الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
حل في ℂ معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات حقيقية
الجواب في جملة: لا يبقى منها شيء. في ℂ تقبل كلّ معادلة من الدرجة الثانية حلولا، مهما كانت إشارة مميّزها. و الدستور الذي تعرفه لا يتغيّر: يتغيّر فقط ما نضعه مكان الجذر التربيعي للمميّز، لأنّ للمميّز جذرين تربيعيين في ℂ حتّى حين يكون سالبا.
- كتابة معادلة من الدرجة الثانية على شكلها النموذجي و حساب مميّزها
- تطبيق دستور الحلّين في ℂ مهما كانت إشارة المميّز
- حلّ معادلة ذات معاملات حقيقية في الحالات الثلاث: المميّز موجب، معدوم، سالب
- استنتاج الحلّ الثاني من الأوّل بالمرافقة حين تكون المعاملات حقيقية
- استعمال مجموع الحلّين و جدائهما، و تحليل ثلاثي الحدود إلى جداء عاملين
- حلّ معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات حقيقية في مجموعة الأعداد الحقيقية
- الجذران التربيعيان لعدد مركّب، و حالة العدد الحقيقي السالب خاصّة
- خواصّ المرافق مع الجمع و الجداء و القوّة
1. الشكل النموذجي و المميّز
ننطلق من معادلة من الدرجة الثانية مكتوبة على شكلها النموذجي، و معاملها الأوّل غير معدوم (و إلاّ لم تكن من الدرجة الثانية).
في هذا الدرس المعاملات الثلاثة حقيقية، و هذا ما يجعل المميّز عددا حقيقيا و يسمح بمناقشة إشارته. و الدستور نفسه يبقى صالحا لو كانت مركّبة.
و الطريق الذي يقود إلى الدستور هو الشكل النموذجي المتقن: نُخرج المعامل الأوّل، ثمّ نُكمل المربّع داخل القوس.
نُخرج a، فيصير داخل القوس مربّع المجهول زائد نسبة المعاملين مضروبة في المجهول زائد نسبة الحدّ الثابت. ثمّ نُكمل المربّع بإضافة و طرح المقدار المناسب.
هو المقدار الذي يظهر في الشكل النموذجي المتقن، و عليه وحده تتوقّف طبيعة الحلّين.
و انعدام الطرف الأوّل يعني انعدام القوس، لأنّ المعامل a غير معدوم. فتؤول المعادلة إلى مساواة بين مربّع و مقدار معلوم — أي بالضبط إلى البحث عن جذر تربيعي، و هو موضوع الدرس السابق.
⭐ هنا يلتقي الدرسان: حلّ معادلة من الدرجة الثانية يعود إلى تعيين الجذرين التربيعيين للمميّز. و لهذا كان الدرس السابق شرطا لهذا الدرس.
2. المبرهنة العامّة
إذا كان المميّز معدوما فالطرف الثاني معدوم، و مربّع لا ينعدم إلاّ إذا انعدم أساسه. فيوجد حلّ واحد، و نسمّيه حلاّ مضاعفا.
نحتاج جذرا تربيعيا للمميّز، أيّهما شئت. و هنا يخدمك الدرس السابق مباشرة.
و للحلّين خاصّيتان تُستعملان في كلّ تمرين تقريبا، و تُوفّران تحقّقا مجّانيا:
لأنّ ω يظهر مرّة بإشارة سالبة و مرّة بإشارة موجبة، فيزول بالجمع، و يبقى ضعف −b مقسوما على ضعف a.
الجداء فرق مربّعين: مربّع b ناقص مربّع ω على مربّع 2a. و مربّع ω هو المميّز، فيبقى بعد التبسيط الحدّ الثابت مقسوما على المعامل الأوّل.
ما دام للمعادلة حلاّن في ℂ دائما، فإنّ كلّ ثلاثي حدود من الدرجة الثانية يُحلّل في ℂ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى — و هذا ليس ممكنا دائما في ℝ.
3. الحالة التي تهمّنا: معاملات حقيقية
حين تكون المعاملات الثلاثة حقيقية، يصير المميّز عددا حقيقيا، و تصير مناقشة إشارته ممكنة. و عندئذ تنقسم الحالة الثانية إلى حالتين، فتصير الحالات ثلاثا.
إذا كان المميّز سالبا فإنّ مقابله موجب، و له جذر تربيعي حقيقي. و قد رأينا في الدرس السابق أنّ جذري عدد حقيقي سالب هما i مضروبا في الجذر التربيعي لمقابله، بإشارتيه.
| إشارة المميّز | الحلول في مجموعة الأعداد الحقيقية | الحلول في المجموعة ℂ |
|---|---|---|
| موجب تماما | حلاّن حقيقيان متمايزان | الحلاّن الحقيقيان نفسهما، لا شيء جديد |
| معدوم | حلّ مضاعف واحد | الحلّ المضاعف نفسه |
| سالب تماما | لا يوجد حلّ | حلاّن مركّبان مترافقان |
نعوّض ω بأحد جذري المميّز في الدستور العامّ، لا أكثر. و الحلّ الثاني يُحصل عليه بتغيير إشارة الجذر.
⭐ الحلاّن مترافقان: لهما نفس الجزء الحقيقي و جزآن تخيليان متقابلان، لأنّ الفرق بينهما هو إشارة ω وحدها، و ω عدد تخيلي صرف هنا.
و هذه ليست ملاحظة على الدستور فقط: هي خاصّية عامّة تُبرهن بالمرافقة وحدها، دون أيّ حساب للمميّز. و البرهان يستعمل بالضبط ما رأيناه في درس المرافق.
نسمّي E الطرف الأوّل. ما دام E معدوما فمرافقه معدوم أيضا، لأنّ مرافق الصفر هو الصفر.
مرافق المجموع هو مجموع المرافقات، و مرافق الجداء هو جداء المرافقات، و مرافق كلّ عدد حقيقي هو نفسه: هنا بالضبط تُستعمل فرضية المعاملات الحقيقية، فتبقى a و b و c على حالها.
السطر السابق يقول إنّ مرافق z₁ يحقّق المعادلة نفسها. إذن إذا كان عدد حلاّ لمعادلة ذات معاملات حقيقية، فمرافقه حلّ لها كذلك.
4. الحالات الثلاث، مثالا مثالا
🎯المطلوب: حلّ في المجموعة ℂ المعادلة التي معاملاتها 1 و −5 و 6 على الترتيب.
نكتب المعادلة على شكلها النموذجي و نقرأ المعاملات الثلاثة.
نحسب المميّز بالدستور.
نجري الحساب.
المميّز موجب تماما، فجذراه التربيعيان حقيقيان متقابلان.
نعوّض في دستور الحلّ الأوّل.
ثمّ في دستور الحلّ الثاني.
و نتحقّق بمجموع الحلّين: يجب أن يساوي مقابل المعامل الثاني.
ثمّ بجدائهما: يجب أن يساوي الحدّ الثابت.
فنكتب مجموعة الحلول.
🎯المطلوب: حلّ في المجموعة ℂ المعادلة التي معاملاتها 1 و −6 و 9 على الترتيب.
نكتب المعادلة و نقرأ معاملاتها.
نحسب المميّز.
نجري الحساب.
المميّز معدوم: نحن في الحالة الأولى، و الحلّ مضاعف.
و نتحقّق بالتحليل: ثلاثي الحدود مربّع كامل.
و مربّع لا ينعدم إلاّ عند انعدام أساسه.
🎯المطلوب: حلّ في المجموعة ℂ المعادلة التي معاملاتها 1 و −1 و 1 على الترتيب.
نكتب المعادلة و نقرأ معاملاتها.
نحسب المميّز.
نجري الحساب.
المميّز سالب: في مجموعة الأعداد الحقيقية نتوقّف هنا، و في ℂ نواصل. نبحث عن جذر تربيعي له، و مقابله هو 3.
و نتحقّق من ذلك قبل التعويض: مربّع i√3 هو مربّع i في 3.
نعوّض في دستور الحلّ الأوّل، مع ω = i√3.
ثمّ في دستور الحلّ الثاني.
نوزّع القسمة على الحدّين لنقرأ الشكل الجبري لكلّ حلّ.
و كذلك للثاني.
و نتحقّق بالمجموع: يجب أن يساوي مقابل المعامل الثاني، أي 1.
فنكتب مجموعة الحلول، و نلاحظ أنّ الحلّين مترافقان.
🎯المطلوب: حلّ في المجموعة ℂ المعادلة التي معاملاتها 1 و 2 و 2 على الترتيب.
نكتب المعادلة و نقرأ معاملاتها.
نحسب المميّز.
نجري الحساب.
المميّز سالب، و مقابله 4 مربّع كامل: فالجذر ناطق.
نتحقّق: مربّع 2i هو 4i².
نعوّض في دستور الحلّ الأوّل، مع ω = 2i.
ثمّ في دستور الحلّ الثاني.
و نتحقّق بالتعويض في المعادلة: ننشر مربّع الحلّ الأوّل.
نعوّض i² بـ −1، فيبقى الجزء التخيلي وحده.
نجمع الحدود الثلاثة للمعادلة.
فنكتب مجموعة الحلول.
5. الطريق القصير: استنتاج الحلّ الثاني بالمرافقة
حين تكون المعاملات حقيقية، لست مضطرّا إلى حساب المميّز إن كان أحد الحلّين معطى لك أو مخمّنا. يكفي أن تتحقّق منه، ثمّ تستنتج الثاني بالمرافقة. و هذا هو الشكل الذي يأخذه السؤال في الامتحان أكثر من غيره.
نعود إلى المعادلة التي معاملاتها 1 و −1 و 1، و يُعطى لنا العدد الذي جزؤه الحقيقي 1/2 و جزؤه التخيلي هو نصف الجذر التربيعي للعدد 3.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ هذا العدد حلّ للمعادلة، ثمّ استنتج الحلّ الثاني دون حساب المميّز.
نسمّي هذا العدد z₁ و نكتبه على الشكل الجبري.
ننشر مربّعه بالمتطابقة الشهيرة: مربّع الأوّل زائد ضعف الجداء زائد مربّع الثاني.
نعوّض i² بـ −1 في الحدّ الأخير.
نجمع الجزأين الحقيقيين: 1/4 ناقص 3/4.
نعوّض الآن في الطرف الأوّل للمعادلة، أي المربّع ناقص العدد زائد 1.
الجزآن التخيليان يزولان، و الحدود الحقيقية تُجمع.
إذن العدد حلّ. و المعاملات حقيقية، فمرافقه حلّ كذلك.
و مرافق العدد يُحصل عليه بتغيير إشارة جزئه التخيلي وحده.
نبقى مع المعادلة التي معاملاتها 1 و −1 و 1، و حلاّها هما العددان المترافقان اللذان وجدناهما.
🎯المطلوب: احسب مجموع الحلّين و جداءهما، ثمّ اكتب تحليل ثلاثي الحدود إلى جداء عاملين.
نبدأ بدستور المجموع: مقابل المعامل الأوسط مقسوما على المعامل الأوّل.
نعوّض المعاملين: المعامل الأوسط هو −1 و المعامل الأوّل هو 1.
و نتحقّق بالحساب المباشر: الجزآن التخيليان متقابلان فيزولان.
ثمّ دستور الجداء: الحدّ الثابت مقسوما على المعامل الأوّل.
نعوّض: الحدّ الثابت هو 1 و المعامل الأوّل هو 1.
و نتحقّق: الحلاّن مترافقان، فجداؤهما مجموع مربّعي الجزأين.
و ما دام للمعادلة حلاّن، فثلاثي الحدود يُحلّل إلى جداء عاملين.
و ننشر للتحقّق: مجموع الحلّين يعطي معامل الحدّ الأوسط، و جداؤهما الحدّ الثابت.
6. أبعد من المعاملات الحقيقية
الدستور نفسه يبقى صالحا حين لا تكون المعاملات كلّها حقيقية. الفرق الوحيد أنّ المميّز يصير عندئذ عددا مركّبا: فلا معنى لمناقشة إشارته، و لا بدّ من تعيين جذريه التربيعيين بالطريقة الكاملة التي رأيناها في الدرس السابق.
نعتبر المعادلة التي معاملها الأوّل 1، و معامل حدّها الأوسط هو 3 − 2i، و حدّها الثابت هو 5 − 5i.
🎯المطلوب: حلّ في المجموعة ℂ هذه المعادلة ذات المجهول المركّب.
نكتب المعادلة.
نحسب المميّز بالدستور نفسه.
ننشر المربّع أوّلا.
نعوّض i² بـ −1.
فيصير المربّع على الشكل الجبري.
ثمّ ننشر الحدّ الثاني بإشارته.
و نجمع فنحصل على المميّز.
المميّز عدد مركّب: لا إشارة له، فنعيّن جذريه بالطريقة الكاملة. و قد حسبناهما في الدرس السابق.
نتحقّق بالنشر قبل التعويض.
نعوّض في دستور الحلّ الأوّل، مع ω = 1 + 4i.
و نقسم على ضعف المعامل الأوّل، أي على 2.
ثمّ بسط الحلّ الثاني.
و نقسم على 2 كذلك.
و نتحقّق بالمجموع: يجب أن يساوي مقابل المعامل الأوسط.
فنكتب مجموعة الحلول.
الصفحة 1/11
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net