مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الهندسة في الفضاء التمثيل الوسيطي لمستقيم و مستوى

الانتقال بين جملة معادلتين ديكارتيتين و تمثيل وسيطي

🔊 المعلّمة تقرأ لك
المستقيم في الفضاء لا يأتيك دائما بنقطة و شعاع. كثيرا ما يأتيك على صورة أخرى تماما: جملة من معادلتين، أي مستويان يتقاطعان. و السؤال الموالي في الامتحان يطلب منك حسابا لا يمكن إنجازه إلّا على الصورة الأولى، أو العكس. فكيف ننتقل من إحدى الكتابتين إلى الأخرى دون أن نغيّر المستقيم؟

الجواب في ملاحظة بسيطة: معادلة واحدة بثلاثة مجاهيل تصف مستويا، لا مستقيما. فإذا كتبنا معادلتين معا فقد طلبنا من النقطة أن تكون في المستويين في آن واحد، أي على تقاطعهما. و متى كان المستويان متقاطعين فإنّ هذا التقاطع مستقيم. الانتقال بين الكتابتين ليس إذن حيلة حسابية: إنّه انتقال بين وصفين لنفس المجموعة من النقط.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • التعرّف على المستقيم المعرّف بجملة معادلتين ديكارتيتين لمستويين متقاطعين
  • التحقّق من أنّ مستويين يتقاطعان قبل الشروع في أيّ حساب
  • استخراج تمثيل وسيطي من جملة معادلتين باختيار مجهول وسيطا
  • اختيار المجهول الوسيط اختيارا يبقي الحسابات بأعداد صحيحة
  • استخراج جملة معادلتين ديكارتيتين انطلاقا من تمثيل وسيطي بحذف الوسيط
  • مراقبة كلّ انتقال بتعويض نقطة معلومة في الكتابة الجديدة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • المعادلة الديكارتية لمستو و شعاعه الناظمي
  • التمثيل الوسيطي لمستقيم و قراءته في الاتجاهين
  • حلّ جملة معادلتين خطيتين بمجهولين

1. مستقيم معرّف بجملة معادلتين

⭐ الخاصية التي يقوم عليها الدرس كلّه: مستقيم في الفضاء معرّف بجملة معادلتين ديكارتيتين لمستويين متقاطعين. أي أنّ كتابة معادلتين معا هي كتابة ثالثة للمستقيم، إلى جانب «نقطة و شعاع توجيه» و «تمثيل وسيطي».
جملة معادلتين ديكارتيتين لمستقيم
a x + b y + c z + d = 0 ; a' x + b' y + c' z + d' = 0

و لا تصف هذه الجملة مستقيما إلّا بشرط واحد: أن يكون المستويان متقاطعين، أي أن يكون شعاعاهما الناظميان غير مترابطين خطيا. و هذا الشرط يُختبر قبل أيّ حساب.

الشعاع الناظمي للمستوي الأوّل

نقرأ الشعاع الناظمي مباشرة من معاملات المجاهيل الثلاثة في المعادلة، دون أيّ حساب.

n = (a ; b ; c)
nشعاع ناظمي للمستوي الأوّل
الشعاع الناظمي للمستوي الثاني

ثمّ نختبر ترابط الشعاعين خطيا: إن كانا غير مترابطين فالمستويان متقاطعان و الجملة تصف مستقيما.

n' = (a' ; b' ; c')
n'شعاع ناظمي للمستوي الثاني
⛔ جملة معادلتين لا تعني مستقيما دائما. إذا كان الشعاعان الناظميان مترابطين خطيا فالمستويان متوازيان: إمّا منطبقان و التقاطع مستو كامل، و إمّا التقاطع خال. اختبار ترابط الشعاعين هو إذن الخطوة الأولى، لا خطوة شكلية.
المعادلتان معا تفرضان على النقطة أن تكون في المستويين في آن واحد: هذا هو المستقيم المشترك.

2. من الجملة إلى التمثيل الوسيطي

الفكرة الحسابية واحدة في كلّ التمارين: في الجملة ثلاثة مجاهيل و معادلتان فقط، أي أنّ درجة حرّية واحدة تبقى. نختار مجهولا من الثلاثة و نسمّيه الوسيط، ثمّ نعبّر عن المجهولين الباقيين بدلالته بحلّ جملة معادلتين بمجهولين.

  1. نقرأ الشعاعين الناظميين و نتأكّد أنّهما غير مترابطين خطيا.
  2. نختار مجهولا نجعله الوسيط، و ننقله إلى الطرف الأيمن في المعادلتين.
  3. نحلّ الجملة الناتجة بالمجهولين الباقيين، بالتعويض أو بالجمع.
  4. نكتب الأسطر الثلاثة، و لا ننسى التصريح بأنّ الوسيط عدد حقيقي.
  5. نراقب الجواب بتعويض الأسطر الثلاثة في المعادلتين الأصليتين.
مثال 1: تمثيل وسيطي لمستقيم تقاطع مستويين

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ مستويان معادلتاهما الديكارتيتان معطاتان.

🎯المطلوب: بيّن أنّ ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ يتقاطعان، ثمّ أعط تمثيلا وسيطيا لمستقيم تقاطعهما ⁦(D)⁩

📌المعطى
2x − y − 2z − 1 = 0 ; −x + 4y + z − 3 = 0
🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل

نقرأ الشعاع الناظمي لكلّ مستو من معاملات مجاهيله الثلاثة.

n₁ = (2 ; −1 ; −2)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثاني
n₂ = (−1 ; 4 ; 1)
🔹الخطوة 3: الشعاعان غير مترابطين خطيا

لاختبار الترابط الخطي يكفي محدّد جزئي غير معدوم: نأخذ المركّبتين الأوّليين.

2 × 4 − (−1) × (−1)=8 − 1=7 ≠ 0
🔹الخطوة 4: اختيار الوسيط

المستويان متقاطعان إذن، و تقاطعهما مستقيم. نختار z وسيطا و ننقله يمينا.

2x − y = 1 + 2t ; −x + 4y = 3 − t
🔹الخطوة 5: توحيد معامل الترتيبة

نضرب المعادلة الأولى في 4 لنجعل معامل y مقابلا لمعامله في الثانية.

8x − 4y = 4 + 8t
🔹الخطوة 6: الجمع طرفا لطرف

نجمع المعادلتين طرفا لطرف، فتُحذف y.

8x − 4y − x + 4y=4 + 8t + 3 − t
🔹الخطوة 7: استخراج الفاصلة
7x = 7 + 7t ⟹ x = 1 + t
🔹الخطوة 8: استخراج الترتيبة

نعوّض الفاصلة في المعادلة الأولى لنستخرج الترتيبة.

y=2x − 1 − 2t=2(1 + t) − 1 − 2t=1
✅النّتيجة
x = t + 1 ; y = 1 ; z = t ; t ∈ ℝ
⭐ راقب دائما: عوّض الأسطر الثلاثة في المعادلة الأولى فتجد ⁦2(t + 1) − 1 − 2t − 1 = 0⁩، و في الثانية ⁦−(t + 1) + 4 + t − 3 = 0⁩. مراقبة في سطرين تحسم صحّة الجملة كلّها.

3. اختيار الوسيط ليس عشوائيا

كلّ مجهول من الثلاثة يصلح وسيطا من حيث المبدأ، و الجمل الناتجة تصف المستقيم نفسه. لكنّ الاختيار الحسن يوفّر عليك الكسور و الأخطاء. القاعدة العملية: اختر المجهول الذي يجعل الجملة الباقية أسهل حلّا، و انظر خاصّة إلى المجهول الذي يغيب من إحدى المعادلتين.

مثال 2: اختيار وسيط يبقي الحسابات بأعداد صحيحة

نعتبر المستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ بالمعادلتين الديكارتيتين التاليتين. لاحظ أنّ المجهول z لا يظهر في المعادلة الثانية.

🎯المطلوب: عيّن تمثيلا وسيطيا للمستقيم ⁦(D)⁩ تقاطع المستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩

📌المعطى
4x + y + z + 10 = 0 ; 2x + y + 3 = 0
🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل
n₁ = (4 ; 1 ; 1)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثاني
n₂ = (2 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 3: الشعاعان غير مترابطين خطيا

المركّبة الثالثة معدومة في الثاني و غير معدومة في الأوّل: الشعاعان غير مترابطين خطيا و المستويان متقاطعان.

4 × 1 − 1 × 2=4 − 2=2 ≠ 0
🔹الخطوة 4: اختيار الوسيط

المعادلة الثانية تربط x و y وحدهما: إذا جعلنا x وسيطا خرجت y منها مباشرة.

x = t
🔹الخطوة 5: استخراج الترتيبة من المعادلة الثانية
2t + y + 3 = 0 ⟹ y = −3 − 2t
🔹الخطوة 6: التعويض في المعادلة الأولى

نعوّض الآن x و y في المعادلة الأولى لنستخرج z.

4t + (−3 − 2t) + z + 10=0
🔹الخطوة 7: تبسيط
2t + 7 + z = 0
🔹الخطوة 8: استخراج الراقم
z = −7 − 2t
✅النّتيجة
x = t ; y = −3 − 2t ; z = −7 − 2t ; t ∈ ℝ
⭐ اقرأ على الجملة نقطتها و شعاعها فورا: الحدود الثابتة تعطي ⁦A(0 ; −3 ; −7)⁩، و معاملات الوسيط تعطي ⁦u(1 ; −2 ; −2)⁩. هذان المعطيان هما ما سيستعمله السؤال الموالي، لا الجملة في حدّ ذاتها.
⭐ جرّب الاختيار الآخر لتقتنع: لو وضعنا في المثال السابق ⁦z = t⁩ لوجدنا ⁦x = (−7 − t)/2⁩ و ⁦y = 4 + t⁩. الجملة صحيحة تماما و تصف المستقيم نفسه، لكنّها بكسور. الوسيطان مرتبطان بالعلاقة: قيمة z تساوي ⁦−7⁩ ناقص ضعف قيمة x. الاختيار لا يغيّر المستقيم، يغيّر عدد أخطائك.
مثال 3: مستويان يتقاطعان و استخراج نقطة و شعاع من الجملة

نعتبر المستويين ⁦(P)⁩ و ⁦(R)⁩ المعرّفين بالمعادلتين الديكارتيتين التاليتين.

🎯المطلوب: تحقّق من أنّ المستويين يتقاطعان وفق مستقيم ⁦(D)⁩، ثمّ أعط له تمثيلا وسيطيا

📌المعطى
x + y + 1 = 0 ; 2x + y + 2z = 0
🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي للمستوي الأوّل
n = (1 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي للمستوي الثاني
n' = (2 ; 1 ; 2)
🔹الخطوة 3: الشعاعان غير مترابطين خطيا

المركّبة الثالثة معدومة في الأوّل دون الثاني: لا ترابط خطي، فالمستويان متقاطعان.

1 × 1 − 1 × 2=1 − 2=−1 ≠ 0
🔹الخطوة 4: اختيار الوسيط

المجهول z لا يظهر في المعادلة الأولى: نجعله الوسيط.

z = t
🔹الخطوة 5: الجملة بمجهولين
x + y = −1 ; 2x + y = −2t
🔹الخطوة 6: الطرح طرفا لطرف

نطرح الأولى من الثانية طرفا لطرف فتُحذف y.

2x + y − x − y=−2t + 1
🔹الخطوة 7: استخراج الفاصلة
x = 1 − 2t
🔹الخطوة 8: استخراج الترتيبة
y=−1 − x=−1 − (1 − 2t)=−2 + 2t
✅النّتيجة
x = 1 − 2t ; y = −2 + 2t ; z = t ; t ∈ ℝ
⭐ الجملة المحصل عليها تعطي عند الوسيط المعدوم النقطة ⁦A(1 ; −2 ; 0)⁩، و معاملات الوسيط تعطي ⁦u(−2 ; 2 ; 1)⁩: هما بالضبط المعطيان اللذان انطلقنا منهما في درس التمثيلات الوسيطية. الكتابتان وصفان لمستقيم واحد.

4. الاتجاه المعاكس: من التمثيل الوسيطي إلى جملة معادلتين

الانتقال المعاكس يقوم على فكرة واحدة أيضا: الوسيط ليس إحداثية، فيجب أن يختفي. نستخرج الوسيط من أبسط سطر، ثمّ نعوّض عبارته في السطرين الباقيين. فيبقى سطران في x و y و z وحدها، و هما معادلتان ديكارتيتان لمستويين تقاطعهما هو المستقيم.

  1. نختار السطر الذي يكون فيه معامل الوسيط 1 أو ⁦−1⁩، فنستخرج الوسيط دون قسمة.
  2. نعوّض عبارة الوسيط في السطرين الباقيين.
  3. نرتّب كلّ سطر على الصورة: مجموع الحدود يساوي صفرا.
  4. نتأكّد أنّ الشعاعين الناظميين المحصل عليهما غير مترابطين خطيا.
  5. نراقب بتعويض نقطة معلومة من المستقيم في المعادلتين.
مثال 4: حذف الوسيط عندما يظهر وحيدا في سطر

نعود إلى المستقيم ⁦(D)⁩ المحصل عليه في المثال الأوّل، و ننسى أنّنا نعرف معادلتيه: لا نملك إلّا جملته الوسيطية.

🎯المطلوب: اكتب جملة معادلتين ديكارتيتين للمستقيم ⁦(D)⁩ الممثّل وسيطيا بالجملة المعطاة

📌المعطى
x = t + 1 ; y = 1 ; z = t ; t ∈ ℝ
🔹الخطوة 1: استخراج الوسيط

السطر الثالث يعطي الوسيط مباشرة: معامله 1 و لا حدّ ثابت معه.

z = t ⟹ t = z
🔹الخطوة 2: التعويض في السطر الأوّل

نعوّض عبارة الوسيط في السطر الأوّل.

x = z + 1
🔹الخطوة 3: ترتيب المعادلة الأولى
x − z − 1 = 0
🔹الخطوة 4: المعادلة الثانية

السطر الثاني لا يحتوي الوسيط أصلا: فهو معادلة جاهزة.

y − 1 = 0
🔹الخطوة 5: الشعاع الناظمي الأوّل

نتأكّد أنّ المستويين متقاطعان فعلا، و إلّا لما وصفت الجملة مستقيما.

n = (1 ; 0 ; −1)
🔹الخطوة 6: الشعاع الناظمي الثاني
n' = (0 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 7: الشعاعان غير مترابطين خطيا
1 × 1 − 0 × 0=1 ≠ 0
✅النّتيجة
x − z − 1 = 0 ; y − 1 = 0
⭐ السطر الذي لا يحتوي الوسيط، مثل ⁦y = 1⁩، هو معادلة ديكارتية جاهزة: لا تعوّض فيه شيئا، انقله كما هو بعد ترتيبه.
مثال 5: حذف الوسيط عندما لا يظهر وحيدا في أيّ سطر

نعتبر المستقيم d₁ الممثّل وسيطيا كما يلي؛ لاحظ أنّ معامل الوسيط في السطر الثاني هو ⁦−1⁩.

🎯المطلوب: عيّن جملة معادلتين ديكارتيتين للمستقيم d₁

📌المعطى
x = −2 + 5t ; y = −1 − t ; z = 3 + 4t ; t ∈ ℝ
🔹الخطوة 1: استخراج الوسيط

نختار السطر الذي معامل الوسيط فيه ⁦−1⁩: يعطي الوسيط دون قسمة.

y = −1 − t ⟹ t = −1 − y
🔹الخطوة 2: التعويض في السطر الأوّل

نعوّض في السطر الأوّل.

x=−2 + 5(−1 − y)=−2 − 5 − 5y
🔹الخطوة 3: ترتيب المعادلة الأولى
x = −7 − 5y ⟹ x + 5y + 7 = 0
🔹الخطوة 4: التعويض في السطر الثالث

نعوّض في السطر الثالث.

z=3 + 4(−1 − y)=3 − 4 − 4y
🔹الخطوة 5: ترتيب المعادلة الثانية
z = −1 − 4y ⟹ 4y + z + 1 = 0
🔹الخطوة 6: المراقبة في المعادلة الأولى

نراقب على نقطة معلومة: الوسيط 1 يعطي النقطة ⁦(3 ; −2 ; 7)⁩.

3 + 5 × (−2) + 7=3 − 10 + 7=0
🔹الخطوة 7: المراقبة في المعادلة الثانية
4 × (−2) + 7 + 1=−8 + 8=0
✅النّتيجة
x + 5y + 7 = 0 ; 4y + z + 1 = 0
⭐ الجواب ليس وحيدا هنا أيضا: أيّ مستويين متقاطعين يمرّان بالمستقيم يصلحان. لهذا لا تقارن جوابك بجواب زميلك مباشرة، بل راقب كلاكما على نقطتين من المستقيم.
✅النّتيجة: الانتقال في الاتجاهين
الانتقال المطلوبالخطوة الحاسمة
من جملة معادلتين إلى تمثيل وسيطينتأكّد من تقاطع المستويين، ثمّ نختار مجهولا وسيطا و نعبّر عن الباقيين بدلالته
من تمثيل وسيطي إلى جملة معادلتيننستخرج الوسيط من أبسط سطر ثمّ نعوّضه في السطرين الباقيين حتّى يختفي
⛔ خطأ شائع في الاتجاه المعاكس: التلميذ يستخرج الوسيط من سطر ثمّ يعوّضه في سطر واحد فقط، فيسلّم معادلة واحدة. معادلة واحدة تصف مستويا يحوي المستقيم، لا المستقيم نفسه. لا بدّ من معادلتين، و لا بدّ أن يكون شعاعاهما الناظميان غير مترابطين خطيا.
الانتقال بين الكتابتين هو السؤال الوسيط في أغلب مواضيع الهندسة الفضائية: يُطلب منك أوّلا، ثمّ يُبنى عليه سؤال التقاطع أو البعد. اكتب دائما الشعاعين الناظميين قبل أيّ حساب، فهما يُنقّطان وحدهما و يجنّبانك حلّ جملة لا حلّ لها. و إذا اخترت وسيطا أدّى بك إلى كسور، لا تعد من البداية: أكمل، فالجملة صحيحة.
الخلاصة. المستقيم في الفضاء يُكتب بثلاث صور متكافئة: نقطة و شعاع توجيه، تمثيل وسيطي، أو جملة معادلتين ديكارتيتين لمستويين متقاطعين. من الجملة إلى التمثيل نختار مجهولا وسيطا و نعبّر عن المجهولين الباقيين بدلالته؛ و من التمثيل إلى الجملة نستخرج الوسيط من أبسط سطر و نعوّضه في السطرين الباقيين حتّى يختفي. و في الاتجاهين، الاختبار الأوّل هو ترابط الشعاعين الناظميين خطيا، و الاختبار الأخير هو مراقبة نقطة معلومة.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net