الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
توظيف خواص التشابهات المباشرة لحل مسائل هندسية
الجواب في جملة واحدة: التشابه المباشر يحفظ كلّ ما هو شكل، و يضرب كلّ ما هو قياس. الاستقامية و التوازي و التعامد و الزوايا و المنتصفات و مراكز الثقل تبقى كما هي؛ أمّا الأطوال فتُضرب في النسبة، و المساحات و الجداء السلّمي في مربّع النسبة. و ما دام كذلك، فيكفي أن نعرف التشابه لنعرف الشكل الصورة كلّه، دون أن نعيد أيّ حساب على نقطه.
- تعيين التشابه المباشر الوحيد الذي يحوّل نقطتين معلومتين إلى نقطتين معلومتين
- استعمال المركز و النسبة و الزاوية في الشكل، لا في الحساب فقط
- معرفة ما يحفظه التشابه المباشر: الاستقامية و التوازي و التعامد و الزوايا و مركز الثقل
- معرفة ما يضربه: الأطوال في النسبة، و المساحات و الجداء السلّمي في مربّعها
- تعيين صورة مستقيم و صورة دائرة، و حساب مساحتيهما
- أنّ كلّ تشابه مباشر تُكتب صورته z′ = a z + b، و أنّ نسبته طويلة a و زاويته عمدته
- تعيين مركز تشابه مباشر بحلّ معادلة النقطة الصامدة
- الجداء السلّمي لشعاعين بالإحداثيات، و شرط استقامية ثلاث نقط
1. نقطتان و صورتاهما تعيّنان تشابها واحدا لا غير
قبل أن نستعمل التشابه، يجب أن نجده. و الخبر السارّ أنّ معطى قليلا يكفي: نقطتان مختلفتان و صورتاهما المختلفتان تعيّنان تشابها مباشرا واحدا، لا اثنين و لا صفرا. و السبب بسيط: الكتابة المركبة فيها مجهولان اثنان فقط، و كلّ نقطة و صورتها تعطي معادلة.
معادلتان بمجهولين مركبين. نطرحهما طرفا من طرف فيختفي b و يبقى a وحده.
القسمة ممكنة لأنّ النقطتين مختلفتان، فالمقام غير معدوم. و المعامل غير معدوم بدوره لأنّ الصورتين مختلفتان: الشرطان في نصّ المبرهنة هما بالضبط ما يجعل هذه الكسرة معرّفة و غير معدومة.
نرجع إلى المعادلة الأولى بعد أن صار a معلوما. المجهولان تعيّنا الواحد بعد الآخر، و بلا اختيار: هذا هو معنى الوحدانية.
و بمجرّد أن نحصل على a و b نقرأ الطبيعة. هنا تفترق حالتان، و العلامة بينهما هي المعامل:
- إذا كان الشعاع الذي طرفاه الصورتان يساوي الشعاع الذي طرفاه النقطتان، فالمعامل يساوي 1 و التحويل انسحاب شعاعه هو الشعاع الذي يذهب من النقطة الأولى إلى صورتها
- و في غير هذه الحالة، التحويل تشابه مباشر نسبته هي نسبة البعدين، و زاويته هي الزاوية الموجهة بين الشعاعين، و مركزه هو نقطته الصامدة
2. ما يفعله التشابه بنقطة: بعدان و زاوية
لنفترض الآن أنّ التشابه معلوم بعناصره: مركزه Ω و نسبته k و زاويته θ. ماذا يفعل بنقطة M تختلف عن المركز؟ شيئين لا ثالث لهما: يضرب بعدها عن المركز في النسبة، و يديرها حول المركز بالزاوية. و هذان الشرطان معا يعيّنان الصورة تماما، و هما ما نستعمله في الإنشاء.
زاوية موجهة بين الشعاع الذاهب من المركز إلى النقطة و الشعاع الذاهب من المركز إلى الصورة. إشارتها تقول في أيّ اتّجاه ندور، و بدونها يوجد جوابان.
3. ما يحفظه التشابه المباشر، و ما يضربه
هذه هي الجدول الذي يختصر كلّ مسألة هندسية في هذا الباب. اقرأه مرّة، ثمّ ارجع إليه في كلّ تمرين: كلّ سطر منه يوفّر عليك حسابا كاملا على الإحداثيات.
| الشيء الذي ننظر إليه | ما يصير إليه بالتشابه |
|---|---|
| الاستقامية | محفوظة |
| التوازي | محفوظ |
| التعامد | محفوظ |
| الزاوية غير الموجهة | محفوظة |
| منتصف قطعة و مركز ثقل مثلث | محفوظان |
| صورة قطعة مستقيمة | قطعة مستقيمة |
| صورة دائرة | دائرة |
| الطول | يُضرب في النسبة |
| نصف قطر الدائرة | يُضرب في النسبة |
| المساحة | تُضرب في مربّع النسبة |
| الجداء السلّمي | يُضرب في مربّع النسبة |
و لكلّ سطر من هذا الجدول سبب واحد، لا أسباب كثيرة: الكتابة المركبة تحويل تآلفي، أي أنّ الفرق بين لاحقتي نقطتين يُضرب في المعامل a وحده، و الحدّ الثابت يختفي. من هذه الجملة تخرج كلّ الخواصّ:
⭐ احفظ هذا السطر: هو الذي يعطي الأطوال (بأخذ الطويلة)، و الزوايا (بأخذ العمدة)، و الاستقامية و التوازي (لأنّ العلاقة بين شعاعين تبقى كما هي بعد الضرب في العدد نفسه).
إن كانت ثلاث نقط على استقامة واحدة فأحد الشعاعين مضاعف حقيقي للآخر. و بعد التشابه يُضرب الشعاعان في a نفسه، فالنسبة بينهما لا تتغيّر: النقط تبقى على استقامة واحدة.
المساحة جداء بعدين، و كلّ بعد يُضرب في النسبة: فالمساحة تُضرب في النسبة مرّتين. و الجداء السلّمي من الدرجة الثانية كذلك، فيتبع القاعدة نفسها.
أربع نقط معلومة اللواحق. التشابه المطلوب يحوّل الأولى إلى الثانية و الثالثة إلى الرابعة، و المبرهنة تضمن لنا أنّه موجود و وحيد.
🎯المطلوب: عيّن التشابه المباشر الذي يحوّل A إلى B و C إلى D، ثمّ عيّن عناصره المميّزة.
نكتب لواحق النقط الأربع كما أعطاها النصّ.
نضع الكتابة المركبة المجهولة: مجهولان مركبان لا غير.
الشرط الأوّل: صورة النقطة الأولى هي الثانية.
و الشرط الثاني: صورة الثالثة هي الرابعة.
نطرح المعادلتين طرفا من طرف فيختفي الحدّ الثابت.
نعزل المعامل.
نختزل بالعامل 5.
ثمّ نضرب البسط و المقام في مرافق المقام للتخلّص من العدد التخيلي في المقام.
ننشر البسط: جداء الوحدة التخيلية في نفسها يعطي واحدا سالبا.
نرجع إلى المعادلة الأولى لنستخرج الحدّ الثابت.
نعوّض المعامل الذي وجدناه.
نجمع الجزأين الحقيقيين معا و التخيليين معا.
صارت العناصر قابلة للقراءة: النسبة هي طويلة المعامل.
و الزاوية عمدته: الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي متساويان في القيمة و مختلفان في الإشارة.
و المركز من معادلة النقطة الصامدة.
نضرب الطرفين في 2 ثمّ نقسم على معامل المجهول.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام.
ننشر البسط.
و التحقّق في سطر واحد: نعوّض لاحقة النقطة الأولى فيجب أن نجد لاحقة الثانية.
ثلاث نقط معلومة اللواحق. هذه المرّة السؤال يعطي المركز بدل أن يعطي زوجا ثانيا من النقط: و المركز معطى مثل غيره، بشرط أن نعرف كيف نترجمه.
🎯المطلوب: عيّن التشابه المباشر الذي مركزه A و يحوّل C إلى B.
نكتب لواحق النقط الثلاث.
⭐ كون المركز معلوما يُترجم إلى معادلة: المركز صامد، أي صورته هو نفسه.
و الشرط الثاني هو المعطى الصريح: صورة الثالثة هي الثانية.
نطرح طرفا من طرف فيختفي الحدّ الثابت.
نعزل المعامل.
البسط و المقام متناسبان: الاختزال مباشر بلا حاجة إلى المرافق.
نرجع إلى المعادلة الأولى.
المعامل عدد حقيقي موجب: الزاوية معدومة.
و النسبة هي المعامل نفسه، لأنّه موجب.
زاوية معدومة و نسبة تختلف عن 1: التحويل تحاك. و نكتبه بصورته المركزية للتأكّد من مركزه.
و التحقّق: نعوّض لاحقة الثالثة فيجب أن نجد لاحقة الثانية.
تشابه مباشر معطى بكتابته المركبة، و ثلاث نقط معلومة اللواحق. هذا هو النمط الذي تفتتح به أغلب مسائل البكالوريا في هذا الباب.
🎯المطلوب: عيّن طبيعة التحويل و عناصره المميّزة، ثمّ أثبت أنّ النقط الثلاث على استقامية و تحقّق أنّ صورها كذلك.
نكتب المعطى.
النسبة هي طويلة المعامل.
و الزاوية عمدته: الجزء الحقيقي سالب و التخيلي موجب، فالنقطة في الربع الثاني.
ثمّ المركز، من معادلة النقطة الصامدة.
نعزل المجهول.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام؛ المقام يصير مجموع مربّعين.
ننشر البسط: الحدّان الحقيقيان يتلاشيان و يبقى الجزء التخيلي.
ننتقل إلى الاستقامية. نحسب الشعاعين بلاحقتيهما.
الأوّل ضعف الثاني، و المعامل عدد حقيقي: النقط الثلاث على استقامة واحدة.
نحسب الآن صور النقط. نبدأ بالأولى.
ننشر و نجمع.
ثمّ صورة الثانية.
ننشر الجداء ثمّ نجمع الحدّ الثابت.
و صورة الثالثة معروفة سلفا، لأنّها المركز.
و الآن نعيد على الصور ما فعلناه على النقط: نحسب الشعاعين.
النسبة بين الشعاعين لم تتغيّر: هي 2 كما كانت قبل التشابه.
نبقى مع التشابه نفسه، و ننظر هذه المرّة إلى دائرة مركزها النقطة الأولى و نصف قطرها معلوم. المطلوب صورتها، و مقارنة المساحتين.
🎯المطلوب: اكتب معادلة الدائرة، ثمّ عيّن طبيعة صورتها و معادلتها، و قارن المساحتين.
نكتب معطيات الدائرة.
نكتب معادلتها: مجموع مربّعي الفرقين يساوي مربّع نصف القطر.
صورة الدائرة دائرة، مركزها صورة المركز: و صورة المركز حسبناها من قبل.
و نصف قطرها هو نصف القطر مضروبا في النسبة.
نكتب معادلة الصورة: مربّع نصف قطرها هو 32.
نتحقّق الآن من نقطة: نحسب بعد النقطة الثانية عن مركز الدائرة.
البعد يساوي نصف القطر، فالنقطة على الدائرة. و نعيد الحساب على الصورتين.
ننتقل إلى المساحتين. مساحة قرص هي جداء العدد π في مربّع نصف القطر.
نقسم المساحتين.
و هذا العدد ليس عشوائيا: إنّه مربّع نسبة التشابه.
نبقى مع التشابه نفسه و مع النقط الأربع. المطلوب هذه المرّة مقارنة جداءين سلّميين، ثمّ مقارنة زاويتين.
🎯المطلوب: احسب الجداءين السلّميين ثمّ الأطوال، و استنتج علاقة الزاويتين.
نكتب لاحقة النقطة الرابعة.
نحسب صورتها بالتشابه.
ننشر الجداء ثمّ نضيف الحدّ الثابت.
ننتقل إلى الأشعّة. نكتب إحداثيّي الشعاع الأوّل.
ثمّ إحداثيّي الشعاع الثاني.
الجداء السلّمي هو جداء الفاصلتين مضافا إليه جداء الترتيبتين.
نعيد الحساب على الصور. الشعاع الأوّل بين الصورتين.
ثمّ الشعاع الثاني.
و نحسب جداءهما السلّمي: الجذور تتلاشى عند الجمع.
نقسم الجداءين.
ننتقل إلى الزاوية. نحسب الأطوال الأربعة أوّلا.
و الطولان بعد التشابه: كلّ منهما مضروب في النسبة.
جيب تمام الزاوية هو الجداء السلّمي مقسوما على جداء الطولين.
نحسب الكسرة نفسها للصور: البسط تضاعف أربع مرّات، و المقام أيضا.
جداء الجذرين هو جذر الجداء، و 2 في 17 يساوي 34، ثمّ نضرب البسط و المقام في جذر 34 لجعل المقام ناطقا.
الكسرتان متساويتان، و قيمتهما بعد جعل المقام ناطقا:
مثلث رؤوسه ثلاث من النقط السابقة. نحسب مركز ثقله، ثمّ نحسبه مرّة أخرى على المثلث الصورة، و نقارن.
🎯المطلوب: عيّن لاحقة مركز ثقل المثلث ثمّ لاحقة صورتها، و قارنها بمركز ثقل المثلث الصورة.
نكتب دستور لاحقة مركز الثقل: متوسّط لواحق الرؤوس الثلاثة.
نعوّض لواحق الرؤوس الثلاثة.
نجمع البسط.
نحسب صورته بالتشابه.
ننشر و نجمع.
و الآن الطريق الآخر: نحسب مركز ثقل المثلث الصورة، من لواحق الصور الثلاث.
نجمع الأجزاء الحقيقية: الجذور تتجمّع.
ثمّ الأجزاء التخيلية.
نقسم على 3.
العددان متساويان تماما: صورة مركز الثقل هي مركز ثقل الصور.
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net