الأعداد والحساب › التعداد
التعداد: نشر عدد طبيعي وفق أساس
الجواب في جملة واحدة: الكتابة العشرية ليست العدد، بل نشر له وفق قوى العشرة. حين تكتب 3959 فأنت تقول في الحقيقة ثلاثة آلاف، و تسع مئات، و خمس عشرات، و تسع وحدات، أي 3×10³ + 9×10² + 5×10 + 9. و ما دام هذا نشرا وفق العشرة، فلا شيء يمنع من نشر العدد نفسه وفق السّتّة أو وفق الاثنين. هذا الدرس يبني هذه الفكرة الواحدة، ثمّ يعطي الطريقين اللذين يذهبان من نظام إلى آخر: التعويض في اتّجاه، و القسمات المتتابعة في الاتّجاه المعاكس.
- تفسير الكتابة العشرية على أنّها نشر للعدد وفق قوى العشرة
- نشر عدد طبيعي وفق أساس x، و معرفة الشرط الذي يخضع له كلّ رقم
- الانتقال من الكتابة في أساس ما إلى الكتابة العشرية بالتعويض
- الانتقال من الكتابة العشرية إلى أساس ما بالقسمات المتتابعة
- قراءة البواقي في الترتيب الصحيح، و التحقّق من كلّ كتابة قبل تسليمها
- القسمة الإقليدية لعدد طبيعي على عدد طبيعي غير معدوم: حاصلها و باقيها
- أنّ باقي القسمة على العدد n محصور بين 0 و n − 1، و أنّ الحاصل و الباقي وحيدان
- حساب قوى عدد طبيعي صغير مثل 6² و 6³ و 6⁴ و 8² و 8³
1. النظام العشري: عشرة أرقام، لا أكثر
يُستعمل عالميا نظام التعداد العشري: يتركّب فيه كلّ عدد من عشرة رموز لا غير، هي 0 و 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9، و لهذا يسمّى النظام ذا الأساس 10. و لاحظ الفرق بين كلمتين نخلط بينهما كثيرا: الرقم رمز واحد من هذه العشرة، و العدد هو ما تكوّنه سلسلة من الأرقام. فـ 3959 عدد، و 3 و 9 و 5 أرقامه.
عشرة رموز، و العاشر ليس رمزا جديدا بل هو 10، أي سلسلة من رقمين. ابتداء من الأساس نفسه، لا يوجد رقم واحد يكفي: هنا يبدأ النشر.
و موضع الرقم في السلسلة هو الذي يعطيه وزنه. الرقم 9 في 3959 ليس هو الرقم 9 نفسه في الموضعين: أوّلهما يزن تسع مئات و ثانيهما تسع وحدات. و هذا الوزن ليس اصطلاحا عشوائيا، بل هو قوّة الأساس المرافقة للموضع.
اقرأ المساواة من اليمين إلى اليسار: 9 وحدات، ثمّ 5 عشرات، ثمّ 9 مئات، ثمّ 3 آلاف. الأرقام الأربعة 3 و 9 و 5 و 9 هي بالضبط معاملات قوى العشرة، من الأقوى إلى الأضعف.
2. الأساس هو الذي يقرّر عدد الأرقام
لم تكن العشرة قدرا محتوما. ففي الحضارات القديمة استُعملت نظم تعداد مختلفة: استعمل البابليون الأساس 60، و أمريكا الوسطى الأساس 20، إلى آخره. و اليوم يستعمل الحاسوب النظام الثنائي، أي النظام ذا الأساس 2.
و القاعدة التي تحكم كلّ هذه النظم واحدة: لكتابة عدد في النظام ذي الأساس 6 يجب استعمال 6 أرقام، و هي من 0 إلى 5. و بالتعميم، النظام ذو الأساس x يستعمل x رقما، من 0 إلى x − 1 — لا رقم واحد أكثر، و لا رقم واحد أقلّ.
ستّة رموز لأساس ستّة. و لاحظ أنّ الرقم 6 لا يوجد في هذا النظام: ما إن نبلغ الستّة حتّى نحتاج موضعا جديدا، تماما كما نحتاج موضعا جديدا عند العشرة في نظامنا.
⭐ هذا هو الشرط الذي ستتحقّق منه في كلّ كتابة تكتبها: كلّ رقم أصغر تماما من الأساس. سطر واحد، و يقتنص أغلب الأخطاء.
| الأساس | عدد الأرقام | الأرقام المستعملة |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 0 ; 1 |
| 4 | 4 | 0 ; 1 ; 2 ; 3 |
| 6 | 6 | 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 |
| 7 | 7 | 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 |
| 8 | 8 | 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 |
| 10 | 10 | 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 |
3. المبرهنة: كلّ عدد يُنشر وفق الأساس بطريقة وحيدة
إلى هنا كلّ شيء يبدو معقولا، لكنّه غير مبرهن عليه. لماذا يوجد لكلّ عدد طبيعي نشر وفق أساس مختار؟ و لماذا يوجد نشر واحد لا اثنان؟ المبرهنة الآتية تجيب عن السؤالين معا، و برهانها ليس إلّا سلسلة من القسمات الإقليدية.
⭐ اقرأها ككتابة عشرية عامّة: مكان العشرة صار x، و الأرقام صارت الحاصل الأخير q و البواقي rᵢ. المبرهنة تقول إنّ هذا الشكل موجود و إنّه وحيد.
أكبر تماما من الصفر لأنّه لو كان معدوما لسقط الحدّ الأقوى و صار النشر أقصر؛ و أصغر تماما من الأساس لأنّه رقم من أرقام النظام كغيره.
هذا شرط الباقي في القسمة الإقليدية على x، لا أكثر. و هو نفسه شرط الأرقام: لهذا كانت البواقي أرقاما، و لهذا كان الرقم 6 مستحيلا في الأساس 6.
البرهان. فكرته واحدة و تتكرّر: نقسم على الأساس، نحتفظ بالباقي، ثمّ نعيد الكرّة على الحاصل. و ما دام كلّ حاصل أصغر تماما من سابقه، فالسلسلة تنتهي حتما بعد عدد منته من الخطوات: هنا يكمن سبب الوجود.
نقسم العدد a على الأساس x. القسمة الإقليدية تعطي حاصلا c₀ و باقيا r₀ يحقّق الشرط: أكبر من أو يساوي 0 و أصغر تماما من x.
و هنا نفترق: إن كان c₀ أصغر تماما من الأساس فقد انتهينا، إذ يصير c₀ هو الحاصل الأخير q و يكون النشر a = q×x + r₀. و إن كان c₀ أكبر من أو يساوي الأساس، فالعمل لم ينته و نعيد القسمة عليه هو نفسه.
⭐ و هنا موضع الوحدانية: القسمة الإقليدية للعدد c₀ على x تعطي ثنائية وحيدة من الحاصل و الباقي. فالوحدانية ليست فرضا جديدا نضيفه، بل هي وحدانية القسمة الإقليدية، تنتقل من طابق إلى طابق.
القسمة على عدد أكبر تماما من 1 تصغّر الحاصل في كلّ مرّة. سلسلة متناقصة تماما من الأعداد الطبيعية لا يمكن أن تستمرّ إلى ما لا نهاية: هذا هو الضمان بأنّ العمل ينتهي.
نعوّض كتابة c₀ من الخطوة 2 في كتابة a من الخطوة 1، ثمّ ننشر: العامل c₁ يجد نفسه مضروبا في x مرّتين، و الباقي r₁ مضروبا في x مرّة واحدة، و r₀ وحده بلا مضروب.
الخطوة نفسها تتكرّر: كلّ حاصل يُقسم بدوره على الأساس، فيعطي حاصلا جديدا أصغر منه و باقيا يصلح رقما. لا شيء جديد في كلّ طابق سوى الأسماء.
نتوقّف عند أوّل حاصل أصغر تماما من الأساس: هذا الحاصل لا يمكن قسمته قسمة مفيدة بعد، فهو رقم بذاته، و هو الحاصل الأخير q الذي تتحدّث عنه المبرهنة.
نضرب المساواة الأولى في 1، و الثانية في x، و الثالثة في x²، و هكذا إلى الأخيرة، ثمّ نجمع الكلّ طرفا بطرف. تتلاشى الحواصل الوسطى واحدا واحدا، و لا يبقى إلّا العدد a من جهة و النشر المطلوب من الجهة الأخرى.
4. قاعدة التعداد ذي الأساس x: كيف نكتب ما نشرناه
المبرهنة أعطتنا النشر. بقي أن نصطلح على كتابة مختصرة له، و إلّا لكتبنا كلّ عدد في سطر كامل من القوى. و الاصطلاح يقوم على حالتين، لا ثالثة لهما.
- إذا كان العدد أصغر تماما من الأساس، فهو يُمثّل برمز وحيد يسمّى رقما
- إذا كان العدد أكبر من أو يساوي الأساس، فهو يُنشر بطريقة وحيدة وفق الأساس، و نكتفي بكتابة معاملاته في سلسلة واحدة، مرتّبة من الوزن الأقوى إلى الأضعف
السطرة فوق السلسلة تقول شيئا واحدا، و هو مهمّ: ما تحتها سلسلة أرقام، لا جداء. بدونها تُقرأ q rₙ₋₁ جداء عاملين، و يضيع المعنى كلّه.
و ترتيب السلسلة هو ترتيب النشر نفسه: الحاصل الأخير q، الذي يحمل أقوى قوّة، يوضع إلى اليسار؛ ثمّ البواقي من rₙ₋₁ نزولا إلى r₀ الذي يحمل الوحدات و يوضع إلى اليمين. و هذا هو الترتيب الذي تعرفه أصلا في 3959: الآلاف إلى اليسار و الوحدات إلى اليمين.
5. الطريق الأوّل: من أساس x إلى النظام العشري
هذا الاتّجاه هو الأسهل، لأنّه لا يطلب منك شيئا سوى قراءة الكتابة كما هي: كلّ رقم يُضرب في قوّة الأساس المرافقة لموضعه، ثمّ تُجمع الحدود. لا قسمة، لا بحث، مجرّد تعويض.
هي المبرهنة نفسها، مقروءة من اليسار إلى اليمين: الكتابة المسطّرة على طرف، و قيمتها العشرية على الطرف الآخر.
6. الطريق الثاني: من النظام العشري إلى أساس x
الاتّجاه المعاكس أطول، لكنّه آليّ تماما: نقسم على الأساس، و نعيد القسمة على الحاصل، حتّى يصير الحاصل أصغر تماما من الأساس. و هذه ليست طريقة جديدة، بل هي بالضبط الخطوات التي بُني عليها برهان المبرهنة: كلّ قسمة تعطي رقما، و الأرقام تُجمع في سلسلة.
- نقسم العدد على الأساس: نحتفظ بالباقي، و نواصل على الحاصل
- نعيد القسمة على كلّ حاصل جديد، ما دام أكبر من أو يساوي الأساس
- نتوقّف عند أوّل حاصل أصغر تماما من الأساس: هو الحاصل الأخير q
- نكتب q ثمّ البواقي من الأخير إلى الأوّل، و نضع فوق السلسلة سطرة
7. الكتابة العشرية المسطّرة: حين نحتاج أرقام العدد نفسها
يأتي في التمارين نمط يشتغل لا على قيمة العدد بل على أرقامه واحدا واحدا. و عندئذ نحتاج تسمية لكلّ رقم، فنكتب العدد N بسلسلة أرقامه مسطّرة، ثمّ ننشره وفق قوى العشرة. لاحظ أنّ السطرة عادت هنا رغم أنّنا في النظام العشري: هي ضرورية ما دامت الأرقام حروفا، لأنّ السلسلة بلا سطرة تُقرأ جداء.
كلّ aᵢ رقم من أرقام النظام العشري، و الدليل i هو موضع الرقم محسوبا من اليمين ابتداء من الصفر.
هي المبرهنة في الحالة x = 10، لا أكثر. و هذه المساواة هي الجسر الذي تعبر عليه كلّ مسائل الأرقام: من جهة سلسلة الرموز، و من الجهة الأخرى عدد يُحسب.
شرط الأرقام نفسه، في الحالة x = 10. لا رقم عشري يبلغ العشرة.
لو كان معدوما لما كُتب أصلا: لا نكتب 0742 بل 742. هذا هو شرط 0 < q < x مطبّقا على الأساس عشرة.
⭐ حالة خاصّة تُستعمل كثيرا: سلسلة من رقمين قيمتها عشرة أمثال رقم العشرات مضافا إليها رقم الوحدات. مثلا سلسلة الرقمين 2 ثمّ 4 قيمتها 10×2 + 4 أي 24.
العدد 3959 مكتوب في النظام العشري، و نريد أن نرى بأعيننا أنّ كتابته ليست إلّا نشرا وفق قوى العشرة.
🎯المطلوب: عيّن الأعداد a و b و c و d حيث يكون 3959 يساوي a×10³ + b×10² + c×10 + d.
نبدأ بقراءة العدد بمواضعه، كما نقرؤه بالكلام: ثلاثة آلاف و تسع مئات و خمس عشرات و تسع وحدات.
ثمّ نكتب كلّ حدّ على صورة رقم مضروب في قوّة العشرة المرافقة لموضعه.
و الموضع الذي يليه يزن مئة، أي 10².
و الموضع الذي يليه يزن عشرة.
و رقم الوحدات لا يُضرب في شيء، لأنّ قوّة الأساس عنده تساوي 1.
نعوّض الحدود الأربعة في التفكيك الأوّل.
نقارن مع الشكل المطلوب حدّا بحدّ، فتُقرأ القيم الأربع مباشرة.
نعطي هذه المرّة النشر و نطلب العدد: N يساوي 3×6⁴ + 0×6³ + 1×6² + 5×6 + 5. الأرقام 3 و 0 و 1 و 5 و 5 تشكّل عددا هو كتابة N في النظام ذي الأساس 6.
🎯المطلوب: احسب العدد N، ثمّ أكتبه في النظام ذي الأساس 6.
نحسب قوى الستّة التي نحتاجها، واحدة واحدة، قبل أيّ ضرب.
و القوّة الثالثة، رغم أنّ معاملها معدوم: نحسبها لنبقى على ترتيب المواضع.
و القوّة الثانية.
نعوّض الآن في الحدّ الأقوى.
الحدّ الثاني معدوم لأنّ معامله صفر، و لا يُحذف من الترتيب.
ثمّ الحدّ الثالث.
ثمّ حدّ الأساس نفسه.
و أخيرا حدّ الوحدات، غير مضروب في شيء.
نجمع الحدود الخمسة.
فنحصل على قيمة N في النظام العشري.
و الآن الكتابة: معاملات القوى، من الأقوى إلى الأضعف، هي 3 ثمّ 0 ثمّ 1 ثمّ 5 ثمّ 5، و هي بالضبط أرقام N في هذا النظام.
نعود إلى العدد 3959، لكن هذه المرّة دون أن نعرف نشره مسبقا: نبنيه بالقسمات المتتابعة على الأساس 6.
🎯المطلوب: أنجز القسمات المتتابعة للعدد 3959 على 6، ثمّ شكّل العدد المكوّن من البواقي.
نقسم العدد على الأساس 6 قسمة إقليدية.
الحاصل 659 أكبر من 6، فنعيد القسمة عليه هو نفسه.
و الحاصل 109 ما يزال أكبر من 6.
و الحاصل 18 كذلك أكبر من 6.
الحاصل الآن هو 3، و هو أصغر تماما من الأساس: هنا نتوقّف، و هذا الحاصل هو q.
و لو واصلنا القسمة مرّة أخرى لحصلنا على الشيء نفسه: حاصل معدوم و باق يساوي 3.
نجمع البواقي بترتيب الحصول عليها، من الأولى إلى الأخيرة.
⛔ ثمّ نعكس الترتيب: الباقي الأخير أوّلا، لأنّه هو معامل أقوى قوّة، و الباقي الأوّل أخيرا، لأنّه رقم الوحدات.
نضع السلسلة تحت سطرة، و نقول الأساس بالكلام.
و نتحقّق بإعادة التركيب: نضرب كلّ رقم في قوّة الأساس المرافقة لموضعه و نجمع.
عدد طبيعي a يكتب في النظام ذي الأساس 7 بسلسلة الأرقام 3 ثمّ 6 ثمّ 5.
🎯المطلوب: اكتب العدد a في النظام العشري.
نكتب المعطى بالاصطلاح: سلسلة الأرقام الثلاثة تحت سطرة، و الأساس يُقال بالكلام.
نبدأ بالتحقّق من أنّ السلسلة المعطاة تصلح كتابة في هذا الأساس: أكبر أرقامها هو 6.
نرقّم المواضع من اليمين ابتداء من الصفر: 5 في الموضع 0، و 6 في الموضع 1، و 3 في الموضع 2، فنكتب النشر.
نحسب قوّة الأساس الوحيدة التي نحتاجها.
ثمّ الحدّ الأقوى.
ثمّ الحدّ الأوسط.
نجمع الحدود الثلاثة، و حدّ الوحدات يدخل كما هو.
فنحصل على الكتابة العشرية للعدد a.
عدد طبيعي a يكتب 2517 في النظام العشري.
🎯المطلوب: اكتب العدد a في النظام ذي الأساس 8.
نقسم العدد على الأساس 8 قسمة إقليدية.
الحاصل 314 أكبر من 8، فنقسمه بدوره.
و الحاصل 39 ما يزال أكبر من 8، فنقسمه هو أيضا.
الحاصل الآن هو 4، و هو أصغر تماما من الأساس: نتوقّف، و هذا الحاصل هو q.
و لنرَ الأمر من الجهة الأخرى: نعوّض 314 من الخطوة 2 في الخطوة 1، فيظهر حدّ في 8².
ثمّ نعوّض 39 من الخطوة 3، فيظهر حدّ في 8³ و يكتمل النشر.
نقرأ معاملات القوى من الأقوى إلى الأضعف: الحاصل الأخير 4، ثمّ البواقي معكوسة 7 ثمّ 2 ثمّ 5.
نضع السلسلة تحت سطرة.
و نتحقّق: نحسب القوّة الثالثة للأساس.
ثمّ الحدّين الأوّلين.
ثمّ حدّ القوّة الثانية.
نجمع الحدود الأربعة، فنرجع إلى العدد الذي انطلقنا منه.
الصفحة 1/13
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net