الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
تركيب تشابهين مباشرين
الجواب في جملة: نعم، و القاعدة أبسط ممّا نتوقّع — النسب تُضرب و الزوايا تُجمع. ثمّ يأتي تنبيه لا بدّ منه: التركيب ليس تبديليّا. المركّبان في الاتّجاهين لهما نفس النسبة و نفس الزاوية، و مع ذلك ليسا التحويل نفسه في الحالة العامّة.
- إثبات أنّ مركّب تشابهين مباشرين هو تشابه مباشر
- حساب نسبة المركّب و زاويته انطلاقا من نسبتَي التشابهين و زاويتيهما
- تعيين الكتابة المركّبة لمركّب تشابهين مباشرين
- معرفة أنّ التركيب ليس تبديليّا في الحالة العامّة، و تعيين متى يكون كذلك
- الكتابة المركّبة لتشابه مباشر، و قراءة النسبة و الزاوية على معاملها
- طويلة جداء عددين مركّبين و عمدة هذا الجداء
- علاقة شال في الزوايا الموجّهة
- تركيب تطبيقين و معنى الرمز الدائري بينهما
1. ما معنى تركيب تحويلين
تركيب تحويلين معناه تطبيقهما واحدا بعد الآخر. نأخذ نقطة M، فيرفق بها التحويل الأوّل النقطة M′، ثمّ يرفق التحويل الثاني بهذه الأخيرة النقطة M₁. التحويل الذي ينقل M إلى M₁ مباشرة هو مركّب التحويلين.
2. الخاصيّة: مركّب تشابهين مباشرين تشابه مباشر
و البرهان يُقرأ في اتّجاهين، و كلاهما مفيد. نبدأ بالاتّجاه الهندسي، الذي يتبع المسافات و الزوايا خطوة خطوة. نأخذ نقطتين M و N، و نسمّي صورتيهما بالتشابه الأوّل M′ و N′، ثمّ صورتي هاتين بالتشابه الثاني M₁ و N₁.
نعوّض ببساطة المسافة الوسطى بقيمتها: العددان يُضربان، فالنسبة الناتجة هي جداء النسبتين.
هذه علاقة شال في الزوايا الموجّهة: الزاوية من الأوّل إلى الثالث هي مجموع الزاويتين المتتاليتين، بترديد دورة كاملة.
و الاتّجاه الثاني هو الحساب بالأعداد المركّبة، و هو الذي نستعمله في التمارين لأنّه يعطي الكتابة المركّبة للمركّب، لا نسبته و زاويته فحسب. نسمّي التشابه الأوّل S و الثاني L، و نكتب كتابتيهما المركّبتين:
نعوّض ببساطة: ما يخرج من التشابه الأوّل يدخل في الثاني. و المعامل الناتج هو جداء المعاملين، و هذا وحده يحمل النسبة و الزاوية معا.
طويلة جداء عددين مركّبين تساوي جداء طويلتيهما: من هنا يأتي ضرب النسبتين.
و عمدة الجداء تساوي مجموع العمدتين بترديد دورة كاملة: من هنا يأتي جمع الزاويتين.
3. تنبيه أساسي: التركيب ليس تبديليّا
النسبة و الزاوية لا تتعلّقان بالترتيب: جداء عددين لا يتغيّر بتبديلهما، و كذلك مجموعهما. و من هنا يأتي وهم شائع: أن نظنّ أنّ المركّبين في الاتّجاهين هما التحويل نفسه. و هذا غير صحيح في الحالة العامّة، لأنّ الثابت — و هو الذي يحمل الموضع — يتغيّر بتغيّر الترتيب.
و ننتقل الآن إلى الأمثلة، و أوّلها هو الذي يهدم الوهم.
نعتبر التحاكي الذي مركزه المبدأ و نسبته 2، و الانسحاب الذي لاحقة شعاعه تساوي 1.
🎯المطلوب: احسب الكتابة المركّبة للمركّب في كلّ من الاتّجاهين، ثمّ قارن بينهما
نبدأ بالترتيب الأوّل: التحاكي أوّلا، ثمّ الانسحاب. نعوّض ما يخرج من التحاكي في كتابة الانسحاب.
و الآن الترتيب المعاكس: الانسحاب أوّلا، ثمّ التحاكي.
المعاملان متساويان — و هذا متوقّع، فالنسبة و الزاوية لا تتعلّقان بالترتيب. أمّا الثابتان فمختلفان.
و أقصر برهان على الاختلاف هو تعويض لاحقة واحدة: نأخذ اللاحقة المعدومة.
A و B نقطتان مختلفتان من المستوي. نعتبر الدوران الأوّل الذي مركزه A و زاويته ربع دورة، و الدوران الثاني الذي مركزه B و زاويته سدس دورة في الاتجاه السالب. و نضع f المركّب الذي يطبّق الدوران الأوّل ثمّ الثاني.
🎯المطلوب: أثبت أنّ f دوران و عيّن زاويته، ثمّ أنشئ صورة النقطة A و مركز هذا الدوران
الدوران تشابه مباشر نسبته 1. إذن نسبة المركّب هي جداء النسبتين.
النسبة تساوي 1، فطويلة معامل المركّب تساوي 1؛ و الزاوية غير معدومة، فالمعامل يختلف عن 1. و هذان هما بالضبط شرطا الدوران.
ننشئ الآن صورة النقطة A. و الملاحظة التي تختصر كلّ شيء: A هي مركز الدوران الأوّل، فهي صامدة به.
و صورتها بالدوران الثاني تُبنى بشرطيه: نفس البعد عن مركزه، و زاويته.
بقي مركز المركّب. هو النقطة التي تنطبق على صورتها، و التي تدور حولها A بزاوية المركّب لتصل إلى صورتها.
المستوي المركّب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و التشابهان المباشران معطيان بكتابتيهما المركّبتين. نطبّق التشابه الثاني أوّلا ثمّ الأوّل.
🎯المطلوب: عيّن طبيعة التحويل المركّب
نبدأ بالنسبتين، لأنّهما أسرع ما يُقرأ.
ثمّ الزاويتان.
النسبة تساوي 1 و الزاوية معدومة: المركّب انسحاب. و لمعرفة شعاعه نحسب ثابته، بتطبيق التشابه الثاني أوّلا ثمّ الأوّل.
نُخرج العامل المشترك من كلّ قوس قبل النشر: ربع من الأوّل، و ثلاثة من الثاني.
التحويلان النقطيّان معطيان بعبارتيهما التحليليّتين في معلم متعامد و متجانس: الأوّل يرفق بالنقطة التي إحداثيّاها x و y نقطة، و الثاني كذلك.
🎯المطلوب: عيّن طبيعة كلّ من التحويلين و عناصره المميّزة، ثمّ احسب المركّبين في الاتّجاهين و قارن بينهما
ننتقل من العبارة التحليلية إلى الكتابة المركّبة: نضرب الترتيبة في i و نجمع.
طويلة المعامل تساوي 1 و المعامل يختلف عن 1: التحويل الأوّل دوران، و مركزه نقطته الصامدة.
المعامل عدد حقيقي يختلف عن 0 و عن 1: التحويل الثاني تحاكٍ نسبته 2.
النقطتان الصامدتان متطابقتان: للتحويلين نفس المركز. نحسب الآن المركّبين واحدا واحدا.
و المركّب في المثال الرابع تشابه مباشر نسبته 2 و زاويته ربع دورة سالبة، و مركزه هو المركز المشترك نفسه: تعويض اللاحقة التي تساوي 1 في كتابة المركّب يعطي 1 من جديد.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net