مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الهندسة في الفضاء التمثيل الوسيطي لمستقيم و مستوى

المستقيمات و المستويات في الفضاء: التمثيلات الوسيطية

🔊 المعلّمة تقرأ لك
في المستوي يكفي أن تعرف نقطة و ميلا لتكتب معادلة واحدة تصف مستقيما. أمّا في الفضاء فمعادلة واحدة بثلاثة مجاهيل لا تصف مستقيما بل مستويا، و مع ذلك يُطلب منك في الامتحان أن تحسب نقطا من مستقيم، و أن تقرّر إن كانت نقطة معطاة عليه أم لا. فبأيّ كتابة نصف مستقيما من الفضاء وصفا يسمح بحساب نقطه واحدة واحدة؟

الجواب في فكرة واحدة: نصف المستقيم بحركة، لا بمعادلة. ننطلق من نقطة معلومة عليه، ثمّ نتقدّم في اتجاه ثابت. المسافة التي نتقدّمها عدد حقيقي حرّ نسمّيه الوسيط، و لكلّ قيمة من قيمه نقطة واحدة من المستقيم. هذه هي فكرة التمثيل الوسيطي، و منها يخرج كلّ شيء في هذا الدرس.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • كتابة تمثيل وسيطي لمستقيم يشمل نقطة معلومة و يوجّهه شعاع معلوم
  • قراءة نقطة من المستقيم و شعاع توجيه له انطلاقا من تمثيل وسيطي معطى
  • حساب إحداثيات النقطة الموافقة لقيمة معطاة للوسيط
  • اختبار انتماء نقطة إلى مستقيم بحلّ ثلاث معادلات في مجهول واحد
  • البرهان على أنّ ثلاث نقط من الفضاء ليست على استقامة واحدة
  • التعرّف على تمثيلين وسيطيين مختلفين لمستقيم واحد
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • حساب إحداثيات شعاع في الفضاء انطلاقا من إحداثيات طرفيه
  • ترابط شعاعين خطيا و معنى «شعاع يوجّه مستقيما»
  • حلّ معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

1. شعاع التوجيه

ليكن ⁦(D)⁩ مستقيما من الفضاء. نقول إنّ الشعاع u يوجّه المستقيم ⁦(D)⁩، أو إنّه شعاع توجيه له، إذا كان غير معدوم و كان يحمل اتجاه المستقيم نفسه. و عمليّا: إذا كانت A و B نقطتين متمايزتين من ⁦(D)⁩، فإنّ الشعاع AB شعاع توجيه له.

⛔ لا تخلط بين شعاع التوجيه و الشعاع الناظمي. شعاع التوجيه يوازي المستقيم و يحمل اتجاهه، أمّا الشعاع الناظمي فهو عمودي على ما يوصف به. و في هذا الباب توزيع الأدوار ثابت لا يتغيّر: المستقيم يُعطى بشعاع توجيه، و المستوي يُعطى بشعاع ناظمي. تذكّر السبب: لو كان u عموديا على المستقيم لما استطاع أن يحمل نقطه، و هو ما تفعله المساواة المقبلة بالضبط.

و هذه المساواة هي كلّ الدرس. النقطة M تنتمي إلى ⁦(D)⁩ إذا و فقط إذا كان الشعاع AM يوازي شعاع التوجيه، أي إذا وُجد عدد حقيقي t يحقّق:

الشرط المتّجهي لانتماء نقطة إلى مستقيم

⭐ اقرأ المساواة من اليمين إلى اليسار: كلّ t يصنع نقطة، و كلّ نقطة تأتي من t واحد. هذا التقابل بين الأعداد الحقيقية و نقط المستقيم هو ما نستثمره في كلّ تمرين من هذا الباب.

M ∈ (D) ⟺ (∃ t ∈ ℝ) AM = t u
Aنقطة معلومة من المستقيمuشعاع توجيه للمستقيم، غير معدومtالوسيط: عدد حقيقي حرّ

2. من الشرط المتّجهي إلى التمثيل الوسيطي

ننسب الفضاء إلى معلم متعامد و متجانس، و نضع إحداثيات النقطة A و إحداثيات شعاع التوجيه u و إحداثيات النقطة المتغيّرة M. ثمّ نكتب المساواة السابقة بالإحداثيات، مركّبة مركّبة.

إحداثيات الشعاع AM
AM = (x − xA ; y − yA ; z − zA)
إحداثيات الشعاع t u
t u = (a × t ; b × t ; c × t)
aالمركّبة الأولى لشعاع التوجيهbالمركّبة الثانية لشعاع التوجيهcالمركّبة الثالثة لشعاع التوجيه

و تساوي شعاعين في الفضاء يعني تساوي مركّباتهما الثلاث، الواحدة بالأخرى. فنحصل على ثلاث معادلات في مجهول واحد هو الوسيط t:

الشرط بالإحداثيات
x − xA = a × t ; y − yA = b × t ; z − zA = c × t

و يكفي أن ننقل إحداثيات A إلى الطرف الآخر لنحصل على الشكل الذي يُكتب به الجواب دائما. هذه الجملة تسمّى تمثيلا وسيطيا للمستقيم ⁦(D)⁩:

تمثيل وسيطي لمستقيم من الفضاء
x = xA + a × t ; y = yA + b × t ; z = zA + c × t ; t ∈ ℝ
⭐ مستقيم من الفضاء يُعطى بنقطة و شعاع توجيه. و التمثيل الوسيطي هو ترجمة هذين المعطيين إلى ثلاثة أسطر: الحدود الثابتة هي إحداثيات النقطة، و معاملات الوسيط هي مركّبات شعاع التوجيه. من حفظ هذا القراءة المزدوجة كتب الجملة و قرأها في اتجاهين.
الوسيط يقيس التقدّم انطلاقا من النقطة الثابتة: قيمة موجبة تقدّم في جهة الشعاع، و قيمة سالبة تقدّم في الجهة المعاكسة.
✅النّتيجة: قراءة تمثيل وسيطي في الاتجاهين
ما تبحث عنهأين تقرؤه في الجملة
نقطة من المستقيمالحدود الثابتة في الأسطر الثلاثة
شعاع توجيه للمستقيممعاملات الوسيط في الأسطر الثلاثة
نقطة ذات وسيط معلومنعوّض قيمة الوسيط في الأسطر الثلاثة
مثال 1: تمثيل وسيطي لمستقيم معرّف بنقطتين

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس.

🎯المطلوب: اكتب تمثيلا وسيطيا للمستقيم ⁦(AB)⁩ حيث ⁦A(2 ; 2 ; −3)⁩ و ⁦B(1 ; −1 ; 0)⁩

📌المعطى
A(2 ; 2 ; −3)
📌المعطى
B(1 ; −1 ; 0)
🔹الخطوة 1: شعاع توجيه

المستقيم معرّف بنقطتين، فالشعاع الواصل بينهما يحمله: نأخذه شعاع توجيه.

AB = (1 − 2 ; −1 − 2 ; 0 − (−3)) = (−1 ; −3 ; 3)
🔹الخطوة 2: كتابة الجملة

نأخذ A نقطة انطلاق و AB شعاع توجيه، ثمّ نكتب كلّ إحداثية بدلالة الوسيط.

x = 2 − t ; y = 2 − 3t ; z = −3 + 3t ; t ∈ ℝ
🔹الخطوة 3: المراقبة عند الوسيط المعدوم

المراقبة الأولى: الوسيط المعدوم يجب أن يعيد نقطة الانطلاق A.

t = 0 ⟹ (2 ; 2 ; −3)
🔹الخطوة 4: المراقبة عند الوسيط 1

المراقبة الثانية: الوسيط 1 يجب أن يعطي B، لأنّ شعاع التوجيه هو AB نفسه.

t = 1 ⟹ (2 − 1 ; 2 − 3 ; −3 + 3) = (1 ; −1 ; 0)
✅النّتيجة
x = 2 − t ; y = 2 − 3t ; z = −3 + 3t ; t ∈ ℝ
⭐ لا تسلّم جوابا دون المراقبتين: الوسيط المعدوم يعيد النقطة الأولى، و الوسيط 1 يعيد الثانية. مراقبتان في سطرين تكشفان كلّ خطأ في الطرح.
مثال 2: هل تنتمي نقطة إلى مستقيم؟

نواصل مع المستقيم ⁦(AB)⁩ و تمثيله الوسيطي المحصل عليه في المثال السابق.

🎯المطلوب: تحقّق ممّا إذا كانت النقطة ⁦C(1 ; 3 ; 2)⁩ تنتمي إلى المستقيم ⁦(AB)⁩

📌المعطى
C(1 ; 3 ; 2)
🔹الخطوة 1: كتابة الشرط

الانتماء يعني وجود وسيط واحد يحقّق الأسطر الثلاثة في آن واحد.

2 − t = 1 ; 2 − 3t = 3 ; −3 + 3t = 2
🔹الخطوة 2: الوسيط الآتي من السطر الأوّل

نحلّ كلّ معادلة على حدة، فتعطي كلّ واحدة قيمة للوسيط.

2 − t = 1 ⟹ t = 1
🔹الخطوة 3: الوسيط الآتي من السطر الثاني
2 − 3t = 3 ⟹ −3t = 1 ⟹ t = −13
🔹الخطوة 4: الوسيط الآتي من السطر الثالث
−3 + 3t = 2 ⟹ 3t = 5 ⟹ t = 53
✅النّتيجة

القيم الثلاث مختلفة مثنى مثنى، فلا يوجد وسيط واحد يصلح للأسطر الثلاثة معا.

1 ≠ −13 ≠ 53 ⟹ C ∉ (AB)
⭐ هذا المثال هو أيضا اختبار الاستقامية: بما أنّ C ليست على المستقيم ⁦(AB)⁩، فإنّ النقط A و B و C ليست على استقامة واحدة. أيّ سؤال عن استقامية ثلاث نقط يُردّ إلى انتماء الثالثة إلى مستقيم الأوّليين.
⛔ خطأ يتكرّر كلّ سنة: التلميذ يحلّ السطر الأوّل، يجد قيمة للوسيط، ثمّ يعلن الانتماء دون اختبار السطرين الباقيين. سطر واحد لا يكفي أبدا: الانتماء يقتضي وسيطا واحدا يحقّق الأسطر الثلاثة. و بالمقابل، يكفي سطر واحد مخالف لنفي الانتماء.

3. قراءة تمثيل وسيطي معطى

التمرين يأتي كثيرا في الاتجاه المعاكس: تُعطى لك الجملة و يُطلب منك النقطة و الشعاع. و القراءة مباشرة: الحدود الثابتة تعطي نقطة (هي نقطة الوسيط المعدوم)، و معاملات الوسيط تعطي شعاع توجيه.

مثال 3: قراءة نقطة و شعاع توجيه ثمّ حساب نقطة

نعتبر المستقيم d₁ الممثّل وسيطيا بالجملة التالية.

🎯المطلوب: عيّن نقطة من d₁ و شعاعا يوجّهه، ثمّ احسب إحداثيات نقطته ذات الوسيط 2

📌المعطى
x = −2 + 5t ; y = −1 − t ; z = 3 + 4t ; t ∈ ℝ
🔹الخطوة 1: نقطة من المستقيم

الحدود الثابتة هي قيم الإحداثيات عند الوسيط المعدوم: فهي إحداثيات نقطة.

t = 0 ⟹ A₁(−2 ; −1 ; 3)
🔹الخطوة 2: شعاع توجيه

معاملات الوسيط في الأسطر الثلاثة هي مركّبات شعاع التوجيه.

u₁ = (5 ; −1 ; 4)
🔹الخطوة 3: الفاصلة

نعوّض الآن الوسيط بالقيمة 2، سطرا سطرا، دون قفز.

t = 2 ⟹ x = −2 + 5 × 2 = 8
🔹الخطوة 4: الترتيبة
t = 2 ⟹ y = −1 − 2 = −3
🔹الخطوة 5: الراقم
t = 2 ⟹ z = 3 + 4 × 2 = 11
✅النّتيجة
M(8 ; −3 ; 11) ∈ d₁
⭐ انتبه إلى الإشارات عند القراءة: في السطر ⁦y = −1 − t⁩ معامل الوسيط هو ⁦−1⁩ و ليس 1. أكثر الأخطاء في هذا النوع من الأسئلة إشارات، لا حسابات.

4. تمثيل وسيطي ليس وحيدا

لمستقيم واحد عدد لا نهائي من التمثيلات الوسيطية. و السبب واضح من التعريف: يمكن أن ننطلق من أيّ نقطة من المستقيم، و أن نأخذ أيّ شعاع توجيه، أي أيّ مضاعف غير معدوم للشعاع الأوّل. فإذا اختلف جوابك عن جواب زميلك فليس أحدكما مخطئا بالضرورة: عليكما أن تتحقّقا.

  1. نقطة مشتركة: نبيّن أنّ نقطة من إحدى الجملتين تحقّق الجملة الأخرى.
  2. اتجاه مشترك: نبيّن أنّ شعاعي التوجيه مترابطان خطيا، أي أنّ أحدهما مضاعف للآخر.
  3. و إذا تحقّق الشرطان معا فالمستقيمان منطبقان، أي إنّهما مستقيم واحد.
مثال 4: تمثيلان وسيطيان لمستقيم واحد

نعود إلى المستقيم ⁦(AB)⁩ حيث ⁦A(2 ; 2 ; −3)⁩ و ⁦B(1 ; −1 ; 0)⁩، و نعتبر الجملة التالية ذات الوسيط s.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الجملة ⁦x = 1 + s ; y = −1 + 3s ; z = −3s⁩ هي أيضا تمثيل وسيطي للمستقيم ⁦(AB)⁩

📌المعطى
x = 1 + s ; y = −1 + 3s ; z = −3s ; s ∈ ℝ
🔹الخطوة 1: نقطة الجملة الجديدة

نقرأ أوّلا النقطة و الشعاع من الجملة الجديدة، كما في المثال السابق.

s = 0 ⟹ (1 ; −1 ; 0)
🔹الخطوة 2: النقطة تنتمي إلى المستقيم

و هذه النقطة هي B نفسها، و B تنتمي إلى ⁦(AB)⁩ بالتعريف.

(1 ; −1 ; 0) = B ∈ (AB)
🔹الخطوة 3: شعاع توجيه الجملة الجديدة
u' = (1 ; 3 ; −3)
🔹الخطوة 4: ترابط الشعاعين خطيا

نقارنه بالشعاع ⁦AB = (−1 ; −3 ; 3)⁩: كلّ مركّبة هي مقابل نظيرتها.

u' = (−1) × AB
✅النّتيجة

نقطة مشتركة و اتجاه مشترك: المستقيمان منطبقان.

s = 1 ⟹ (2 ; 2 ; −3) = A
⭐ الشعاعان u' و AB متعاكسان، و مع ذلك يوجّهان المستقيم نفسه: شعاع التوجيه يحدّد الاتجاه، لا الجهة. الوسيط وحده هو الذي يسير في الجهتين.
مثال 5: تمثيل وسيطي انطلاقا من نقطة و شعاع، ثمّ اختبار انتماء

نعتبر المستقيم ⁦(D)⁩ الذي يشمل النقطة ⁦A(1 ; −2 ; 0)⁩ و يوجّهه الشعاع ⁦u(−2 ; 2 ; 1)⁩.

🎯المطلوب: اكتب تمثيلا وسيطيا للمستقيم ⁦(D)⁩، ثمّ تحقّق من انتماء النقطة ⁦E(−1 ; 0 ; 1)⁩ إليه

📌المعطى
A(1 ; −2 ; 0)
📌المعطى
u(−2 ; 2 ; 1)
🔹الخطوة 1: كتابة الجملة

نطبّق القاعدة: الحدّ الثابت هو إحداثية A، و معامل الوسيط هو مركّبة u.

x = 1 − 2t ; y = −2 + 2t ; z = t ; t ∈ ℝ
🔹الخطوة 2: الوسيط الآتي من السطر الثالث

نبدأ الاختبار بالسطر الذي يظهر فيه الوسيط وحيدا: هو الأسرع و الأقلّ خطأ.

z = 1 ⟹ t = 1
🔹الخطوة 3: مراقبة الفاصلة

نعوّض هذه القيمة في السطرين الباقيين لنرى إن كانا يتحقّقان.

t = 1 ⟹ x = 1 − 2 × 1 = −1
🔹الخطوة 4: مراقبة الترتيبة
t = 1 ⟹ y = −2 + 2 × 1 = 0
✅النّتيجة

الأسطر الثلاثة تحقّقت بالوسيط 1 نفسه.

E(−1 ; 0 ; 1) ∈ (D)
⭐ ابدأ دائما بالسطر الذي يكون فيه معامل الوسيط 1 أو ⁦−1⁩: تستخرج الوسيط دون قسمة، ثمّ تكتفي بتعويضين للمراقبة.
في البكالوريا، التمثيل الوسيطي نادرا ما يُطلب لذاته: يُطلب لأنّه أداة السؤال الموالي — تقاطع مع مستو، تقاطع مع مستقيم آخر، أو حساب بعد. لهذا اكتب الجملة كاملة و صرّح دائما بأنّ الوسيط عدد حقيقي: نقطة كاملة تضيع كلّ سنة على هذا التصريح وحده. و احتفظ بحرف مختلف لكلّ مستقيم في التمرين الواحد، لأنّ الخلط بين وسيطين هو الخطأ الذي يُفقد السؤال كلّه.
الخلاصة. مستقيم من الفضاء يُعرَّف بنقطة A و شعاع توجيه u، و يُكتب بجملة من ثلاثة أسطر: كلّ إحداثية تساوي حدّا ثابتا مأخوذا من A مضافا إليه مركّبة من u مضروبة في الوسيط. الحدود الثابتة تُقرأ نقطة، و معاملات الوسيط تُقرأ شعاعا. انتماء نقطة يعني وجود وسيط واحد يحقّق الأسطر الثلاثة، و ثلاث نقط تكون على استقامة واحدة إذا انتمت الثالثة إلى مستقيم الأوّليين. و للمستقيم الواحد تمثيلات وسيطية لا نهائية، يُتحقّق من تطابقها بنقطة مشتركة و اتجاه مشترك.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net