الأعداد والحساب (تابع)
المضاعف المشترك الأصغر و علاقته بالقاسم المشترك الأكبر
الجواب هو التحليل إلى جداء عوامل أولية، و هو الذي يجعل العمليتين تُقرآن بدل أن تُبحثا: القاسم المشترك الأكبر هو العوامل المشتركة بأصغر أُسّ، و المضاعف المشترك الأصغر هو كلّ العوامل بأكبر أُسّ. و بينهما علاقة واحدة تربطهما بجداء العددين، فمتى عُرف أحدهما عُرف الآخر بقسمة واحدة.
- تعيين المضاعف المشترك الأصغر لعددين بسرد مضاعفاتهما
- حساب القاسم المشترك الأكبر و المضاعف المشترك الأصغر انطلاقا من التحليل إلى جداء عوامل أولية
- توظيف خاصية المضاعف المشترك الأصغر لعددين لهما عامل مشترك
- استعمال العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر و القاسم المشترك الأكبر لحساب أحدهما من الآخر
- حلّ جملة تجمع بين جداء عددين و مضاعفهما المشترك الأصغر
- التحليل إلى جداء عوامل أولية و قراءة القواسم من الأُسس
- خوارزمية إقليدس لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين
1. المضاعفات المشتركة، و المضاعف المشترك الأصغر
ليكن a عددا طبيعيا غير معدوم. نرمز بالرمز Mₐ إلى مجموعة مضاعفات العدد a، أي الأعداد التي تُكتب جداء a في عدد طبيعي. و نلاحظ منذ البداية أنّ 0 عنصر من هذه المجموعة مهما كان a، لأنّ 0 = a × 0.
المضاعفات المشتركة للعددين هي عناصر التقاطع. و بما أنّ 0 موجود في المجموعتين معا، فهو موجود في تقاطعهما: 0 مضاعف مشترك لأيّ عددين، و هذا بالضبط سبب الكلمتين «غير معدوم» في التعريف الموالي.
⭐ أصغر عنصر غير معدوم — لا أصغر عنصر. فأصغر عنصر هو 0 دائما، و هو لا يعلّم شيئا عن العددين. حذف 0 من التقاطع خطأ شائع، و الصواب هو الإبقاء عليه في المجموعة و استثناؤه في التعريف وحده.
- المضاعف المشترك الأصغر لعدد مع نفسه هو العدد نفسه.
- المضاعف المشترك الأصغر للعدد 1 مع أيّ عدد هو ذلك العدد.
- المضاعف المشترك الأصغر لعددين يقسم دائما جداءهما، و يساويه لمّا يكونان أوّليين فيما بينهما.
2. التمديد إلى الأعداد الصحيحة
المضاعفات لا تتوقّف عند الأعداد الطبيعية: العدد −12 مضاعف للعدد 6 تماما كما 12. لكنّ «أصغر مضاعف مشترك» يفقد معناه في مجموعة الأعداد الصحيحة، لأنّ المضاعفات السالبة تهبط بلا نهاية. و لهذا نبقي المضاعف المشترك الأصغر عددا طبيعيا، و نعرّفه بالقيم المطلقة.
⭐ فائدة هذا التمديد عمليّة: في تمرين تظهر فيه أعداد سالبة، ابدأ بأخذ القيم المطلقة ثمّ اشتغل في الأعداد الطبيعية، و لا تحمل الإشارات معك في الحساب.
3. خاصية المضاعف المشترك الأصغر لعددين لهما عامل مشترك
هذه هي الخاصية التي تختصر التمارين التي تظهر فيها عبارات، لا أعداد: إذا كان العددان يحملان العامل نفسه، يخرج ذلك العامل من الحساب ثمّ يعود في الأخير.
⭐ اقرأها من اليمين إلى اليسار: العامل المشترك يخرج من الحساب. فبدل أن تحسب المضاعف المشترك الأصغر لعددين ضخمين، تحسبه لعددين صغيرين ثمّ تضرب.
البرهان في اتّجاهين، بحصر مزدوج. نضع m = PPCM(a ; b). فهو مضاعف للعددين a و b، إذن |k| × m مضاعف مشترك موجب تماما للعددين k×a و k×b، و بالتالي المضاعف المشترك الأصغر لهذين الأخيرين لا يتجاوزه.
عكسيا نضع M = PPCM(k a ; k b). هذا العدد مضاعف للعددين k×a و k×b، فناتج قسمته على |k| عدد طبيعي موجب تماما و هو مضاعف مشترك للعددين a و b؛ إذن PPCM(a ; b) لا يتجاوزه.
و من المتراجحتين معا تأتي المساواة. هذه هي الحركة النموذجية للبرهان على تساوي عددين معرّفين بأنّهما «الأصغر»: نبرهن على أنّ كلّا منهما لا يتجاوز الآخر.
4. حساب القاسم المشترك الأكبر بالتحليل
نكتب العددين بالعوامل الأولية نفسها، و نضع الأُسّ 0 لكلّ عامل غائب من أحدهما. عندئذ يصير كلّ شيء مقارنة أُسّ بأُسّ. و قد رأينا في الدرس السابق أنّ عددا يقسم آخر إذا كانت أُسسه كلّها أصغر أو تساوي؛ فالقاسم المشترك الأكبر هو الذي يأخذ أصغر الأُسّين في كلّ عامل.
⭐ بعبارة الدرس: جداء العوامل الأولية المشتركة، كلّ عامل مرّة واحدة و بأصغر أُسّ. و العامل الغائب من أحد التحليلين أُسّه 0 فيه، فأصغر الأُسّين هو 0، أي أنّه يختفي من الجداء — و هذا هو معنى «المشتركة».
5. حساب المضاعف المشترك الأصغر بالتحليل
و بالمنطق نفسه مقلوبا: مضاعف عدد هو الذي أُسسه أكبر أو تساوي أُسسه. فالمضاعف المشترك الأصغر يأخذ أكبر الأُسّين في كلّ عامل، و يأخذ هذه المرّة كلّ العوامل، المشتركة و غير المشتركة.
⭐ الفرق بين السطرين هو كلمة واحدة: min تصير max. و هذا هو كلّ الدرس: عمليتان متناظرتان على الأُسس نفسها.
6. العلاقة بين العمليتين
هذه هي العلاقة التي تجعل حساب أحدهما كافيا: جداء عددين طبيعيين غير معدومين يساوي جداء قاسمهما المشترك الأكبر في مضاعفهما المشترك الأصغر.
البرهان يُقرأ عاملا بعامل. في كلّ عامل أوّلي pᵢ، يأخذ القاسم المشترك الأكبر الأُسّ الأصغر و يأخذ المضاعف المشترك الأصغر الأُسّ الأكبر؛ و مجموع الأصغر و الأكبر هو مجموع الأُسّين، مهما كان ترتيبهما.
⭐ لأنّ min و max ليسا سوى الأُسّين نفسيهما مرتّبين: أحدهما هو الأصغر و الآخر هو الأكبر، فمجموعهما لا يتغيّر. و بضرب القوى ذات الأساس نفسه تُجمع الأُسس، فيعطي كلّ عامل أُسّه في a مضافا إليه أُسّه في b، أي عامله في الجداء a × b.
نبدأ بالطريقة الأولى، طريقة السرد، و هي التي تُظهر التعريف نفسه.
🎯المطلوب: عيّن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و 18.
نسرد مضاعفات العدد الأوّل، مبتدئين بـ 0.
ثمّ مضاعفات الثاني، بالطريقة نفسها.
نأخذ الأعداد التي تظهر في المجموعتين معا، و 0 منها.
و نقرأ أصغر عنصر غير معدوم من هذا التقاطع.
العددان كبيران، فسرد المضاعفات مستحيل عمليّا: نمرّ إلى التحليل.
🎯المطلوب: عيّن القاسم المشترك الأكبر و المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5600 و 28800.
نحلّل العدد الأوّل بالقسمات المتتالية.
ثمّ الثاني.
نأخذ العوامل المشتركة وحدها، كلّ واحد بأصغر أُسّيه: العامل 2 بالأُسّ 5 و العامل 5 بالأُسّ 2. أمّا 3 و 7 فغائبان من أحد التحليلين، فلا يدخلان.
ثمّ نأخذ كلّ العوامل، كلّ واحد بأكبر أُسّيه.
و نتحقّق بالعلاقة: جداء النتيجتين يجب أن يساوي جداء العددين.
و نحسب الطرف الآخر.
و هذا هو الجدول الذي يجمع الحساب كلّه: أربعة عوامل أولية، أُسّاهما في العددين، ثمّ الأصغر و الأكبر.
| العامل الأوّلي | أُسّه في 5600 | أُسّه في 28800 | أصغر أُسّ | أكبر أُسّ |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 7 | 5 | 7 |
| 3 | 0 | 2 | 0 | 2 |
| 5 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 7 | 1 | 0 | 0 | 1 |
هذه المرّة لا نحلّل شيئا: نستعمل العلاقة بين العمليتين.
🎯المطلوب: احسب المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4530 و 480 باستعمال العلاقة بينهما و بين قاسمهما المشترك الأكبر.
نحسب القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس: قسمة إقليدية، ثمّ نعيد بالقاسم و الباقي.
نعيد العملية على 480 و 210.
ثمّ على 210 و 60.
ثمّ على 60 و 30، و هنا ينعدم الباقي فنتوقّف: آخر باقٍ غير معدوم هو المطلوب.
فالقاسم المشترك الأكبر هو آخر باقٍ غير معدوم.
نحسب جداء العددين.
ثمّ نقسم الجداء على القاسم المشترك الأكبر، حسب العلاقة الأساسية.
ليكن a عددا طبيعيا غير معدوم يحقّق الشرط PPCM(56 ; a) = 280.
🎯المطلوب: عيّن كلّ القيم الممكنة للعدد الطبيعي a.
نحلّل العددين المعطيين.
المضاعف المشترك الأصغر مضاعف للعدد a، و a يقسمه، فقواسم a كلّها من بين قواسم 280 و عوامله الأولية من بين 2 و 5 و 7.
و الأُسس محصورة بأُسس 280، لأنّ a يقسمه.
لو كان β معدوما لما ظهر العامل 5 في a و لا في 56، فلا يظهر في المضاعف المشترك الأصغر — و هو يظهر فيه. إذن العامل 5 يأتي من a وحده.
أمّا α و γ فحرّان، لأنّ العامل 2 بالأُسّ 3 و العامل 7 بالأُسّ 1 موجودان في 56 على كلّ حال: أربع قيم للأُسّ α في قيمتين للأُسّ γ.
نحسب القيم الأربع الموافقة للأُسّ γ = 0.
ثمّ القيم الأربع الموافقة للأُسّ γ = 1.
فهذه هي القيم الثماني، و كلّ واحدة منها محقّقة بالتحقّق العكسي.
ليكن n عددا طبيعيا غير معدوم، و العددان الطبيعيان a = 3n(11n⁺² − 11n) و b = 11n(3n⁺¹ − 3n).
🎯المطلوب: عيّن المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b.
نُخرج العامل المشترك من العبارة الأولى.
و نحسب العدد الثابت الذي بقي بين القوسين.
ثمّ نفعل الشيء نفسه مع العبارة الثانية.
و الثابت هنا هو 2.
العبارتان تحملان العامل المشترك نفسه، فنخرجه بالخاصية.
و العدد 2 يقسم 120، فالمضاعف المشترك الأصغر لهما هو 120.
نعوّض ثمّ نحلّل 120 لنكتب الجواب في صيغة جداء عوامل أولية.
نبحث عن كلّ ثنائية (a ; b) من الأعداد الطبيعية غير المعدومة تحقّق في آن واحد a × b = 18000 و PPCM(a ; b) = 600.
🎯المطلوب: عيّن كلّ الثنائيات (a ; b) من الأعداد الطبيعية الحلول للجملة.
نسمّي d القاسم المشترك الأكبر للعددين و نكتبهما بدلالته.
و العددان a' و b' أوّليان فيما بينهما بحكم أنّ d هو الأكبر.
نطبّق العلاقة الأساسية على المعطيين: الجداء يساوي جداء العمليتين.
فنستخرج القاسم المشترك الأكبر بقسمة واحدة.
نعوّض في المعادلة الأولى: الجداء يساوي مربّع d مضروبا في جداء المرافقين.
و منه جداء المرافقين.
نسرد ثنائيات القواسم التي جداؤها 20، و نحتفظ بالأوّلية فيما بينها وحدها: الثنائية (2 ; 10) مرفوضة لأنّ قاسمها المشترك الأكبر هو 2.
و نضرب كلّ حدّ في d = 30 لنعود إلى العددين المطلوبين.
الصفحة 1/13
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net