الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
حل معادلة من الشكل z² = z₀ و الجذران التربيعيان
الجواب في جملة: لكلّ عدد مركّب غير معدوم جذران تربيعيان بالضبط، و هما متقابلان. و حسابهما لا يحتاج تجريبا: يكفي أن نكتب المساواة بين مربّع المجهول و العدد المعلوم، ثمّ نترجمها إلى ثلاث معادلات حقيقية نحلّها بالجمع و بالطرح.
- تعريف الجذرين التربيعيين لعدد مركّب و التحقّق منهما بالتعويض
- حلّ المعادلة التي مربّع المجهول فيها يساوي عددا حقيقيا سالبا
- بناء جملة المعادلات الثلاث التي تعطي الجذرين التربيعيين لعدد مركّب أيّ
- استعمال إشارة الجداء لاختيار الأزواج الصحيحة من بين أربعة
- التحقّق من كلّ جذر بالتعويض قبل تسليم الجواب
- الشكل الجبري لعدد مركّب و الجمع و الجداء فيه، مع تعويض i² بـ −1
- حلّ جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين بالجمع و بالطرح
- أنّ مربّع كلّ عدد حقيقي موجب أو معدوم
1. الأداة: ثلاث معادلات بدل معادلتين
رأينا أنّ تساوي عددين مركّبين يعني تساوي جزأيهما الحقيقيين و تساوي جزأيهما التخيليين: معادلتان لا غير. و هذا صحيح تماما، و يكفي للتعريف. لكنّه هنا لا يكفي للحساب: المعادلتان اللتان يعطيهما مربّع المجهول تقودان إلى معادلة ثنائية التربيع مزعجة.
و لذلك نضيف معادلة ثالثة، ليست جديدة و لا مستقلّة، بل نتيجة للأوليين: تساوي الطويلتين. الطويلة عدد حقيقي موجب، و ستدرسها كاملة في درس الطويلة و العمدة؛ نأخذ منها هنا تعريفها وحده.
هي الجذر التربيعي لمجموع مربّعي الجزأين، أي المسافة بين المبدأ و صورة العدد. و لا نحتاج هنا إلاّ إلى هذه الكتابة و إلى كون الطويلة عددا حقيقيا موجبا.
المعادلتان الأخيرتان تكفيان وحدهما للتساوي، و الأولى تنتج عنهما. و مع ذلك نكتبها، لأنّها هي التي تحمل المعلومة العددية التي تفكّ الجملة: بدونها نضطرّ إلى حلّ معادلة ثنائية التربيع.
2. الجذران التربيعيان لعدد مركّب
نسمّي جذرا تربيعيا للعدد z₀ كلّ حلّ في ℂ لهذه المعادلة. لاحظ أنّ التعريف يتكلّم عن حلول معادلة، لا عن عملية تُطبّق على عدد.
و نبدأ بمثالين يعطيهما الدرس مباشرة، و التحقّق منهما لا يحتاج إلاّ إلى النشر.
يقال إنّ العددين 2 − i و −2 + i هما الجذران التربيعيان للعدد 3 − 4i.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ مربّع كلّ منهما يساوي فعلا العدد 3 − 4i.
نبدأ بالأوّل: ننشر مربّعه بالمتطابقة الشهيرة.
نعوّض i² بـ −1.
ثمّ الثاني: و هو مقابل الأوّل، فمربّعه هو مربّع الأوّل نفسه.
و مربّع −1 يساوي 1.
فيكون للعددين المربّع نفسه.
لأنّ مربّع العدد و مربّع مقابله متساويان. إذن كلّ عدد مركّب غير معدوم له جذران تربيعيان متقابلان، لا أكثر و لا أقلّ.
3. الحالة السهلة: العدد حقيقي سالب
قبل الطريقة العامّة، حالة تُحلّ في سطرين و تُطلب كثيرا في الامتحان: العدد المعلوم حقيقي سالب. و مفتاحها كلّه في المساواة i² = −1.
لأنّ مربّع i√k يساوي مربّع i في مربّع √k، أي −1 في k، أي −k. و مربّع المقابل هو المربّع نفسه، فيكون العددان جذرين تربيعيين للعدد −k.
🎯المطلوب: حلّ في المجموعة ℂ المعادلة التي مربّع مجهولها يساوي −9.
نكتب المعادلة.
نكتب العدد −9 على صورة جداء 9 في −1.
و نعوّض −1 بـ i²، فهما متساويان.
الطرف الثاني صار مربّعا كاملا.
فيكون المجهول مساويا لـ 3i أو لمقابله.
و نتحقّق من الأوّل بالتعويض: مربّع 3i هو 9i².
فنكتب مجموعة الحلول.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيين للعدد الحقيقي −3.
نكتب المعادلة التي تعرّف الجذرين.
نُظهر العامل −1.
و نعوّضه بـ i².
و 3 يساوي مربّع جذره التربيعي، فيصير الطرف الثاني مربّعا كاملا.
فنقرأ الجذرين المتقابلين.
و نتحقّق: مربّع i√3 هو مربّع i في 3.
4. الطريقة العامّة: ثلاث معادلات و شرط إشارة
حين لا يكون العدد المعلوم حقيقيا، لا يوجد طريق مختصر: نضع المجهول على الشكل الجبري، و نترجم المعادلة المركّبة إلى ثلاث معادلات حقيقية.
ننشر المربّع: مربّع الفاصلة زائد ضعف الجداء مضروبا في i زائد مربّع الترتيبة مضروبا في i²، ثمّ نعوّض i² بـ −1 فينقلب الحدّ الأخير سالبا.
و الآن نساوي بين هذا المربّع و العدد المعلوم z₀، بالثلاث معادلات: الطويلتان، ثمّ الجزآن الحقيقيان، ثمّ الجزآن التخيليان. و تُكتب الجملة دائما بالترتيب نفسه.
لأنّ طويلة المربّع تساوي مربّع الطويلة، أي مجموع مربّعي الجزأين. و هذه هي المعادلة التي تحمل العدد و تفكّ الجملة.
و الحلّ بعد ذلك آلي تماما: بجمع المعادلتين الأوليين نحصل على مربّع الفاصلة، و بطرحهما على مربّع الترتيبة، ثمّ تعطي المعادلة الثالثة إشارتهما.
نبحث عن الجذرين التربيعيين للعدد z₀ الذي جزؤه الحقيقي −8 و جزؤه التخيلي 6.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيين للعدد −8 + 6i.
نحسب أوّلا طويلة العدد المعلوم، فهي التي تعطي المعادلة الأولى.
نضع المجهول على الشكل الجبري و نكتب المعادلة الأولى.
ثمّ المعادلة الثانية، بمساواة الجزأين الحقيقيين.
ثمّ الثالثة، بمساواة الجزأين التخيليين.
نجمع المعادلتين الأوليين: يزول مربّع الترتيبة.
فنقسم على 2.
ثمّ نطرح الثانية من الأولى: يزول مربّع الفاصلة.
فنقسم على 2.
و نقرأ القيم الممكنة لكلّ منهما.
و كذلك للترتيبة.
و الآن الفرز: نقسم المعادلة الثالثة على 2.
الجداء موجب، إذن الفاصلة و الترتيبة من نفس الإشارة: نحتفظ بزوجين من الأربعة.
فيكون الجذران متقابلين كما تنبّأت الملاحظة.
و نتحقّق بالتعويض: ننشر مربّع الأوّل.
نعوّض i² بـ −1، فنسترجع العدد المعلوم.
نطبّق الطريقة على العدد الذي جزؤه الحقيقي −15 و جزؤه التخيلي 8. هذا العدد ليس اعتباطيا: ستجده في الدرس الموالي مميّزا لمعادلة من الدرجة الثانية.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيين للعدد −15 + 8i.
نحسب الطويلة أوّلا.
و نكتب الجملة بالترتيب نفسه: الطويلتان.
ثمّ الجزآن الحقيقيان.
ثمّ الجزآن التخيليان.
نجمع المعادلتين الأوليين.
فنحصل على مربّع الفاصلة.
ثمّ نطرحهما.
فنحصل على مربّع الترتيبة.
نقسم المعادلة الثالثة على 2 لنقرأ الإشارة.
الجداء موجب: الفاصلة و الترتيبة من نفس الإشارة.
و نتحقّق بالنشر.
نعوّض i² بـ −1.
| الخطوة | ما تكتبه |
|---|---|
| ① الطويلة | احسب طويلة العدد المعلوم، و هي جذر مجموع مربّعي جزأيه |
| ② الجملة | اكتب المعادلات الثلاث بالترتيب: الطويلتان، الجزآن الحقيقيان، الجزآن التخيليان |
| ③ الجمع | اجمع المعادلتين الأوليين فتحصل على ضعف مربّع الفاصلة |
| ④ الطرح | اطرحهما فتحصل على ضعف مربّع الترتيبة |
| ⑤ الإشارة | اقسم المعادلة الثالثة على 2 و انظر إشارة الجداء لتفرز الأزواج |
| ⑥ التحقّق | انشر مربّع أحد الجذرين و تأكّد أنّك استرجعت العدد المعلوم |
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net