الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
مرافق عدد مركب و المستوي المركب
الجواب في جملة: النظير بالنسبة إلى محور الفواصل يمثّل عددا نسمّيه مرافق العدد، و جداء عدد في مرافقه عدد حقيقي موجب دائما. و هذه الحقيقة الصغيرة هي التي تحلّ المشكلة الوحيدة التي بقيت معلّقة في الدرس السابق: كيف نكتب حاصل قسمة عددين مركّبين على الشكل الجبري.
- تمثيل عدد مركّب بنقطة في المستوي المركّب، و قراءة لاحقة نقطة معطاة
- تعيين مرافق عدد مركّب و تفسيره هندسيا بالتناظر
- استعمال خواصّ المرافق مع الجمع و الجداء و القوّة و المقلوب
- حساب مقلوب عدد مركّب غير معدوم و تبرير وجوده
- كتابة حاصل قسمة عددين مركّبين على الشكل الجبري بالضرب في مرافق المقام
- تعيين لاحقة شعاع و لاحقة مرجح، و حلّ معادلة من الدرجة الأولى في ℂ
- الشكل الجبري لعدد مركّب و قراءة جزأيه الحقيقي و التخيلي
- الجمع و الجداء في ℂ، و تعويض i² بـ −1
- المعلم المتعامد و المتجانس، و لاحقة شعاع و مرجح نقطتين في المستوي
1. المستوي المركّب و اللاحقة
ننسب المستوي إلى معلم متعامد و متجانس مبدؤه O. و نرفق بكلّ عدد مركّب النقطة التي فاصلتها هي الجزء الحقيقي و ترتيبتها هي الجزء التخيلي.
النقطة التي فاصلتها x و ترتيبتها y تسمّى صورة العدد المركّب z، و الشعاع الذي مبدؤه O و نهايته هذه النقطة يسمّى كذلك صورة للعدد z.
و العكس صحيح تماما: كلّ نقطة من المستوي هي صورة عدد مركّب وحيد، نسمّيه لاحقة النقطة. فبين الأعداد المركّبة و نقط المستوي تقابل تامّ: لكلّ عدد نقطة واحدة، و لكلّ نقطة عدد واحد. و لهذا يسمّى هذا المستوي المستوي المركّب.
و تسمية المحورين ليست اعتباطا. الأعداد الحقيقية جزؤها التخيلي معدوم، فصورها كلّها على محور الفواصل: لذلك يسمّى المحور الحقيقي. و الأعداد التخيلية الصرفة جزؤها الحقيقي معدوم، فصورها على محور التراتيب: لذلك يسمّى المحور التخيلي.
المستوي المركّب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس مبدؤه O. نعتبر النقط A و B و C التي لواحقها على الترتيب −2 + i ثمّ 2i ثمّ العدد الذي جزؤه الحقيقي هو نصف الجذر التربيعي للعدد 3 و جزؤه التخيلي هو 1/2.
🎯المطلوب: عيّن إحداثيات كلّ من النقط A و B و C.
لاحقة A مكتوبة على الشكل الجبري، فنقرأ جزأيها مباشرة.
الفاصلة هي الجزء الحقيقي و الترتيبة هي الجزء التخيلي.
لاحقة B جزؤها الحقيقي معدوم، فنكتبه صراحة قبل القراءة.
فتكون B على محور التراتيب.
و لاحقة C كذلك، جزآها ظاهران في كتابتها.
و نجمع الثلاثة.
2. مرافق عدد مركّب
نصل الآن إلى الأداة المركزية لهذا الدرس. تعريفها في سطر واحد: نغيّر إشارة الجزء التخيلي و نترك الجزء الحقيقي كما هو.
نضع فوق العدد شريطا أفقيا للدلالة على المرافق. و للحصول عليه لا شيء يُحسب: يكفي تغيير إشارة الجزء التخيلي وحده.
و نرتّب في الجدول التالي أربعة أعداد و مرافقاتها. اقرأ الصفّين الأخيرين خاصّة: مرافق عدد تخيلي صرف هو مقابله، و مرافق عدد حقيقي هو العدد نفسه.
| العدد المركّب z | مرافقه | ملاحظة |
|---|---|---|
| 2 + 8i | 2 − 8i | تغيّرت إشارة الجزء التخيلي وحدها |
| 3 − 11i | 3 + 11i | الجزء التخيلي كان سالبا فصار موجبا |
| 4i | −4i | عدد تخيلي صرف: مرافقه مقابله |
| −2 | −2 | عدد حقيقي: مرافقه هو نفسه |
و هاتان الحالتان تستحقّان أن تُكتبا خاصّيتين، لأنّنا سنستعملهما كثيرا فيما بعد، خاصّة في درس المعادلات.
إذا كان z حقيقيا فإنّ جزأه التخيلي y معدوم، و تغيير إشارة الصفر لا يغيّر شيئا. و العكس صحيح كذلك: إذا كان مرافق عدد يساويه فالعدد حقيقي.
إذا كان z تخيليا صرفا فإنّ جزأه الحقيقي معدوم و لا يبقى إلاّ الجزء التخيلي، و تغيير إشارته يعطي مقابل العدد.
3. التفسير الهندسي للمرافق
العددان z و مرافقه لهما نفس الفاصلة و ترتيبتان متقابلتان. و هذا هو تعريف التناظر بالنسبة إلى محور الفواصل بالضبط.
الفاصلة واحدة و الترتيبتان متقابلتان: النقطتان متناظرتان بالنسبة إلى حامل محور الفواصل، أي أنّ هذا المحور هو محور تناظر القطعة التي طرفاها M و M′.
نبقى في المستوي المركّب مع النقطة B التي لاحقتها 2i، و نسمّي B′ نظيرة B بالنسبة إلى المبدأ O.
🎯المطلوب: عيّن لاحقة النقطة B′.
التناظر بالنسبة إلى المبدأ يعني أنّ الشعاعين متقابلان.
و لاحقة الشعاع المقابل هي مقابل اللاحقة.
نعوّض قيمة لاحقة B.
فنقرأ إحداثيّي النقطة الجديدة.
نعتبر النقطة A التي لاحقتها −2 + i، و نسمّي A′ نظيرتها بالنسبة إلى محور الفواصل.
🎯المطلوب: عيّن لاحقة A′ ثمّ استنتج لاحقة الشعاع الذي مبدؤه A و نهايته A′.
التناظر بالنسبة إلى محور الفواصل يحفظ الفاصلة و يقلب الترتيبة: هذا هو المرافق.
نغيّر إشارة الجزء التخيلي وحده.
لاحقة شعاع تساوي لاحقة نهايته ناقص لاحقة مبدئه.
نعوّض اللاحقتين.
نرفع القوسين منتبهين إلى إشارة القوس الثاني.
و نجمع الأشباه: الجزء الحقيقي ينعدم.
4. لاحقة شعاع و لاحقة مرجح
ما دام لكلّ نقطة لاحقة، فللأشعّة أيضا لواحق، و الحساب على اللواحق يترجم الحساب على الأشعّة حرفا بحرف. هذه هي الفكرة التي ستحمل كلّ الهندسة في هذا المقطع.
لأنّ هذا الشعاع هو فرق الشعاعين اللذين مبدؤهما O و نهايتاهما B و A، و لاحقة الفرق هي فرق اللاحقتين.
بشرط ألاّ يكون مجموع المعاملين معدوما، و إلاّ لم يوجد المرجح أصلا. و تُستعمل الطريقة نفسها في حساب لاحقة مرجح عدّة نقط.
و ثلاث ملاحظات تُستعمل كثيرا، و كلّها تقول الشيء نفسه بصيغ مختلفة:
- إذا كان عدد مركّب لاحقة لشعاع، و عدد آخر لاحقة لشعاع آخر، فإنّ مجموع العددين هو لاحقة مجموع الشعاعين
- إذا كان عدد مركّب لاحقة لشعاع، و كان λ عددا حقيقيا، فإنّ جداء λ في العدد هو لاحقة جداء λ في الشعاع
- شعاعان متساويان لهما نفس اللاحقة، و العكس صحيح
5. خواصّ المرافق
نجمع هنا الخواصّ التي سنستعملها في كلّ الدروس القادمة. نبدأ بأربع تُقرأ مباشرة من التعريف، و كلّها تُبرهن بتعويض z بكتابته الجبرية.
نسمّي العبارة بحرف واحد قبل أن نرافقها مرّة ثانية، حتّى يبقى مدى الشريط واضحا بلا لبس.
تغيير إشارة الجزء التخيلي مرّتين يرجعه إلى ما كان عليه: المرافقة عملية تُلغي نفسها إذا كرّرناها.
الجزآن التخيليان متقابلان فيزولان بالجمع، و يبقى ضعف الجزء الحقيقي. و النتيجة عدد حقيقي دائما.
الجزآن الحقيقيان يزولان بالطرح، و يبقى ضعف الجزء التخيلي مضروبا في i. و النتيجة عدد تخيلي صرف دائما.
لأنّ الجداء هو نشر فرق مربّعين: مربّع الجزء الحقيقي ناقص مربّع i مضروبا في مربّع الجزء التخيلي، و مربّع i يساوي −1 فتنقلب الإشارة. ⭐ هذه هي الخاصّية التي يقوم عليها كلّ هذا الدرس: الجداء عدد حقيقي موجب، و لا ينعدم إلاّ إذا انعدم z.
ثمّ خمس خواصّ تربط المرافق بالعمليات. و كلّها تقول الشيء نفسه: المرافقة تعبر العمليات دون أن تغيّرها. ننتبه فقط إلى تسمية العبارة بحرف قبل مرافقتها، حتّى يكون مدى الشريط واضحا.
تُبرهن بالاستدلال بالتراجع انطلاقا من خاصّية الجداء: القوّة جداء متكرّر، و المرافقة تعبر كلّ جداء.
و نبرهن على خاصّية الجداء لأنّها الأصعب و الأكثر استعمالا، و لأنّها هي التي تُبنى عليها خاصّية القوّة. البرهان تعويض و نشر، لا أكثر.
هذا هو دستور الجداء الذي رأيناه في الدرس السابق.
ننشر بالتوزيعية المضاعفة، و ننتبه إلى أنّ الحدّ الأخير يحمل i².
الخطوة 2 و الخطوة 5 أعطتا الكتابة نفسها حرفا بحرف، إذن العددان متساويان.
6. مقلوب عدد مركّب غير معدوم
قبل القسمة نحتاج المقلوب. و السؤال الحقيقي ليس «كيف نحسبه» بل «هل هو موجود أصلا»: فالمقلوب كسر، و الكسر لا يوجد إلاّ إذا كان مقامه غير معدوم.
و هذا عدد حقيقي، فيمكن القسمة عليه بشرط أن يكون غير معدوم.
مجموع مربّعين حقيقيين لا ينعدم إلاّ إذا انعدم كلّ منهما، لأنّ كلّ مربّع موجب أو معدوم. و انعدام x و y معا يعني z = 0، و هو ما استبعدناه. إذن المقام غير معدوم و القسمة مشروعة.
ننطلق من المساواة السابقة — جداء العدد في مرافقه يساوي مجموع مربّعي جزأيه — ثمّ نقسم طرفيها على جداء العدد في مجموع مربّعي جزأيه، و القسمة مشروعة الآن. و هذه هي الكتابة الأقصر و الأسهل حفظا.
نعوّض المرافق بكتابته x − i y ثمّ نوزّع القسمة على الحدّين، فنقرأ جزأي المقلوب مباشرة: جزؤه الحقيقي و جزؤه التخيلي.
7. قسمة عددين مركّبين: القاعدة الوحيدة
الآن نستطيع أن نغلق السؤال الذي بقي مفتوحا في الدرس السابق. القاعدة تُلخّص في جملة واحدة: نضرب البسط و المقام في مرافق المقام. فيصير المقام حقيقيا، و تصير القسمة قسمة على عدد حقيقي، أي شيئا نعرفه منذ سنوات.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام، و هو عدد واحد، فلا يتغيّر الحاصل. و يصير المقام جداء عدد في مرافقه، أي مجموع مربّعي جزأي المقام، و هو عدد حقيقي موجب لا ينعدم ما دام المقام غير معدوم.
و الطريق واحد في كلّ التمارين، مهما بدت معقّدة: ① اكتب المقام على الشكل الجبري إن لم يكن كذلك، ② اضرب البسط و المقام في مرافق المقام، ③ انشر البسط و عوّض i² بـ −1، ④ احسب المقام و هو دائما مجموع مربّعين، ⑤ اقسم الجزأين على هذا العدد الحقيقي.
🎯المطلوب: اكتب العدد المركّب الذي بسطه 5 و مقامه 1 − 2i على الشكل الجبري.
نكتب الحاصل كما هو.
مرافق المقام: نغيّر إشارة جزئه التخيلي.
نضرب البسط و المقام في هذا المرافق.
ننشر المقام: هو فرق مربّعين.
و نعوّض i² بـ −1، فينقلب الطرح جمعا.
ثمّ ننشر البسط.
و نقسم كلّ جزء على 5.
فنحصل على الشكل الجبري.
🎯المطلوب: اكتب العدد المركّب الذي بسطه −7 + 4i و مقامه 4 − 7i على الشكل الجبري.
نكتب الحاصل.
مرافق المقام.
نضرب البسط و المقام فيه.
ننشر البسط بالتوزيعية المضاعفة.
نعوّض i² بـ −1 في الحدّ الأخير.
نجمع الحدود الحقيقية ثمّ معاملي i.
ثمّ ننشر المقام: مجموع مربّعي 4 و 7.
و نقسم كلّ جزء على 65.
🎯المطلوب: اكتب العدد المركّب الذي بسطه 3 + 2i و مقامه جداء العددين 1 + i و −6 − 5i على الشكل الجبري.
نبدأ بكتابة المقام على الشكل الجبري: لا يمكن أخذ مرافق جداء غير منشور.
نعوّض i² بـ −1، فيصير الحدّ الأخير موجبا.
و نجمع الأشباه.
الآن نأخذ مرافق هذا المقام.
نضرب البسط و المقام فيه.
ننشر البسط.
نعوّض i² بـ −1.
نجمع الحدود الحقيقية ثمّ معاملي i.
و المقام مجموع مربّعي 1 و 11.
فنقسم الجزأين على 122.
8. حلّ معادلة من الدرجة الأولى في ℂ
و ما دامت القسمة صارت ممكنة، صارت المعادلة من الدرجة الأولى قابلة للحلّ في ℂ كما تُحلّ في مجموعة الأعداد الحقيقية: نعزل المجهول، ثمّ نقسم على معامله.
🎯المطلوب: حلّ في المجموعة ℂ المعادلة ذات المجهول z التي طرفها الأوّل هو جداء 2 − 3i في z ناقص 26 و طرفها الثاني معدوم.
نكتب المعادلة.
نعزل الحدّ الذي يحمل المجهول.
معامل المجهول غير معدوم، فنقسم عليه.
و نطبّق قاعدة القسمة: مرافق المقام.
نضرب البسط و المقام فيه.
المقام مجموع مربّعي 2 و 3.
نبسّط قبل النشر: 26 على 13 يساوي 2.
ثمّ ننشر الجداء الباقي.
و نتحقّق بالتعويض في المعادلة الأصلية.
نعوّض i² بـ −1 فيصير الحدّ الأخير موجبا.
الطرف الأوّل صار 26 ناقص 26 أي صفرا: الحلّ صحيح.
الصفحة 1/15
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net