مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

التحليل القانوني لتشابه مباشر

🔊 المعلّمة تقرأ لك
كلّ تشابه مباشر في المستوي له كتابة مركبة من الشكل ⁦z′ = a z + b⁩، و هذه الكتابة سطر من الحساب لا تُري العين شيئا: لا تقول أين يثبت الشكل، و لا كم تكبر المسافات، و لا بكم تدور الأشكال. و مع ذلك فكلّ هذه المعلومات مختبئة في العددين a و b. فكيف نستخرج من سطر واحد من الحساب ثلاثة عناصر هندسية نراها على الورقة؟

الجواب في جملة واحدة: العدد a يحمل النسبة و الزاوية، و العددان a و b معا يحملان المركز. طويلة a هي النسبة، و عمدة a هي الزاوية، و المركز هو النقطة الوحيدة التي لا تتحرّك. و متى عرفنا هذه العناصر الثلاثة أمكننا كتابة التشابه على صورة تحاك يتبع دورانا لهما المركز نفسه: هذه الكتابة هي ما نسمّيه التحليل القانوني، و هي التي تجعل التشابه قابلا للرسم و للبرهان، لا للحساب فقط.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • قراءة نسبة تشابه مباشر و زاويته مباشرة من معامل الكتابة المركبة
  • تعيين مركز التشابه بحلّ معادلة النقطة الصامدة، و معرفة متى يوجد
  • كتابة التحليل القانوني، أي تفكيك التشابه إلى تحاك و دوران لهما المركز نفسه
  • تمييز حالة الانسحاب عن الحالة العامّة، و معرفة العلامة التي تفصل بينهما
  • حساب نسبة و زاوية مركّب تشابهين، و تجنّب الخطأ الشائع في مركّب تشابه مع نفسه
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • أنّ كلّ تشابه مباشر تُكتب صورته بالعلاقة ⁦z′ = a z + b⁩ مع a عدد مركب غير معدوم
  • حساب طويلة عدد مركب و عمدة له، و قراءتهما من كتابته الجبرية
  • الكتابة المركبة للانسحاب و التحاكي و الدوران، و العناصر المميّزة لكلّ منها

1. النسبة و الزاوية: كلتاهما في المعامل a

لنبدأ بما هو أسهل. التشابه المباشر S كتابته ⁦z′ = a z + b⁩، و قد رأينا في الدرس السابق أنّه يضرب كلّ المسافات في عدد حقيقي موجب تماما، هو طويلة a. و رأينا كذلك أنّه يدير كلّ الأشعّة بزاوية ثابتة، هي عمدة a. فالعنصران الأوّلان يُقرآن إذن من المعامل وحده، و الحدّ الثابت b لا دخل له فيهما.

نسبة التشابه المباشر

المسافة بين صورتين تساوي المسافة بين النقطتين مضروبة في طويلة a. و لهذا كانت النسبة موجبة دائما: الطويلة لا تكون سالبة أبدا.

k = |a|
kنسبة التشابه، عدد حقيقي موجب تماماaمعامل z في الكتابة المركبة للتشابه
زاوية التشابه المباشر

الزاوية الموجهة بين شعاع و صورته تساوي عمدة a، مهما كان الشعاع. و هي زاوية موجهة: إشارتها تقول في أيّ اتّجاه يدور الشكل.

θ = arg(a)
θزاوية التشابه، مقيسة بالتقدير الدائري
الحدّ الثابت لا يغيّر النسبة و لا الزاوية

لو غيّرنا b وحده لبقيت النسبة و الزاوية كما هما، و انتقل الشكل كلّه انتقالا. b يحرّك، و a يكبّر و يدير.

z' = a z + b

2. المركز: النقطة الوحيدة التي لا تتحرّك

المركز ليس عنصرا نقرؤه، بل عنصرا نحسبه. تعريفه بسيط: هو النقطة التي تنطبق على صورتها. نكتب إذن أنّ لاحقة النقطة تساوي لاحقة صورتها، و نحلّ.

معادلة النقطة الصامدة

نكتب ببساطة أنّ الصورة هي النقطة نفسها. كلّ حلّ لهذه المعادلة هو نقطة صامدة، و كلّ نقطة صامدة تحقّقها.

z = a z + b
🔹الخطوة الأولى في الحلّ: تجميع z
z − a z = b
🔹الخطوة الثانية: العامل المشترك

⭐ هنا يظهر كلّ شيء: المعادلة من الدرجة الأولى، و الذي يقرّر عدد حلولها هو المعامل ⁦1 − a⁩ وحده. إن كان غير معدوم فحلّ وحيد، و إن كان معدوما فلا حلّ أو حلول كثيرة.

(1 − a) z = b
العلامة التي تفصل بين الحالتين هي a، و ليست النسبة. إن كان a يختلف عن 1 فللتشابه مركز وحيد؛ و إن كان a يساوي 1 فلا مركز له، و هو انسحاب.
لاحقة المركز في الحالة العامّة

نقسم الطرفين على ⁦1 − a⁩، و هو غير معدوم في هذه الحالة. النتيجة عدد مركب واحد، أي نقطة واحدة: المركز وحيد إذن، و ليس هناك ما نختار.

w = b1 − a
wلاحقة مركز التشابه، و يرمز للمركز بالحرف Ω
⛔ الخطأ الذي يبدو معقولا و هو خاطئ: الظنّ أنّ شرط وجود المركز هو أنّ النسبة تختلف عن 1. الشرط يقع على a نفسه، لا على طويلته. خذ الدوران الذي كتابته ⁦z′ = i z + 1⁩: نسبته تساوي 1 تماما، و مع ذلك له نقطة صامدة وحيدة. فالدورانات كلّها لها مراكز، و شرط النسبة كان سيُخرجها من الحساب.
مثال مضادّ: دوران نسبته 1
z' = i z + 1
معادلة نقطته الصامدة
(1 − i) z = 1
نقطته الصامدة، و هي وحيدة

نضرب البسط و المقام في مرافق المقام: الطرف الأيمن يصير نصف مجموع الواحد و الوحدة التخيلية. النسبة تساوي 1، و المركز موجود: الشرط الصحيح هو أن يختلف a عن 1.

z=11 − i=1 + i2

3. التحليل القانوني: تحاك و دوران لهما المركز نفسه

الآن نصل إلى قلب الدرس. لدينا تشابه مباشر S مركزه Ω و نسبته k و زاويته θ. الفكرة أن نفصل التكبير عن الدوران: نُنجز التكبير وحده بتحاك مركزه Ω و نسبته k، ثمّ الدوران وحده بدوران مركزه Ω و زاويته θ. و المفاجأة أنّ الترتيب لا يهمّ.

التحليل القانوني لتشابه مباشر: إذا كان S تشابها مباشرا مركزه Ω و نسبته k و زاويته θ، فإنّ S يساوي مركّب التحاكي h الذي مركزه Ω و نسبته k مع الدوران r الذي مركزه Ω و زاويته θ، بأيّ ترتيب. و هذان التحويلان معا يسمّيان التحليل القانوني للتشابه S.
🔍التحليل القانوني
S=h ∘ r=r ∘ h
الكتابة المركزية للتحاكي المرافق

هذه هي كتابة التحاكي الذي مركزه Ω: شعاع الصورة من المركز يساوي شعاع النقطة من المركز مضروبا في النسبة. اكتبها دائما بهذه الصورة أوّلا.

z' − w = k (z − w)
كتابة التحاكي المرافق بعد النشر

⭐ ننشر الكتابة السابقة و نعزل ⁦z′⁩. لاحظ الحدّ الثابت جيّدا: إنّه جداء لاحقة المركز في الفرق بين الواحد و النسبة، و ليس حدّ التشابه نفسه. كلّ تحويل في هذا التحليل له حدّه الثابت الخاصّ به.

z' = k z + (1 − k) w
الكتابة المركزية للدوران المرافق
z' − w = eiθ (z − w)
كتابة الدوران المرافق بعد النشر

الشيء نفسه، بمعامل طويلته 1: الدوران لا يغيّر المسافات، و لهذا كان معامله على دائرة الوحدة.

z' = eiθ z + (1 − eiθ) w
⭐ ثلاثة حدود ثابتة مختلفة في ثلاثة تحويلات: لا تخلط بينها. للتشابه حدّه الثابت، و للتحاكي حدّ ثابت آخر يُحسب من المركز و النسبة، و للدوران حدّ ثالث يُحسب من المركز و معامل الدوران. الحرف الواحد لا يصلح لثلاثة أشياء. و التحقّق مجّاني: عوّض المركز في كلّ كتابة، فإن رجع المركز نفسه فالكتابة صحيحة، لأنّ التحويلات الثلاثة تُبقي Ω صامدة.

البرهان، و هو حساب واحد. نضع التحاكي و الدوران بكتابتيهما المركزيتين، ثمّ نركّبهما. لتكن M نقطة لاحقتها z، و لتكن M₁ صورتها بالدوران r، و ⁦M′⁩ صورة M₁ بالتحاكي h.

🔹الخطوة 1: صورة M بالدوران
z₁ − w = eiθ (z − w)
🔹الخطوة 2: صورة M₁ بالتحاكي
z' − w = k (z₁ − w)
🔹الخطوة 3: التعويض

نعوّض العبارة الأولى في الثانية مباشرة: العاملان يجتمعان في جداء واحد.

z' − w = k eiθ (z − w)
🔹الخطوة 4: التعرّف على معامل التشابه

طويلة a هي k و عمدته θ: فجداء النسبة في العدد ذي الطويلة 1 هو a نفسه، مكتوبا بشكله الأسّي.

k eiθ = a
🔹الخطوة 5: النتيجة بعد النشر
z' = a z + (1 − a) w
🔹الخطوة 6: و بما أنّ المركز يحقّق معادلته
(1 − a) w = b
✅النّتيجة

⭐ رجعنا إلى كتابة S نفسها: إذن مركّب التحاكي و الدوران هو S بالضبط. و لو بدأنا بالتحاكي ثمّ الدوران لوجدنا الجداء نفسه، لأنّ النسبة و معامل الدوران عددان يتبادلان.

z' = a z + b
⛔ و انتبه: تبادل الترتيب هنا سببه أنّ للتحويلين المركز نفسه — و ليس قاعدة عامّة. تشابهان مباشران لا يتبادلان في العموم. خذ التحاكي الذي كتابته ⁦z′ = 2 z⁩ و الانسحاب الذي كتابته ⁦z′ = z + 1⁩: مركّبهما بترتيب يعطي معاملا ثابتا يساوي 1، و بالترتيب المعاكس يعطي 2. النسبة و الزاوية تتساويان في الحالتين، و الحدّ الثابت لا يتساوى، فالتحويلان مختلفان.
مركّب بترتيب أوّل
z ⟼ 2 z + 1
مركّب بالترتيب المعاكس

عند ⁦z = 0⁩ يعطي الأوّل 1 و يعطي الثاني 2: نقطة واحدة تكفي لإثبات أنّ التحويلين ليسا واحدا.

z ⟼ 2 z + 2
ما دام للتحويلين المركز نفسه، فالنقطة الواصلة واحدة: هذا هو معنى المساواة بين الترتيبين في التحليل القانوني.

4. الحالة الأخرى: عندما يساوي a الواحد

بقيت الحالة التي أهملناها عمدا: a يساوي 1. عندئذ يصير المعامل ⁦1 − a⁩ معدوما، و المعادلة التي تعطي المركز لا يبقى فيها مجهول: إمّا أنّها مستحيلة، و إمّا أنّها محقّقة دائما.

الكتابة المركبة عندما يساوي a الواحد
z' = z + b
معادلة النقطة الصامدة في هذه الحالة

نعوّض المعامل بالواحد في المعادلة السابقة، فيختفي المجهول تماما. الطرف الأيسر معدوم مهما كانت z: فالمعادلة تتعلّق بـ b وحده.

0 = b
  1. إذا كان b غير معدوم فالمعادلة مستحيلة: لا نقطة صامدة، و التحويل انسحاب شعاعه هو الشعاع الذي لاحقته b
  2. إذا كان b معدوما فكلّ نقطة صامدة، و التحويل هو التطبيق المطابق
✅النّتيجة: بطاقة التحليل القانوني
العنصر المميّزكيف نحسبه
النسبة⁦k = |a|⁩
الزاوية⁦θ = arg(a)⁩
المركز⁦w = b1 − a⁩
التحاكي المرافق⁦z' − w = k (z − w)⁩
الدوران المرافق⁦z' − w = eiθ (z − w)⁩
شرط وجود المركز⁦a ≠ 1⁩
السطران الأخيران هما التحليل القانوني نفسه، و السطر الأخير هو الشرط الذي يجب التحقّق منه قبل كلّ شيء: الشرط على a، لا على النسبة.
مثال 1: من جملة ديكارتية إلى العناصر المميّزة

تحويل نقطي S يرفق بكلّ نقطة من المستوي إحداثياها نقطة أخرى، و هو معطى بجملة ديكارتية لا بكتابة مركبة. هذه هي الصورة التي يأتي بها السؤال في الامتحان.

🎯المطلوب: اكتب لاحقة الصورة بدلالة لاحقة النقطة، ثمّ عيّن النسبة و الزاوية و المركز.

📌المعطى: فاصلة الصورة

نكتب المعطى كما هو: سطران يعطيان إحداثيّي الصورة.

x' = √2 (x + y + 1)
📌المعطى: ترتيبة الصورة
y'=√2 (−x + y + 1) − 1
🔹الخطوة 1: تكوين لاحقة الصورة

نضع لاحقة النقطة و لاحقة صورتها، ثمّ نكوّن اللاحقة الثانية من السطرين.

z'=√2 (x + y + 1) + i (√2 (−x + y + 1) − 1)
🔹الخطوة 2: حدود الفاصلة

نجمع الحدود التي تحمل الفاصلة وحدها.

√2 x − i √2 x = √2 (1 − i) x
🔹الخطوة 3: حدود الترتيبة

ثمّ الحدود التي تحمل الترتيبة، و نُظهر فيها العامل نفسه.

√2 y + i √2 y = √2 (1 − i) (i y)
🔹الخطوة 4: العامل المشترك

العاملان صارا واحدا، فنجمع الفاصلة و الترتيبة في اللاحقة z.

√2 (1 − i) x + √2 (1 − i) (i y)=√2 (1 − i) z
🔹الخطوة 5: الحدّ الثابت

و ما تبقّى لا يحمل x و لا y: إنّه الحدّ الثابت.

√2 + i √2 − i
✅النّتيجة: الكتابة المركبة
z'=√2 (1 − i) z + √2 + i √2 − i
🔹الخطوة 6: النسبة

صارت العناصر قابلة للقراءة. نبدأ بالنسبة: طويلة جداء هي جداء الطويلتين.

k=|√2 (1 − i)|=√2 × √2=2
🔹الخطوة 7: الزاوية

ثمّ الزاوية: عمدة العدد ⁦1 − i⁩ معروفة، و الضرب في عدد حقيقي موجب لا يغيّر العمدة.

θ=arg(√2 (1 − i)) ≡ −π4 [2π]
🔹الخطوة 8: معادلة المركز

و أخيرا المركز: نكتب أنّ لاحقته تنطبق على صورتها.

w=√2 (1 − i) w + √2 + i √2 − i
🔹الخطوة 9: عزل المجهول

نجمع الحدود التي تحمل w في طرف واحد.

(1 − √2 + i √2) w = √2 + i √2 − i
🔹الخطوة 10: ضرب معامل w في ⁦−i⁩

⭐ و هنا حيلة تختصر الحساب كلّه: نضرب المقام في ⁦−i⁩ فنجد البسط نفسه.

−i (1 − √2 + i √2)=√2 + i √2 − i
✅النّتيجة: لاحقة المركز

فالطرف الأيمن هو ⁦−i⁩ مضروبا في معامل w: نقسم الطرفين على هذا المعامل غير المعدوم.

w = −i
⭐ الطريق واحد دائما: ديكارتية ← مركبة ← عناصر مميّزة. لا تحاول قراءة النسبة من الجملة الديكارتية مباشرة: المعاملات فيها مختلطة، و العين تخطئ. و بعد أن تجد المركز، تحقّق منه في سطر واحد بتعويض لاحقته في الكتابة المركبة: إن رجعت النقطة نفسها فالحساب صحيح.
مثال 2: كتابة التحليل القانوني لهذا التشابه

نواصل مع التشابه نفسه، بعد أن صارت عناصره الثلاثة معلومة. المطلوب هذه المرّة ليس حسابا جديدا، بل كتابة التحويلين اللذين يركّبانه.

🎯المطلوب: اكتب الكتابة المركبة للتحاكي و للدوران المرافقين، ثمّ تحقّق أنّ مركّبهما هو S.

📌المعطى: العناصر المميّزة

نأخذ العناصر الثلاثة كما وجدناها في المثال السابق.

k = 2 , θ = −π4 , w = −i
🔹الخطوة 1: الكتابة المركزية للتحاكي

نبدأ بالتحاكي: مركزه هو مركز التشابه، و نسبته هي نسبته. نكتبه بصورته المركزية.

z' + i = 2 (z + i)
🔹الخطوة 2: التحاكي بعد النشر

ننشر و نعزل لاحقة الصورة.

z' = 2 z + 2 i − i
🔹الخطوة 3: تبسيط الحدّ الثابت للتحاكي
z' = 2 z + i
🔹الخطوة 4: الكتابة المركزية للدوران

ثمّ الدوران: مركزه هو المركز نفسه، و زاويته هي زاوية التشابه.

z' + i=e−iπ4 (z + i)
🔹الخطوة 5: الشكل الجبري لمعامل الدوران

نكتب معامل الدوران بشكله الجبري لنتمكّن من الحساب.

e−iπ4=√22 − i √22
🔹الخطوة 6: الدوران بعد النشر

ننشر كتابة الدوران و نعزل لاحقة الصورة.

z'=(√22 − i √22) z + √22 + (√22 − 1) i
🔹الخطوة 7: تركيب التحاكي بعد الدوران

و الآن التحقّق: نركّب التحاكي بعد الدوران، أي نعوّض كتابة الدوران في كتابة التحاكي.

2 ((√22 − i √22) z + √22 + (√22 − 1) i) + i
✅النّتيجة

ننشر: المعامل يصير جداء النسبة في معامل الدوران، و الحدود الثابتة تتجمّع.

z'=√2 (1 − i) z + √2 + i √2 − i
⭐ اكتب دائما الكتابة المركزية أوّلا، ثمّ انشرها. الكتابة المركزية تُقرأ من التعريف مباشرة و لا تحتمل خطأ؛ أمّا الحدّ الثابت المنشور فهو موضع الخطأ الشائع: إنّه ليس حدّ التشابه نفسه. و التحقّق الأخير سطر واحد، و هو الذي يشتري لك اليقين.
مثال 3: عناصر مركّب تشابه مع نفسه

نطبّق التشابه S مرّتين متتاليتين على النقطة نفسها. المركّب تشابه مباشر أيضا، و لكن بأيّ عناصر؟ هذا السؤال يأتي في البكالوريا في كلّ مرّة تقريبا.

🎯المطلوب: اكتب العبارة المركّبة للمركّب، ثمّ قارن نسبته و زاويته و مركزه بعناصر S.

📌المعطى

نأخذ التشابه نفسه بكتابته المركبة.

z'=√2 (1 − i) z + √2 + i √2 − i
🔹الخطوة 1: التعويض

نطبّق التشابه مرّتين: نعوّض الكتابة في نفسها.

z''=√2 (1 − i) (√2 (1 − i) z + √2 + i √2 − i) + √2 + i √2 − i
🔹الخطوة 2: مربّع المعامل

معامل z الجديد هو مربّع المعامل القديم.

(√2 (1 − i))²=2 (1 − i)²=−4 i
🔹الخطوة 3: الحدّ الثابت الجديد

و الحدّ الثابت الجديد هو المعامل مضروبا في الحدّ الثابت القديم، مضافا إليه هذا الأخير.

√2 (1 − i) (√2 + i √2 − i) + √2 + i √2 − i=4 − i
✅النّتيجة: الكتابة المركبة للمركّب
z'' = −4 i z + 4 − i
🔹الخطوة 4: النسبة الجديدة

نقرأ النسبة الجديدة من طويلة المعامل الجديد.

|−4 i| = 4
🔹الخطوة 5: الزاوية الجديدة

و الزاوية الجديدة من عمدته.

arg(−4 i) ≡ −π2 [2π]
🔹الخطوة 6: معادلة المركز الجديد

و المركز الجديد من معادلة النقطة الصامدة.

(1 + 4 i) w = 4 − i
🔹الخطوة 7: قراءة الحلّ

نلاحظ أنّ الطرف الأيمن هو ⁦−i⁩ مضروبا في معامل w، فالحلّ يُقرأ مباشرة.

−i (1 + 4 i) = 4 − i
✅النّتيجة: المركز لم يتغيّر
w = −i
✅النّتيجة: النسبة

و الآن المقارنة، و هي المقصود من المثال: النسبة الجديدة هي مربّع القديمة.

4 = 2²
✅النّتيجة: الزاوية

أمّا الزاوية فقد تضاعفت فعلا.

−π2=2 × (−π4)
⛔⛔ الفخّ الأكبر في هذا الدرس: النسبة تتربّع، و لا تتضاعف. هنا صادف أنّ النسبة 2، و مربّعها 4 يساوي ضعفها 4، فيمرّ الخطأ دون أن يُرى. جرّب بنسبة 3: المركّب نسبته 9، لا 6. ⭐ و القاعدة السليمة في سطر واحد: النسبة تتربّع، الزاوية تتضاعف، و المركز لا يتغيّر — لأنّ المركز صامد بالتشابه، فهو صامد به مرّتين.
مثال 4: مركّب دورانين مختلفي المركز

دورانان لهما مركزان مختلفان: الأوّل مركزه A و زاويته قائمة، و الثاني مركزه B و زاويته سالبة. نركّب الثاني بعد الأوّل. القاعدة تقول إنّ المركّب تشابه مباشر، فما طبيعته بالضبط؟

🎯المطلوب: أثبت أنّ المركّب دوران، ثمّ عيّن زاويته و بيّن كيف يُنشأ مركزه.

📌المعطى: زاوية الدوران الأوّل

نكتب زاوية كلّ دوران.

θ₁ = π2
📌المعطى: زاوية الدوران الثاني
θ₂ = −π6
🔹الخطوة 1: نسبة كلّ دوران

الدوران تشابه مباشر نسبته 1: هذه هي المفتاح الذي يدخلنا في القاعدة.

k₁ = 1 , k₂ = 1
🔹الخطوة 2: نسبة المركّب

نسبة المركّب هي جداء النسبتين.

k=1 × 1=1
🔹الخطوة 3: زاوية المركّب

و زاويته هي مجموع الزاويتين.

θ=π2 − π6=π3
🔹الخطوة 4: الزاوية غير معدومة

النسبة تساوي 1، فيبقى أن نعرف هل الزاوية معدومة أم لا: هي غير معدومة.

θ ≠ 0
🔹الخطوة 5: التحاكي المرافق نسبته 1

إذن التحويل ليس انسحابا، و له مركز وحيد نسمّيه Ω. نكتب تحليله القانوني.

z' − w = 1 (z − w)
✅النّتيجة: طبيعة المركّب

تحاك نسبته 1 هو التطبيق المطابق: يسقط من التركيب دون أن يغيّر شيئا.

f=r ∘ h=r
🔹الخطوة 6: صورة مركز الدوران الأوّل

نبني الآن الصورة و المركز. الدوران الأوّل يترك مركزه صامدا.

f(A)=r₂(A)=A'
🔹الخطوة 7: أوّل شرط على الصورة

فالنقطة ⁦A′⁩ تُنشأ بالدوران الثاني وحده: بُعدها عن مركزه هو بعد A نفسه.

BA' = BA
🔹الخطوة 8: ثاني شرط على الصورة

و الزاوية الموجهة بين الشعاعين هي زاوية الدوران الثاني.

(BA ; BA') ≡ −π6 [2π]
🔹الخطوة 9: أوّل شرط على المركز

ثمّ المركز: هو مركز دوران يحوّل A إلى ⁦A′⁩، فهو على بعد واحد منهما.

ΩA = ΩA'
🔹الخطوة 10: ثاني شرط على المركز

و الزاوية الموجهة عنده هي زاوية المركّب.

(ΩA ; ΩA') ≡ π3 [2π]
✅النّتيجة

ضلعان متساويان و زاوية بينهما تساوي ثلث المستقيم: المثلث متقايس الأضلاع.

ΩA=ΩA'=AA'
⭐ دورانان يركّبان دورانا ما لم يكن مجموع زاويتيهما معدوما. إن كان المجموع معدوما فالنسبة 1 و الزاوية 0 معا، و المركّب انسحاب لا دوران. ⛔ و لاحظ أنّ مركز المركّب ليس على منتصف ما بين المركزين: إنّه يُبنى من المثلث المتقايس الأضلاع، لا بالتخمين.
المثلث الذي يحمل المركز متقايس الأضلاع لأنّ زاوية المركّب تساوي ثلث المستقيم: هكذا يُنشأ Ω بالمسطرة و البركار.
مثال 5: مركّب تشابهين يعطي التطبيق المطابق

تشابهان مباشران، الأوّل نسبته أصغر من 1 و الثاني أكبر منها. نركّب الأوّل بعد الثاني. هذا المثال يغطّي الحالة التي أهملها الكثيرون: الحالة التي لا مركز فيها.

🎯المطلوب: عيّن طبيعة مركّب التشابهين.

📌المعطى: التشابه الأوّل

نكتب كلّ تشابه بكتابته المركبة.

z'=(√34 − (14) i) z + 3 i
📌المعطى: التشابه الثاني
z'=(√3 + i) z + 3 − 3 √3 i
🔹الخطوة 1: نسبة التشابه الأوّل

نحسب نسبة الأوّل: طويلة معامله.

|√34 − (14) i|=12
🔹الخطوة 2: زاوية التشابه الأوّل

و زاويته: عمدة معامله.

arg(√34 − (14) i) ≡ −π6 [2π]
🔹الخطوة 3: نسبة التشابه الثاني

ثمّ نسبة الثاني.

|√3 + i| = 2
🔹الخطوة 4: زاوية التشابه الثاني

و زاويته.

arg(√3 + i) ≡ π6 [2π]
🔹الخطوة 5: نسبة المركّب

نسبة المركّب هي جداء النسبتين.

(12) × 2 = 1
🔹الخطوة 6: زاوية المركّب

و زاويته مجموع الزاويتين، و المجموع معدوم هنا.

−π6 + π6=0
🔹الخطوة 7: معامل المركّب

النسبة 1 و الزاوية معدومة: المركّب انسحاب. يبقى أن نعرف شعاعه، أي حدّه الثابت.

(√34 − (14) i) (√3 + i)=1
🔹الخطوة 8: الجداء الأوّل

نحسب جداء معامل الأوّل في الحدّ الثابت للثاني.

(√34 − (14) i) (3 − 3 √3 i)=−3 i
🔹الخطوة 9: الحدّ الثابت للمركّب

ثمّ نضيف الحدّ الثابت للتشابه الأوّل.

−3 i + 3 i = 0
✅النّتيجة

المعامل يساوي 1 و الحدّ الثابت معدوم: كلّ نقطة صورتها نفسها.

z' = z
⭐ الشرطان معا هما ما يعطي التطبيق المطابق: المعامل يساوي 1 و الحدّ الثابت معدوم. لو كان المعامل 1 و الحدّ الثابت غير معدوم لكان المركّب انسحابا لا غير. ⚖️ و لاحظ ما يعنيه هذا: كلّ من التشابهين هو التحويل العكسي للآخر — و لهذا وحده تساوى الترتيبان هنا، فلا تعمّم ذلك على تشابهين كيفيّين.
مثال 6: تشابه بلا مركز

تحويل نقطي بسيط في مظهره، و هو الحالة الحدّية التي يسقط عندها كلّ الدرس السابق: لا مركز، إذن لا تحليل قانوني.

🎯المطلوب: عيّن طبيعة التحويل، و بيّن لماذا لا مركز له.

📌المعطى

نكتب المعطى.

z' = z − 1 + 5 i
🔹الخطوة 1: المعامل

نقرأ المعامل: إنّه يساوي 1 بالضبط.

a = 1
🔹الخطوة 2: معادلة النقطة الصامدة

نكتب معادلة النقطة الصامدة بصورتها العامّة.

(1 − 1) z = −1 + 5 i
🔹الخطوة 3: المعادلة مستحيلة

الطرف الأيسر معدوم مهما كانت z، و الطرف الأيمن غير معدوم.

0 = −1 + 5 i
✅النّتيجة: شعاع الانسحاب

فلا نقطة صامدة، و التحويل انسحاب شعاعه هو الشعاع الذي لاحقته هي الحدّ الثابت.

u(−1 ; 5)
⭐ قبل أن تبحث عن مركز، انظر إلى المعامل. إن كان يساوي 1 فتوقّف: التحويل انسحاب، و شعاعه هو الحدّ الثابت، و لا معنى للبحث عن نسبة و زاوية و مركز. هذه النظرة تختصر عليك نصف السؤال في الامتحان.
⛔ في البكالوريا، سؤال « عيّن طبيعة التحويل و عناصره المميّزة » يُنقّط على أربعة أسطر مكتوبة، لا على الجواب وحده: ① الكتابة المركبة إن كان المعطى جملة ديكارتية ② طويلة المعامل، و هي النسبة ③ عمدة المعامل، و هي الزاوية ④ حلّ معادلة النقطة الصامدة، و هو المركز. ⚖️ و إذا طُلب منك التحليل القانوني صراحة، فاكتب التحاكي و الدوران بكتابتيهما المركزيتين ثمّ انشرهما: هذا يمنع خطأ الحدّ الثابت. ⛔ و في سؤال مركّب تشابه مع نفسه، اكتب « النسبة تتربّع » بلفظها: كلّ سنة تسقط أوراق كثيرة على هذه الكلمة وحدها.
الخلاصة: تشابه مباشر كتابته ⁦z′ = a z + b⁩ يُقرأ في ثلاثة أعداد. طويلة a هي النسبة، و عمدة a هي الزاوية، و حلّ معادلة النقطة الصامدة هو المركز — و هذا الحلّ موجود و وحيد متى اختلف a عن 1، لا متى اختلفت النسبة عن 1. و متى عُرفت العناصر الثلاثة، صار التشابه تحاكيا و دورانا لهما المركز نفسه، بأيّ ترتيب: هذا هو التحليل القانوني، و تبادل الترتيب فيه ليس قاعدة عامّة بل نتيجة اشتراك المركز. أمّا إذا كان a يساوي 1، فلا مركز و لا تحليل: التحويل انسحاب، أو التطبيق المطابق إن كان الحدّ الثابت معدوما كذلك.

الصفحة 1/11

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net