يقبلها
8129736	36	9	يقبل القسمة

⭐ انتبه إلى العدد 25881: هو في القائمتين معا. مجموع أرقامه 24، يقبل القسمة على 3 و لا يقبلها على 9. قابلية القسمة على 3 لا تجرّ قابلية القسمة على 9.

مثال 8: مناقشة رقم مجهول في عدد

العدد الأوّل أرقامه 8 ثمّ 5 ثمّ 1 ثمّ رقم مجهول، و نريده أن يقبل القسمة على 10. و العدد الثاني أرقامه 5 ثمّ 4 ثمّ 7 ثمّ 5 ثمّ 6 ثمّ رقم مجهول، و نريده أن يقبل القسمة على 9.

🎯المطلوب: ناقش تبعا لقيم الرقم المجهول قابلية قسمة كلّ من العددين.

🔹الخطوة 1: نشر العدد الأوّل

ننشر العدد الأوّل وفق قوى 10، و نسمّي رقم آحاده المجهول c.

N=8 × 10³ + 5 × 10² + 1 × 10 + c

🔹الخطوة 2: تطبيق المعيار

نطبّق المعيار على 10: العدد يوافق رقم آحاده.

N ≡ c [10]

🔹الخطوة 3: الشرط

و القسمة على 10 ممكنة إذا و فقط إذا انعدم هذا الباقي.

10 | N ⟺ c ≡ 0 [10]

الجواب الأوّل

و c رقم، أي محصور بين 0 و 9، فلا يبقى إلّا احتمال واحد.

0 ≤ c ≤ 9 ; c ≡ 0 [10] ⟹ c = 0

🔹الخطوة 4: مجموع أرقام العدد الثاني

ننتقل إلى العدد الثاني، و نطبّق عليه معيار 9 هذه المرّة.

5 + 4 + 7 + 5 + 6 + c=27 + c

🔹الخطوة 5: إسقاط الجزء الثابت

العدد 27 مضاعف للعدد 9، فيسقط من الترديدة.

27 = 9 × 3 ⟹ 27 + c ≡ c [9]

🔹الخطوة 6: الشرط

فيصير الشرط شرطا على الرقم المجهول وحده.

9 | N ⟺ c ≡ 0 [9]

✅النّتيجة

و بين 0 و 9 يوجد عددان يحقّقان ذلك، لا واحد.

c ∈ {0 ; 9}

⭐ لاحظ الفرق بين الجوابين: على 10 حلّ واحد، و على 9 حلّان. السبب هو أنّ الشرط ⁦c ≡ 0[9]⁩ يقبل القيمتين 0 و 9 داخل مجال الأرقام، بينما ⁦c ≡ 0[10]⁩ لا يقبل إلّا 0. ⛔ لا تنسَ أبدا الحصر ⁦0 ≤ c ≤ 9⁩: هو جزء من المعطيات، و بدونه يصير الجواب عائلة لا نهائية.

③ المعيار على 4، ثمّ على 16

العدد 10 لا يوافق 0 و لا 1 بترديد 4. لكنّ قواه تسقط بسرعة: يكفي أن نحسب باقي قسمة قوى العدد 10 على 4 لنرى ذلك.

🔹الخطوة 1: الأسّ 0

10⁰=1=4 × 0 + 1

🔹الخطوة 2: الأسّ 1

10¹=10=4 × 2 + 2

🔹الخطوة 3: الأسّ 2

10²=100=4 × 25

🔹الخطوة 4: كلّ أسّ أكبر من 1

ابتداء من الأسّ 2 يظهر العامل 100 في كلّ قوّة، و 100 مضاعف للعدد 4.

10^p = 100 × 10^p−2 ⟹ 10^p ≡ 0 [4] ; p ≥ 2

✅النّتيجة: ما يبقى من النشر

كلّ الحدود التي أسّها 2 على الأقلّ توافق 0، فلا يبقى إلّا حدّا العشرات و الآحاد. و العدد ⁦10a₁ + a₀⁩ هو العدد المكوّن من رقمي عشرات العدد و آحاده.

N ≡ 10 a₁ + a₀ [4]

✅النّتيجة: تطبيق معيار 4 على أعداد الكتاب

العدد	عدد رقمي عشراته و آحاده	الحكم
38924	24	يقبل القسمة على 4
74820	20	يقبل القسمة على 4
85930	30	لا يقبلها

بنفس الطريقة مع 16: الأسّ 4

10⁴=10000=16 × 625

✅النّتيجة: معيار القسمة على 16

⭐ ابتداء من الأسّ 4 تصير كلّ قوّة مضاعفا للعدد 16، فيبقى العدد المكوّن من الأرقام الأربعة الأخيرة وحده. نفس البرهان، و العتبة وحدها تغيّرت.

N ≡ a₃ × 10³ + a₂ × 10² + a₁ × 10 + a₀ [16]

④ المعيار على 11

الحالة الأخيرة هي أجملها: العدد 10 لا يوافق 0 و لا 1 بترديد 11، بل يوافق ⁦−1⁩. و قوى العدد ⁦−1⁩ تتناوب بين 1 و ⁦−1⁩، فيتناوب المجموع كذلك.

🔹الخطوة 1: الترديدة الأساس

10 + 1 = 11 ⟹ 10 ≡ −1 [11]

🔹الخطوة 2: رفع الأسّ بالخاصية 8

10^p ≡ (−1)^p [11]

🔹الخطوة 3: قوّة العدد ⁦−1⁩ بأسّ زوجيّ

(−1)^{2 k} = 1

🔹الخطوة 4: قوّة العدد ⁦−1⁩ بأسّ فرديّ

فالقوى تتناوب: 1 ثمّ ⁦−1⁩ ثمّ 1 ثمّ ⁦−1⁩، تبعا لزوجية الأسّ.

(−1)^{2 k + 1} = −1

🔹الخطوة 5: ضرب كلّ حدّ في رقمه بالخاصية 7

a_p × 10^p ≡ (−1)^p × a_p [11]

✅النّتيجة: الجمع بالخاصية 5

العدد يوافق المجموع المتناوب لأرقامه: نبدأ من رقم الآحاد بإشارة زائد، ثمّ نتناوب. و المعيار هو أن يقبل هذا المجموع القسمة على 11.

N ≡ (−1)ⁿ × a_n + (−1)ⁿ⁻¹ × a_n−1 + ... + a₂ − a₁ + a₀ [11]

✅النّتيجة: تطبيق معيار 11 على أعداد الكتاب

العدد	مجموعه المتناوب انطلاقا من الآحاد	الحكم
3658721	0	يقبل القسمة على 11
287392358	11	يقبل القسمة على 11
51829941	⁦−13⁩	لا يقبلها
7345591	0	يقبل القسمة على 11

⭐ العدد 0 مضاعف للعدد 11، فالسطران الأوّل و الأخير يقبلان القسمة. و العدد ⁦−13⁩ ليس مضاعفا له، و إشارته السالبة لا تغيّر شيئا في الحكم.

⭐ كلّ هذه المعايير برهان واحد يتكرّر سبع مرّات: احسب باقي قسمة 10 على القاسم، ارفعه إلى الأسّ بالخاصية 8، اضرب في الرقم بالخاصية 7، اجمع بالخاصية 5. ⚖️ و هكذا يمكنك أن تبني بنفسك معيار القسمة على 8 أو على 25 أو على 7: القاعدة ليست قائمة تُحفظ، بل طريقة.

8. أعمال موجهة: مفتاح اللصيقة

نعود إلى سؤال البداية. اللصيقة التي تُمرّ أمام القارئ الضوئي تحمل ثلاثة عشر رقما: اثنا عشر رقما للترميز، و رقم ثالث عشر يسمّى المفتاح، و هو محسوب من الاثني عشر الأخرى بترديدة واحدة.

لصيقة ترميز بالأعمدة تحتها ثلاثة عشر رقما، أوّلها المفتاح؛ و تحتها صفّ من ثلاث عشرة خانة، خانات الرتب الفردية منها مظلّلة لأنّها هي التي يتكوّن منها المجموع الأوّل، ثمّ قاعدة صحّة اللصيقة مكتوبة أسفل الصفّ. — ⭐ التظليل ليس زينة: خانات الرتب الفردية هي التي تُضرب في 3.

نسمّي R المفتاح، و C₁ إلى C₁₂ أرقام الترميز، و هي أعداد طبيعية محصورة بين 0 و 9. نحسب مجموعين: مجموع أرقام الرتب الفردية، و مجموع أرقام الرتب الزوجية.

📌المعطى: مجموع أرقام الرتب الفردية

S_i=C₁ + C₃ + C₅ + C₇ + C₉ + C₁₁

📌المعطى: مجموع أرقام الرتب الزوجية

S_p=C₂ + C₄ + C₆ + C₈ + C₁₀ + C₁₂

قاعدة صحّة اللصيقة

⭐ هذه هي الترديدة كلّها: مجموع مرجّح لأرقام اللصيقة، يجب أن ينتهي بصفر. و المعامل 3 هو الذي يميّز الرتب الفردية عن الزوجية، فيجعل ترتيب الأرقام مهمّا، لا مجموعها وحده.

3 S_i + S_p + R ≡ 0 [10]

جرّب بنفسك أوّلا، ثمّ اقرأ الأجوبة الموالية.

مثال 9: التحقّق من لصيقة، ثمّ حساب مفتاح

اللصيقة الأولى هي المصوّرة أعلاه، و مفتاحها مقروء على الصورة. أمّا الثانية فأرقام ترميزها معطاة و مفتاحها مطلوب.

🎯المطلوب: تحقّق من صحّة اللصيقة الأولى، ثمّ احسب مفتاح اللصيقة الثانية.

📌المعطى: اللصيقة الأولى

نقرأ أرقام اللصيقة الأولى بالترتيب، بعد المفتاح.

R = 4 ; (0 ; 1 ; 8 ; 4 ; 7 ; 4 ; 3 ; 3 ; 2 ; 1 ; 8 ; 9)

🔹الخطوة 1: المجموع الأوّل

نجمع أرقام الرتب الفردية، أي الأوّل و الثالث و الخامس و السابع و التاسع و الحادي عشر.

S_i=0 + 8 + 7 + 3 + 2 + 8=28

🔹الخطوة 2: المجموع الثاني

ثمّ أرقام الرتب الزوجية.

S_p=1 + 4 + 4 + 3 + 1 + 9=22

🔹الخطوة 3: تطبيق القاعدة

نطبّق القاعدة بالمفتاح المقروء على اللصيقة.

3 × 28 + 22 + 4=84 + 22 + 4=110

✅النّتيجة الأولى

العدد 110 ينتهي بصفر، إذن الترديدة محقّقة و اللصيقة سليمة.

110 = 10 × 11 ⟹ 3 S_i + S_p + R ≡ 0 [10]

📌المعطى: اللصيقة الثانية

ننتقل إلى اللصيقة الثانية، و هذه المرّة المفتاح هو المجهول.

(5 ; 1 ; 6 ; 0 ; 3 ; 2 ; 4 ; 2 ; 1 ; 5 ; 3 ; 7)

🔹الخطوة 4: المجموع الأوّل

نجمع أرقام الرتب الفردية.

S_i=5 + 6 + 3 + 4 + 1 + 3=22

🔹الخطوة 5: المجموع الثاني

ثمّ أرقام الرتب الزوجية.

S_p=1 + 0 + 2 + 2 + 5 + 7=17

🔹الخطوة 6: الجزء المعلوم

نحسب الجزء المعلوم من المجموع المرجّح.

3 × 22 + 17=66 + 17=83

🔹الخطوة 7: الشرط على المفتاح

فيصير الشرط ترديدة ذات مجهول واحد.

83 + R ≡ 0 [10]

✅النّتيجة

و المفتاح رقم، أي محصور بين 0 و 9، فلا يوجد إلّا قيمة واحدة تجعل المجموع ينتهي بصفر.

0 ≤ R ≤ 9 ; 83 + 7 = 90 ⟹ R = 7

⭐ المفتاح وحيد دائما: الشرط هو أن ينتهي المجموع المرجّح بصفر، و بين 0 و 9 لا يوجد إلّا رقم واحد يفعل ذلك. ⛔ و لا تخلط بين الرتب: الرتبة تُعدّ من أوّل رقم بعد المفتاح، لا من المفتاح نفسه.

مثال 10: لصيقتان بنفس المفتاح، ثمّ رقم مجهول

اللصيقتان الأوليان متطابقتان إلّا في الرتبتين الأولى و الثالثة، حيث يتبادل الحرفان مكانيهما. و اللصيقة الثالثة مفتاحها 8 و فيها رقم مجهول.

🎯المطلوب: بيّن أنّ للّصيقتين الأوليين نفس المفتاح، ثمّ عيّن الرقم المجهول في الثالثة.

📌المعطى: اللصيقة الأولى

نكتب اللصيقة الأولى بحرفيها في الرتبتين الأولى و الثالثة.

(a ; 7 ; b ; 0 ; 4 ; 1 ; 5 ; 6 ; 3 ; 6 ; 6 ; 2)

📌المعطى: اللصيقة الثانية

و الثانية هي نفسها مع تبديل الحرفين.

(b ; 7 ; a ; 0 ; 4 ; 1 ; 5 ; 6 ; 3 ; 6 ; 6 ; 2)

🔹الخطوة 1: المجموع الأوّل للّصيقة الأولى

⭐ الملاحظة الحاسمة: الرتبتان 1 و 3 فرديتان كلتاهما، فالحرفان في نفس المجموع.

S_i=a + b + 4 + 5 + 3 + 6=a + b + 18

🔹الخطوة 2: المجموع الأوّل للّصيقة الثانية

و في اللصيقة الثانية يتبادل الحرفان مكانيهما داخل نفس المجموع.

S_i=b + a + 4 + 5 + 3 + 6=a + b + 18

🔹الخطوة 3: المجموع الثاني، مشترك

و المجموع الثاني لم يمسّه التبديل أصلا، لأنّ الحرفين ليسا فيه.

S_p=7 + 0 + 1 + 6 + 6 + 2=22

✅النّتيجة الأولى

فالشرط الذي يحدّد المفتاح واحد في الحالتين، مهما كانت قيمتا الحرفين.

3(a + b + 18) + 22 + R ≡ 0 [10]

📌المعطى: اللصيقة الثالثة

ننتقل إلى اللصيقة الثالثة: مفتاحها معلوم و فيها رقم مجهول في الرتبة السادسة.

R = 8 ; (3 ; 9 ; 9 ; 4 ; 2 ; c ; 2 ; 0 ; 0 ; 3 ; 4 ; 1)

🔹الخطوة 4: المجموع الأوّل

المجهول في رتبة زوجية، فلا يظهر في المجموع الأوّل.

S_i=3 + 9 + 2 + 2 + 0 + 4=20

🔹الخطوة 5: المجموع الثاني

و يظهر في المجموع الثاني وحده.

S_p=9 + 4 + c + 0 + 3 + 1=17 + c

🔹الخطوة 6: تطبيق القاعدة

نطبّق القاعدة، فيصير المجموع المرجّح عبارة من الدرجة الأولى في المجهول.

3 × 20 + 17 + c + 8=85 + c

✅النّتيجة

و المجهول رقم، فلا توجد إلّا قيمة واحدة تجعل المجموع ينتهي بصفر.

0 ≤ c ≤ 9 ; 85 + 5 = 90 ⟹ c = 5

⭐ هذا هو حدّ النظام، و من المهمّ معرفته. خطأ في رقم واحد يُكشف دائما: المجموع المرجّح يتغيّر بمقدار d أو 3d، مع d محصور بين 1 و 9، و لا ينعدم بترديد 10 أبدا. أمّا تبديل رقمين من نفس نوع الرتبة فلا يُكشف أبدا، كما رأينا هنا: المجموعان لا يتغيّران. ⚖️ و تبديل رقمين متجاورين يغيّر المجموع بمقدار ضِعف الفرق بينهما، فيُكشف إلّا إذا كان الفرق بينهما 5 بالضبط — مثل 0 و 5، أو 1 و 6: عندئذ يكون ضعف الفرق 10، و هو معدوم بترديد 10.

مثال 11: لصيقة برقمين مجهولين

في هذه اللصيقة استُبدل رقمان بحرفين: d في الرتبة الأولى و e في الرتبة الثانية، و المفتاح 1.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الحرف الثاني يحقّق العلاقة ⁦e ≡ −3d − 1[10]⁩، ثمّ استنتج القيم الممكنة للثنائية.

📌المعطى: اللصيقة

نكتب اللصيقة: المفتاح 1، ثمّ الحرفان في الرتبتين الأولى و الثانية.

R = 1 ; (d ; e ; 9 ; 3 ; 6 ; 7 ; 3 ; 5 ; 8 ; 0 ; 2 ; 1)

🔹الخطوة 1: المجموع الأوّل

الحرف الأوّل في رتبة فردية، فهو في المجموع الأوّل.

S_i=d + 9 + 6 + 3 + 8 + 2=d + 28

🔹الخطوة 2: المجموع الثاني

و الحرف الثاني في رتبة زوجية، فهو في المجموع الثاني.

S_p=e + 3 + 7 + 5 + 0 + 1=e + 16

🔹الخطوة 3: تطبيق القاعدة

نطبّق القاعدة بالمفتاح 1.

3(d + 28) + (e + 16) + 1 ≡ 0 [10]

🔹الخطوة 4: النشر

ننشر، فيظهر مجهولان و ثابت.

3 d + 84 + e + 16 + 1=3 d + e + 101

🔹الخطوة 5: تصغير الثابت

نصغّر الثابت بترديدة: 101 يوافق 1 بترديد 10.

101 = 10 × 10 + 1 ⟹ 101 ≡ 1 [10]

🔹الخطوة 6: الشرط المبسّط

فيصير الشرط أخفّ بكثير.

3 d + e + 1 ≡ 0 [10]

✅النّتيجة: العلاقة المطلوبة

نعزل الحرف الثاني بطرح الحدّين الآخرين، و الطرح مسموح به بالخاصية 5.

e ≡ −3 d − 1 [10]

⭐ العلاقة تعطي e بدلالة d، لا العكس: فنعطي للحرف d قيمه العشر واحدة واحدة، و نقرأ في كلّ مرّة القيمة الوحيدة للحرف e المحصورة بين 0 و 9.

✅النّتيجة: القيم العشر الممكنة

d	⁦−3d − 1⁩	e (الباقي على 10)
0	⁦−1⁩	9
1	⁦−4⁩	6
2	⁦−7⁩	3
3	⁦−10⁩	0
4	⁦−13⁩	7
5	⁦−16⁩	4
6	⁦−19⁩	1
7	⁦−22⁩	8
8	⁦−25⁩	5
9	⁦−28⁩	2

⭐ عشر ثنائيات لا أكثر، و لكلّ قيمة للحرف d قيمة وحيدة للحرف e. ⚠️ الكتاب يكتب الثنائية بترتيب e ثمّ d؛ و الحرّ منهما هو d، و e هو التابع.

⭐ هذا التمرين هو نموذج مصغّر لكلّ ما سبق: ترديدة واحدة، مجهول واحد، و حصر على الأرقام يجعل عدد الحلول منتهيا. ⚖️ و الحصر ⁦0 ≤ d ≤ 9⁩ ليس تفصيلا: بدونه تصير الحلول لا نهائية، و هو الذي يحوّل ترديدة إلى قائمة.

9. استعد للبكالوريا: موضوع محلول

التمرين الموالي موضوع بكالوريا كامل، و هو أفضل ما يلخّص الباب: يبدأ بدورية القوى، يمرّ بمعيار القسمة على 9، و ينتهي بتعيين عدد لا يمكن كتابته أصلا.

مثال 12: دورية القوى، ثمّ معيار القسمة على 9

نسمّي N عددا طبيعيّا مكتوبا في النظام العشري، و S مجموع أرقامه.

🎯المطلوب: عيّن بواقي قسمة قوى العدد 7 على 9، ثمّ برهن أنّ العدد 2005 المرفوع إلى الأسّ 2005 يوافق 7 بترديد 9، ثمّ أثبت العلاقة بين العدد و مجموع أرقامه.

🔹الخطوة 1: الأسّ 1

نحسب بواقي القوى المتتابعة للعدد 7 على 9، إلى أن يعود الباقي 1.

7¹=7=9 × 0 + 7

🔹الخطوة 2: الأسّ 2

نواصل مع الأسّ 2.

7²=49=9 × 5 + 4

🔹الخطوة 3: الأسّ 3

و عند الأسّ 3 يعود الباقي إلى 1: الدور يساوي 3.

7³=343=9 × 38 + 1

🔹الخطوة 4: العائلة الأولى

نكتب الملاحظة في صيغة ترديدة، ثمّ نرفعها إلى الأسّ k بالخاصية 8.

7^{3 k} ≡ 1^k [9] ⟹ 7^{3 k} ≡ 1 [9]

🔹الخطوة 5: العائلة الثانية

نضرب في الترديدة الخاصّة بالأسّ 1، بالخاصية 6.

7^{3 k} × 7 ≡ 1 × 7 [9] ⟹ 7^{3 k + 1} ≡ 7 [9]

🔹الخطوة 6: العائلة الثالثة

ثمّ في الترديدة الخاصّة بالأسّ 2، بنفس الخاصية.

7^{3 k} × 7² ≡ 1 × 4 [9] ⟹ 7^{3 k + 2} ≡ 4 [9]

🔹الخطوة 7: باقي الأساس

ننتقل إلى العدد المطلوب. نبحث عن باقيه على 9 بمجموع أرقامه، و هو المعيار الذي برهنّا عليه في الأعمال الموجهة.

2 + 0 + 0 + 5 = 7 ⟹ 2005 ≡ 7 [9]

🔹الخطوة 8: رفع الأسّ

نرفع الطرفين إلى الأسّ المطلوب بالخاصية 8.

2005²⁰⁰⁵ ≡ 7²⁰⁰⁵ [9]

🔹الخطوة 9: قسمة الأسّ على الدور

يبقى أن نعرف إلى أيّ عائلة ينتمي هذا الأسّ: نقسمه على الدور 3.

2005 = 3 × 668 + 1

✅النّتيجة الأولى

الأسّ من الشكل ⁦3k + 1⁩، فالباقي هو 7.

2005²⁰⁰⁵ ≡ 7 [9]

🔹الخطوة 10: ترديدة العدد 10

ننتقل إلى السؤال الثاني. العدد 10 يوافق 1 بترديد 9.

10 = 9 + 1 ⟹ 10 ≡ 1 [9]

🔹الخطوة 11: كلّ قوى العدد 10

نرفع الطرفين إلى الأسّ n بالخاصية 8، فتبقى القوّة توافق 1 مهما كان الأسّ.

10ⁿ ≡ 1ⁿ [9] ⟹ 10ⁿ ≡ 1 [9]

🔹الخطوة 12: نشر العدد

ننشر العدد وفق قوى العدد 10.

N=a_n × 10ⁿ + ... + a₁ × 10 + a₀

🔹الخطوة 13: التعويض و الجمع

نعوّض كلّ قوّة بالعدد 1 بالخاصية 7، ثمّ نجمع بالخاصية 5.

N ≡ a_n + ... + a₁ + a₀ [9]

✅النّتيجة الثانية

و المجموع في الطرف الثاني هو بالضبط مجموع أرقام العدد.

N ≡ S [9]

✅النّتيجة الثالثة

و القسمة على 9 ممكنة إذا و فقط إذا انعدم الباقي، في الطرفين معا.

9 | N ⟺ 9 | S

⭐ لاحظ الاقتصاد: لم يُحسب أيّ عدد كبير. العدد 2005 المرفوع إلى الأسّ 2005 لم يُكتب، و لم يكن ذلك ضروريّا: الترديدات وحدها كافية. ⚖️ و لاحظ أنّ السؤال الثاني يعيد بناء معيار القسمة على 9 الذي برهنّا عليه في الأعمال الموجهة: نفس البرهان يعود مرّتين في نفس الباب، و هذا ليس صدفة.

مثال 13: تعيين عدد لا يمكن كتابته

نضع A العدد 2005 مرفوعا إلى الأسّ 2005، و B مجموع أرقام A، و C مجموع أرقام B، و D مجموع أرقام C. الرمزان x و y هما رقما العدد C، و قد سمّيناهما هكذا حتّى لا يختلطا بأرقام العدد N في السؤال السابق.

🎯المطلوب: برهن أنّ D يساوي 7.

🔹الخطوة 1: الترديدات الثلاث

مجموع أرقام عدد يوافقه بترديد 9، فنطبّق النتيجة ثلاث مرّات متتابعة.

A ≡ B [9] ; B ≡ C [9] ; C ≡ D [9]

🔹الخطوة 2: التعدّي

نربطها بالتعدّي، أي بالخاصية 4.

A ≡ D [9]

🔹الخطوة 3: حصر العدد و عدد أرقامه

⭐ نحصر الأساس بقوّة للعدد 10، ثمّ نرفع الطرفين إلى الأسّ 2005. و العدد الذي يساوي 1 متبوعا بـ k صفرا يُكتب بـ ⁦k + 1⁩ رقما، فكلّ عدد أصغر منه يُكتب بـ k رقما على الأكثر: للعدد A إذن 8020 رقما على الأكثر.

2005 < 10⁴ ⟹ A < 10⁸⁰²⁰

🔹الخطوة 4: حصر المجموع الأوّل

و كلّ رقم من أرقامه أصغر من أو يساوي 9، فنحصر مجموع أرقامه.

B ≤ 9 × 8020 = 72180

🔹الخطوة 5: حصر المجموع الثاني

نعيد نفس الحجّة على العدد الجديد: هو أصغر من 100000، فله خمسة أرقام على الأكثر.

72180 < 10⁵ ⟹ C ≤ 5 × 9 = 45

🔹الخطوة 6: كتابة العدد برقمين

العدد الثالث أصغر من 45، فهو يُكتب برقمين نسمّيهما x و y.

C = 10 x + y ⟹ D = x + y

🔹الخطوة 7: حصر الرقمين

و حصر العدد يفرض حصرا على رقميه.

0 ≤ x ≤ 4 ; 0 ≤ y ≤ 9

🔹الخطوة 8: حصر المجموع الثالث

فنجمع الحصرين.

0 ≤ x + y ≤ 13 ⟹ D ≤ 13

🔹الخطوة 9: ترديدة العدد المطلوب

نعود الآن إلى الترديدة: العدد الأوّل يوافق 7، و يوافق كذلك العدد الثالث.

A ≡ 7 [9] ; A ≡ D [9] ⟹ D ≡ 7 [9]

🔹الخطوة 10: وصف الحلول

فالعدد المطلوب يُكتب على الصيغة الموالية.

D = 9 k + 7 ; k ∈ ℕ

🔹الخطوة 11: الحصر يفرض قيمة واحدة

و الحصر الذي بنيناه لا يترك إلّا قيمة واحدة للوسيط.

0 ≤ 9 k + 7 ≤ 13 ⟹ k = 0

✅النّتيجة

فالعدد معيّن تماما، دون أن يُكتب منه رقم واحد.

D = 7

⭐ هذا التمرين هو قمّة الباب، و آليّته في سطرين: الترديدة تعطي D بترديد 9، و الحصر المتتابع يعطي ⁦D ≤ 13⁩، و الاثنان معا يعيّنانه. ⚖️ لاحظ أنّ الحصر واسع جدّا و لا يضرّ ذلك في شيء: العدد A له في الحقيقة 6621 رقما لا 8020، و B يساوي 29779 لا 72180، و C يساوي 34 لا 45. الحصر لم يكن دقيقا، لكنّه كان كافيا، و هذا كلّ ما يُطلب منه.

10. استعد للبكالوريا: موضوع موجّه

جرّبه بنفسك قبل أن تقرأه: هذا هو الغرض من الصفحة.

في كلّ التمرين، n عدد طبيعي غير معدوم. و التوجيهات التي يعطيها الكتاب هي التي تدلّ على الطريق: ابحث عن الباقي الأوّل و الثاني ثمّ استعمل خواصّ الأسّ؛ تجنّب البرهان بالتراجع و حاول تحليل العبارة؛ استنتج أنّ البواقي تشكّل متتالية دورية ثمّ اقسم على الدور؛ فكّر في أنّ القاسم المشترك الوحيد هو 1؛ استعمل مجموع حدود متتابعة لمتتالية هندسية.

أحسب بواقي القسمة الإقليدية للعدد 3 مرفوعا إلى الأسّ n على 7، من أجل n من 1 إلى 6.
برهن أنّه من أجل كلّ n، الفرق بين القوّتين ذواتي الأسّين ⁦n + 6⁩ و n يقبل القسمة على 7.
استنتج أنّ للقوّتين نفس الباقي في القسمة على 7.
أحسب باقي القسمة الإقليدية للعدد 3 مرفوعا إلى الأسّ 1000 على 7.
استنتج أنّه من أجل كلّ n، العددان 3 مرفوعا إلى الأسّ n و 7 أوليان فيما بينهما.
ليكن Uₙ مجموع القوى المتتابعة للعدد 3 من الأسّ 0 إلى الأسّ ⁦n − 1⁩، مع ⁦n ≥ 2⁩؛ بيّن أنّ Uₙ يقبل القسمة على 7 إذا و فقط إذا كان الفرق بين القوّة ذات الأسّ n و 1 يقبل القسمة على 7، ثمّ استنتج قيم n.

مثال 14: الحلّ الكامل للموضوع الموجّه

نتبع التوجيهات واحدا واحدا. و أوّلها: احسب الباقيين الأوّلين، ثمّ استعمل خواصّ الأسّ بدل حساب كلّ قوّة على حدة.

🎯المطلوب: احسب بواقي قسمة قوى العدد 3 على 7، ثمّ استنتج باقي القوّة ذات الأسّ 1000، ثمّ عيّن قيم n التي يقبل من أجلها المجموع Uₙ القسمة على 7.

🔹الخطوة 1: الأسّ 1

3¹=3=7 × 0 + 3

🔹الخطوة 2: الأسّ 2

3²=9=7 × 1 + 2

🔹الخطوة 3: الأسّ 3

نستعمل القوّة السابقة بدل حساب المكعّب من الصفر، كما توصي التوجيهات.

3³=3 × 3²=27=7 × 3 + 6

🔹الخطوة 4: الأسّ 4

3⁴=(3²)²=81=7 × 11 + 4

🔹الخطوة 5: الأسّ 5

3⁵=3 × 3⁴=243=7 × 34 + 5

🔹الخطوة 6: الأسّ 6

عند الأسّ 6 يعود الباقي إلى 1: الدور يساوي 6، لا 4 كما في الترديد 5.

3⁶=(3³)²=729=7 × 104 + 1

✅النّتيجة: البواقي الستّة، و هي دورية

الأسّ n	1	2	3	4	5	6
باقي القوّة على 7	3	2	6	4	5	1

⭐ البواقي الستّة كلّها مختلفة، و لا يظهر فيها الصفر أبدا: هذه الملاحظة الأخيرة هي التي ستعطي الأوّلية فيما بينهما.

🔹الخطوة 7: تحليل الفرق

نتّبع التوجيه: نتجنّب البرهان بالتراجع و نحلّل العبارة.

3^{n + 6} − 3ⁿ = 3ⁿ(3⁶ − 1)

🔹الخطوة 8: قيمة العامل الثابت

3⁶ − 1=729 − 1=728=7 × 104

✅النّتيجة الأولى

العدد الناتج جداء فيه العامل 7، إذن الفرق يقبل القسمة على 7 مهما كان n.

3^{n + 6} − 3ⁿ = 3ⁿ × 7 × 104

✅النّتيجة الثانية: نفس الباقي

الفرق مضاعف للعدد 7، و بالمبرهنة هذا يعني أنّ للقوّتين نفس الباقي. و هذا هو معنى الدورية بالضبط.

3^{n + 6} ≡ 3ⁿ [7]

🔹الخطوة 9: قسمة الأسّ على الدور

1000 = 6 × 166 + 4

✅النّتيجة الثالثة

الأسّ 1000 يعطي نفس باقي الأسّ 4، لأنّهما يفترقان بمضاعف للدور 6.

3¹⁰⁰⁰ ≡ 3⁴ ≡ 4 [7]

🔹الخطوة 10: الباقي لا ينعدم أبدا

3ⁿ ≡ r [7] ; r ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

✅النّتيجة الرابعة: الأوّلية فيما بينهما

قواسم العدد 7 الموجبة هي 1 و 7 لا غير. و العدد 7 لا يقسم أيّ قوّة للعدد 3 لأنّ باقيها لا ينعدم أبدا، فلا يبقى قاسما مشتركا إلّا 1.

PGCD(3ⁿ ; 7) = 1

🔹الخطوة 11: مجموع حدود متتابعة لمتتالية هندسية

المجموع مجموع حدود متتابعة لمتتالية هندسية أساسها 3 و حدّها الأوّل 1، كما توصي التوجيهات.

U_n=3ⁿ − 13 − 1

🔹الخطوة 12: التبسيط

2 U_n = 3ⁿ − 1

🔹الخطوة 13: الاتّجاه المباشر

إن قبل المجموع القسمة على 7، قبلها ضِعفه كذلك، و ضعفه هو الفرق المطلوب.

U_n = 7 m ⟹ 3ⁿ − 1 = 14 m = 7 × 2 m

🔹الخطوة 14: الاتّجاه العكسي

3ⁿ − 1 = 7 k ⟹ 2 U_n = 7 k

🔹الخطوة 15: زوجية العامل

⭐ الطرف الأيسر زوجيّ و العدد 7 فرديّ، إذن العامل k هو الزوجيّ. هذه هي الخطوة التي يشير إليها التوجيه الأخير، و بدونها لا يكتمل الاتّجاه العكسي.

2 U_n = 7 k ⟹ k = 2 k'

🔹الخطوة 16: القسمة على 2

U_n = 7 k'

✅النّتيجة الخامسة: التكافؤ

7 | U_n ⟺ 7 | (3ⁿ − 1)

🔹الخطوة 17: متى يقبل الفرق القسمة على 7

نقرأ ذلك من جدول البواقي: الباقي 1 لا يظهر إلّا عند الأسّ 6، ثمّ يعود كلّ ستّ خطوات بحكم الدورية.

3ⁿ ≡ 1 [7] ⟺ n = 6 k

✅النّتيجة السادسة

7 | U_n ⟺ n = 6 k ; k ∈ ℕ*

⭐ كان يمكن هنا استعمال مبرهنة غوص، لكنّها تأتي في درس لاحق. فالحلّ أعلاه لا يستعملها: زوجية العامل تكفي تماما، و هي في متناولك بما تعرفه الآن. ⚖️ اقرأ التوجيهات دائما قبل أن تبدأ: هي التي تقول لك أيّ طريق أقصر.

⛔ في الباكالوريا، تمرين الترديدات يُنقّط على الحركة بقدر ما يُنقّط على الجواب: سمِّ الخاصية التي استعملتها في كلّ سطر (5 للجمع، 6 للجداء، 7 للضرب في عدد، 8 للأسّ)، و لا تكتب أبدا باقيا سالبا أو أكبر من الترديد، و أنهِ كلّ ترديدة ذات مجهول بتحقّق عكسي مكتوب. ⚖️ و في تمارين القوى، ابحث دائما عن الأسّ الذي يعيد الباقي إلى 1: هو الدور، و بعده لا يبقى إلّا قسمة إقليدية واحدة.

الخلاصة: ⁦a ≡ b[n]⁩ تعني أنّ للعددين نفس الباقي في القسمة على n، و تعني بالتكافؤ أنّ ⁦a − b⁩ مضاعف للعدد n — و هذه القراءة الثانية هي التي تُستعمل في البرهان. الخواص الثماني تسمح بالجمع و الضرب و رفع الأسّ على الترديدات كما على المساواة، إلّا الاختزال فهو ممنوع. و منها تخرج ثلاث حركات تغطّي الباب كلّه: تصغير عدد كبير بباقيه، و إيجاد دور بواقي القوى ثمّ قسمة الأسّ عليه، و دراسة كلّ البواقي الممكنة لحلّ ترديدة ذات مجهول. و منها تخرج كذلك معايير قابلية القسمة كلّها، بنفس البرهان المتكرّر، و مفتاح اللصيقة الذي فتح هذا الدرس.

الصفحة 1/35

📍 خلال السنة

🟦 ف1 · 🟩 ف2 · 🟪 ف3 · 📝 امتحانات الأسابيع 14/27/36 · 🎓 بكالوريا

📌 لتتذكّر

الخلاصة: ⁦a ≡ b[n]⁩ تعني أنّ للعددين نفس الباقي في القسمة على n، و تعني بالتكافؤ أنّ ⁦a − b⁩ مضاعف للعدد n — و هذه القراءة الثانية هي التي تُستعمل في البرهان. الخواص الثماني تسمح بالجمع و الضرب و رفع الأسّ على الترديدات كما على المساواة، إلّا الاختزال فهو ممنوع. و منها تخرج ثلاث حركات تغطّي الباب كلّه: تصغير عدد كبير بباقيه، و إيجاد دور بواقي القوى ثمّ قسمة الأسّ عليه، و دراسة كلّ البواقي الممكنة لحلّ ترديدة ذات مجهول. و منها تخرج كذلك معايير قابلية القسمة كلّها، بنفس البرهان المتكرّر، و مفتاح اللصيقة الذي فتح هذا الدرس.

دالة باقي القسمة في المجدول

MOD(a ; b)

الجواب 1: البواقي الممكنة على 5

r ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}

الجواب 2: القوى الأربع الأولى

2¹ = 2 = 5 × 0 + 2 ; 2² = 4 = 5 × 0 + 4

الجواب 2: القوّتان المواليتان

2³ = 8 = 5 × 1 + 3 ; 2⁴ = 16 = 5 × 3 + 1

الجواب 3: التخمين

1 ; 2 ; 4 ; 3 ; 1 ; 2 ; 4 ; 3 ; ...

تعريف الموافقة

a ≡ b [n]

aعدد صحيح كيفيّbعدد صحيح كيفيّnالترديد، و هو عدد طبيعي غير معدوم

ما يعنيه التعريف بالضبط

a = n q + r ; b = n q' + r ; 0 ≤ r < n

المثال الأوّل

27 ≡ 92 [5]

الموافقات في ℤ: تعاريف و خواص

1. نشاطان يقودان إلى الفكرة

النشاط الأوّل: بواقي القسمة على 5 على المجدول

النشاط الثاني: الطفل الذي يقفز

2. نشاط: بواقي 2n على 5 تدور

3. تعريف الموافقة و ترميزها

4. المبرهنة: نفس الباقي، أو فرق مضاعف

5. الخواص الثماني للترديدات

الخاصية 1: كلّ عدد يوافق باقيه

الخاصية 2: كلّ عدد يوافق نفسه

الخاصية 3: يمكن قلب الطرفين

الخاصية 4: التعدّي

الخاصية 5: جمع ترديدتين طرفا بطرف

الخاصية 6: ضرب ترديدتين طرفا بطرف

الخاصية 7: الضرب في عدد صحيح

الخاصية 8: رفع الطرفين إلى نفس الأسّ

6. الطرائق، مثالا مثالا

7. أعمال موجهة: معايير قابلية القسمة، مبرهنا عليها

① المعايير على 10 و على 2 و على 5

② المعياران على 3 و على 9

③ المعيار على 4، ثمّ على 16

④ المعيار على 11

8. أعمال موجهة: مفتاح اللصيقة

9. استعد للبكالوريا: موضوع محلول

10. استعد للبكالوريا: موضوع موجّه

2. نشاط: بواقي 2ⁿ على 5 تدور