مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الهندسة في الفضاء الأوضاع النسبية للمستقيمات و المستويات

الأوضاع النسبية للمستقيمات و المستويات

🔊 المعلّمة تقرأ لك
في المستوي، مستقيمان لا يملكان إلّا احتمالين: يتقاطعان أو يتوازيان. أمّا في الفضاء فيظهر احتمال ثالث لا وجود له في المستوي: مستقيمان لا يلتقيان أبدا و ليسا متوازيين، لأنّهما ببساطة ليسا في مستو واحد. و التمرين لا يسألك عن النقطة قبل أن يسألك عن الوضع. فما هي الأوضاع الممكنة، و بأيّ اختبار نقرّر أيّها أمامنا؟

الجواب يقوم على مبدأ واحد: الاتجاه أوّلا، ثمّ نقطة واحدة. اتجاها الشيئين يقسمان الاحتمالات إلى مجموعتين، ثمّ يكفي تعويض نقطة واحدة لنعرف أيّ حالة من المجموعة نحن فيها. و هذا المبدأ نفسه يعمل في الحالات الثلاث: مستقيمان، مستقيم و مستو، مستويان.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • سرد الأوضاع الأربعة الممكنة لمستقيمين من الفضاء و تمييزها
  • سرد الأوضاع الثلاثة الممكنة لمستقيم و مستو، و الثلاثة لمستويين
  • استعمال ترابط شعاعي التوجيه خطيا لفرز أوضاع مستقيمين
  • استعمال الجداء السلّمي لشعاع التوجيه و الشعاع الناظمي لفرز أوضاع مستقيم و مستو
  • التمييز بين مستقيمين متقاطعين و مستقيمين ليسا من نفس المستوي
  • التمييز بين وضعين بتعويض نقطة واحدة معلومة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • التمثيل الوسيطي لمستقيم و قراءة شعاع توجيهه
  • المعادلة الديكارتية لمستو و شعاعه الناظمي
  • الجداء السلّمي في الفضاء و شرط تعامد شعاعين

1. الوضع النسبي لمستقيمين

ليكن ⁦(D)⁩ و ⁦(D')⁩ مستقيمين من الفضاء، يوجّههما الشعاعان u و u' على الترتيب. الأوضاع الممكنة أربعة، و ينقسم فرزها إلى شقّين حسب ترابط الشعاعين خطيا.

  1. إذا كان u و u' مترابطين خطيا فالمستقيمان متوازيان: منطبقان إن كانت نقطة من أحدهما على الآخر، و متوازيان مختلفان إن لم تكن.
  2. إذا كانا غير مترابطين خطيا فالمستقيمان غير متوازيين: إمّا متقاطعان في نقطة، و إمّا ليسا من نفس المستوي. و هنا وحده يلزم حلّ جملة.
الوضعيات الثلاث الأولى تجري كلّها داخل مستو واحد؛ الرابعة وحدها تحتاج إلى بعد ثالث، و لهذا لا وجود لها في هندسة المستوي.
✅النّتيجة: فرز أوضاع مستقيمين
الوضعالاختبارالتقاطع
متقاطعانالشعاعان غير مترابطين خطيا و الجملة تقبل حلانقطة
ليسا من نفس المستويالشعاعان غير مترابطين خطيا و الجملة لا تقبل حلاخال
متوازيان و مختلفانالشعاعان مترابطان خطيا و نقطة من أحدهما ليست على الآخرخال
منطبقانالشعاعان مترابطان خطيا و نقطة من أحدهما على الآخرمستقيم

و حين يكون الشعاعان غير مترابطين خطيا، الطريقة العملية هي التالية: نساوي الفاصلتين ثمّ الترتيبتين، فنحصل على جملة معادلتين بوسيطين. نحلّها، ثمّ نعوّض في التسميتين: إن تساوت التسميتان فالمستقيمان متقاطعان، و إن اختلفتا فليسا من نفس المستوي.

⛔ هنا يقع الخطأ الأخطر في الباب. حلّ الجملة المكوّنة من معادلتين لا يكفي: هاتان المعادلتان لا تخصّان إلّا الفاصلة و الترتيبة. المعادلة الثالثة هي القاضي، و هي التي تفصل بين «متقاطعان» و «ليسا من نفس المستوي». من توقّف عند حلّ الجملة أعلن التقاطع في الحالتين معا.
مثال 1: مستقيمان متقاطعان

نعتبر المستقيمين d₁ و d₂ الممثّلين وسيطيا كما يلي، بوسيطين مختلفين.

🎯المطلوب: أدرس الوضع النسبي للمستقيمين d₁ و d₂

📌المعطى
d₁ : x = −2 + 5t ; y = −1 − t ; z = 3 + 4t
📌المعطى
d₂ : x = 1 − t' ; y = 4 + 3t' ; z = 5 − t'
🔹الخطوة 1: شعاع توجيه الأوّل

نقرأ شعاعي التوجيه من معاملات الوسيطين.

u₁ = (5 ; −1 ; 4)
🔹الخطوة 2: شعاع توجيه الثاني
u₂ = (−1 ; 3 ; −1)
🔹الخطوة 3: الشعاعان غير مترابطين خطيا

محدّد جزئي غير معدوم يكفي لنفي الترابط الخطي.

5 × 3 − (−1) × (−1)=15 − 1=14 ≠ 0
🔹الخطوة 4: جملة المعادلتين

المستقيمان غير متوازيين إذن: إمّا متقاطعان و إمّا ليسا من نفس المستوي. نساوي الفاصلتين ثمّ الترتيبتين.

−2 + 5t = 1 − t' ; −1 − t = 4 + 3t'
🔹الخطوة 5: استخراج الوسيط الثاني من المعادلة الأولى
t' = 3 − 5t
🔹الخطوة 6: التعويض في المعادلة الثانية
−1 − t=4 + 3(3 − 5t)=13 − 15t
🔹الخطوة 7: حلّ المعادلة
14t = 14 ⟹ t = 1
🔹الخطوة 8: قيمة الوسيط الثاني
t'=3 − 5 × 1=−2
🔹الخطوة 9: تسمية النقطة على الأوّل

و الآن المعادلة الثالثة، التي لم تدخل في الجملة: نحسب التسميتين و نقارنهما.

t = 1 ⟹ z = 3 + 4 × 1 = 7
🔹الخطوة 10: تسمية النقطة على الثاني
t' = −2 ⟹ z = 5 − (−2) = 7
🔹الخطوة 11: إحداثيات نقطة التقاطع

التسميتان متساويتان: النقطتان منطبقتان، فالمستقيمان متقاطعان فيها.

t = 1 ⟹ (3 ; −2 ; 7)
✅النّتيجة
d₁ ∩ d₂ = {(3 ; −2 ; 7)}
⭐ الخطوتان 9 و 10 هما اللتان تُنقّطان: من غيرهما لا يكون الجواب مبرهنا. اكتبهما دائما، حتّى إن بدا لك التقاطع بديهيا.
مثال 2: مستقيمان ليسا من نفس المستوي

نحتفظ بالمستقيم d₁ نفسه، و نعتبر المستقيم d₃ الممثّل وسيطيا بوسيط ثالث.

🎯المطلوب: أدرس تقاطع المستقيمين d₁ و d₃

📌المعطى
d₃ : x = −7 + 7t'' ; y = −3t'' ; z = 2t''
🔹الخطوة 1: شعاع توجيه الثالث
u₃ = (7 ; −3 ; 2)
🔹الخطوة 2: الشعاعان غير مترابطين خطيا
5 × (−3) − (−1) × 7=−15 + 7=−8 ≠ 0
🔹الخطوة 3: جملة المعادلتين

نساوي الفاصلتين ثمّ الترتيبتين كما في المثال السابق.

−2 + 5t = −7 + 7t'' ; −1 − t = −3t''
🔹الخطوة 4: استخراج الوسيط الأوّل من المعادلة الثانية
t = 3t'' − 1
🔹الخطوة 5: التعويض في المعادلة الأولى
5(3t'' − 1) − 7t'' = −5 ⟹ 15t'' − 5 − 7t'' = −5
🔹الخطوة 6: حلّ المعادلة
8t'' = 0 ⟹ t'' = 0
🔹الخطوة 7: قيمة الوسيط الأوّل
t=3 × 0 − 1=−1
🔹الخطوة 8: تسمية النقطة على الأوّل

نمرّ إلى القاضي: التسميتان.

t = −1 ⟹ z = 3 + 4 × (−1) = −1
🔹الخطوة 9: تسمية النقطة على الثالث
t'' = 0 ⟹ z = 2 × 0 = 0
✅النّتيجة
−1 ≠ 0 ⟹ d₁ ∩ d₃ = ∅
⭐ الفرق بين هذا المثال و سابقه سطر واحد: التسميتان. المستقيمان غير متوازيين و لا يلتقيان، فلا يوجد مستو يحويهما معا — و هذا هو معنى «ليسا من نفس المستوي».
مثال 3: مستقيمان متوازيان و مختلفان

نحتفظ بالمستقيم d₁، و نعتبر المستقيم d₄ الممثّل وسيطيا بالوسيط s.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيمين d₁ و d₄ متوازيان و مختلفان

📌المعطى
d₄ : x = 3 + 10s ; y = −2 − 2s ; z = 1 + 8s
🔹الخطوة 1: شعاع توجيه الرابع
u₄ = (10 ; −2 ; 8)
🔹الخطوة 2: ترابط الشعاعين خطيا

كلّ مركّبة هي ضعف نظيرتها: الشعاعان مترابطان خطيا، فالمستقيمان متوازيان.

u₄ = 2 × u₁
🔹الخطوة 3: نقطة من الرابع

يبقى أن نفصل بين «منطبقان» و «متوازيان مختلفان»: نعوّض نقطة من أحدهما في الآخر.

s = 0 ⟹ B(3 ; −2 ; 1)
🔹الخطوة 4: الوسيط الذي يعطي الفاصلة نفسها على الأوّل
−2 + 5t = 3 ⟹ t = 1
🔹الخطوة 5: مراقبة الترتيبة
t = 1 ⟹ y = −1 − 1 = −2
🔹الخطوة 6: مراقبة الراقم

الترتيبة توافق، فيبقى السطر الثالث وحده ليحسم.

t = 1 ⟹ z = 3 + 4 × 1 = 7
✅النّتيجة
7 ≠ 1 ⟹ d₁ ∩ d₄ = ∅
⭐ الحالة الرابعة تُختبر بالسرعة نفسها: لو كانت النقطة B هي ⁦(3 ; −2 ; 7)⁩ لتحقّقت الأسطر الثلاثة، و لكان المستقيمان منطبقين، أي مستقيما واحدا كُتب بوسيطين مختلفين.

2. الوضع النسبي لمستقيم و مستو

ننتقل الآن إلى مستقيم ⁦(D)⁩ يوجّهه u و مستو ⁦(P)⁩ شعاعه الناظمي n. الأوضاع الممكنة ثلاثة، و الاختبار الأوّل ليس ترابطا خطيا بل جداء سلّميا: الشعاع الناظمي عمودي على كلّ ما في المستوي.

الشعاع الناظمي عمودي على كلّ ما في المستوي: كلّ مستقيم من المستوي يمرّ بالنقطة M يصنع مع حامله زاوية قائمة.
الاختبار الأوّل لمستقيم و مستو

⭐ إذا كان شعاع التوجيه عموديا على الشعاع الناظمي فهو موازٍ للمستوي، فلا يمكن للمستقيم أن يخترقه. و العكس بالعكس: جداء سلّمي غير معدوم يعني اختراقا، أي نقطة تقاطع وحيدة.

u · n = 0 ⟺ (D) // (P)
uشعاع توجيه للمستقيمnشعاع ناظمي للمستوي
الجداء السلّمي المعدوم يجمع الحالتين الأوليين؛ تعويض نقطة واحدة هو الذي يفصل بينهما.
✅النّتيجة: فرز أوضاع مستقيم و مستو
الوضعالاختبارالتقاطع
يقطع المستويالجداء السلّمي للشعاعين غير معدومنقطة
يوازي المستويالجداء السلّمي معدوم و نقطة من المستقيم ليست في المستويخال
محتوٍ في المستويالجداء السلّمي معدوم و نقطة من المستقيم في المستويمستقيم
مثال 4: مستقيم يوازي مستويا دون أن يمسّه

نعتبر المستقيم ⁦(D)⁩ الممثّل وسيطيا، و المستوي ⁦(P₃)⁩ بمعادلته الديكارتية.

🎯المطلوب: أدرس الوضع النسبي للمستقيم ⁦(D)⁩ و المستوي ⁦(P₃)⁩

📌المعطى
(D) : x = t ; y = −3 − 2t ; z = −7 − 2t
📌المعطى
(P₃) : 2x − y + 2z − 1=0
🔹الخطوة 1: شعاع توجيه المستقيم
u = (1 ; −2 ; −2)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي للمستوي
n₃ = (2 ; −1 ; 2)
🔹الخطوة 3: الجداء السلّمي

نحسب الجداء السلّمي مركّبة مركّبة.

u · n₃=1 × 2 + (−2) × (−1) + (−2) × 2=2 + 2 − 4=0
🔹الخطوة 4: نقطة من المستقيم

الجداء معدوم: المستقيم يوازي المستوي. يبقى أن نعرف إن كان محتوى فيه.

t = 0 ⟹ A(0 ; −3 ; −7)
🔹الخطوة 5: تعويض النقطة في معادلة المستوي
2 × 0 − (−3) + 2 × (−7) − 1=3 − 14 − 1=−12
✅النّتيجة
−12 ≠ 0 ⟹ (D) ∩ (P₃) = ∅
⭐ لاحظ أنّ القيمة ⁦−12⁩ هي نفسها في كلّ نقاط المستقيم: التعويض العام يعطي عبارة ثابتة، لأنّ الوسيط يختفي بالضبط حين يكون الجداء السلّمي معدوما. هذا برهان آخر على أنّ التقاطع خال.
مثال 5: مستقيم محتوٍ في مستو

نعتبر المستقيم ⁦(D)⁩ و المستوي ⁦(P)⁩ التاليين.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيم ⁦(D)⁩ محتوٍ في المستوي ⁦(P)⁩

📌المعطى
(D) : x = t + 1 ; y = 1 ; z = t
📌المعطى
(P) : −x + 4y + z − 3=0
🔹الخطوة 1: شعاع توجيه المستقيم
u = (1 ; 0 ; 1)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي للمستوي
n = (−1 ; 4 ; 1)
🔹الخطوة 3: الجداء السلّمي
u · n=1 × (−1) + 0 × 4 + 1 × 1=−1 + 1=0
🔹الخطوة 4: نقطة من المستقيم

الجداء معدوم: المستقيم يوازي المستوي. ننتقل إلى تعويض نقطة.

t = 0 ⟹ A(1 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 5: تعويض النقطة في معادلة المستوي
−1 + 4 × 1 + 0 − 3=−1 + 4 − 3=0
✅النّتيجة

الاتجاه موازٍ و نقطة مشتركة: المستقيم داخل المستوي كلّه.

(D) ⊂ (P)
⭐ الفرق بين هذا المثال و سابقه سطر واحد أيضا: قيمة التعويض. معدومة يعني «محتوٍ»، غير معدومة يعني «تقاطع خال». الجداء السلّمي وحده لا يفصل بينهما أبدا.
مثال 6: مستقيم يقطع مستويا

نعتبر المستقيم ⁦(D)⁩ و المستوي ⁦(P')⁩ التاليين.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيم ⁦(D)⁩ و المستوي ⁦(P')⁩ يتقاطعان

📌المعطى
(D) : x = 1 − 2t ; y = −2 + 2t ; z = t
📌المعطى
(P') : 4x + 4y + z + 3=0
🔹الخطوة 1: شعاع توجيه المستقيم
u = (−2 ; 2 ; 1)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي للمستوي
n = (4 ; 4 ; 1)
🔹الخطوة 3: الجداء السلّمي
u · n=(−2) × 4 + 2 × 4 + 1 × 1=−8 + 8 + 1=1
✅النّتيجة

جداء غير معدوم: المستقيم ليس موازيا للمستوي، فهو يخترقه في نقطة وحيدة.

1 ≠ 0 ⟹ (D) ∩ (P') = {M}
⭐ هنا يتوقّف سؤال الوضع النسبي: عرفنا أنّ التقاطع نقطة واحدة، و لم نحسبها. حساب إحداثياتها هو موضوع درس التقاطعات، و يجري بتعويض الأسطر الثلاثة في معادلة المستوي.

3. الوضع النسبي لمستويين

تبقى الحالة الثالثة، و هي أبسطها لأنّ الشيئين من طبيعة واحدة: مستويان يوصف كلّ منهما بشعاع ناظمي. الأوضاع ثلاثة، و الاختبار الأوّل هو ترابط الشعاعين الناظميين خطيا.

تقاطع مستويين متقاطعين ليس نقطة بل مستقيم كامل: هذا ما يجعل جملة معادلتين كتابة صحيحة لمستقيم.
✅النّتيجة: فرز أوضاع مستويين
الوضعالاختبارالتقاطع
متقاطعانالشعاعان الناظميان غير مترابطين خطيامستقيم
متوازيان و مختلفانالشعاعان مترابطان خطيا و نقطة من أحدهما ليست في الآخرخال
منطبقانالشعاعان مترابطان خطيا و نقطة من أحدهما في الآخرمستو
مثال 7: مستويان متوازيان و مختلفان

نعتبر المستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₃)⁩ بمعادلتيهما الديكارتيتين.

🎯المطلوب: أدرس الوضعية النسبية للمستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₃)⁩

📌المعطى
(P₁) : 2x − y − 2z − 1=0
📌المعطى
(P₃) : 4x − 2y − 4z − 5=0
🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل
n₁ = (2 ; −1 ; −2)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثالث
n₃ = (4 ; −2 ; −4)
🔹الخطوة 3: ترابط الشعاعين خطيا

كلّ مركّبة ضعف نظيرتها: الشعاعان مترابطان خطيا، فالمستويان متوازيان.

n₃ = 2 × n₁
🔹الخطوة 4: نقطة من المستوي الأوّل

نفصل بين «منطبقان» و «متوازيان مختلفان» بنقطة واحدة. نختار نقطة سهلة من الأوّل.

A(0 ; −1 ; 0)
🔹الخطوة 5: مراقبة انتماء النقطة إلى المستوي الأوّل
2 × 0 − (−1) − 2 × 0 − 1=1 − 1=0
🔹الخطوة 6: تعويض النقطة في المستوي الثالث
4 × 0 − 2 × (−1) − 4 × 0 − 5=2 − 5=−3
🔹الخطوة 7: الفرق بين المعادلتين

و هناك برهان أعمّ لا يحتاج إلى اختيار نقطة: نطرح ضعف المعادلة الأولى من الثالثة، فيبقى عدد ثابت.

4x − 2y − 4z − 5 − 2(2x − y − 2z − 1)=−5 + 2=−3
✅النّتيجة
−3 ≠ 0 ⟹ (P₁) ∩ (P₃) = ∅
⭐ الخطوة 7 أقوى من الخطوات 4 و 5 و 6 مجتمعة: العدد ⁦−3⁩ ثابت في كلّ نقطة من الفضاء، فلا يمكن أن تنعدم المعادلتان معا أبدا. برهان في سطر واحد، دون اختيار أيّ نقطة.
⭐ و الحالة الثالثة تُختبر بالسطر نفسه: لو كانت معادلة المستوي الثاني هي ⁦4x − 2y − 4z − 2 = 0⁩ لكان الفرق معدوما تماما، و لكانت المعادلتان تصفان مستويا واحدا. عدد ثابت غير معدوم يعني توازيا مختلفا، و عدد معدوم يعني انطباقا.
⛔ لا تخلط بين الاختبارين. بين مستقيمين، و بين مستويين، نقارن شعاعين من الطبيعة نفسها فنختبر ترابطهما خطيا. أمّا بين مستقيم و مستو فنقارن شعاع توجيه بشعاع ناظمي، أي شعاعين من طبيعتين مختلفتين، فنحسب جداءهما السلّمي. استعمال الاختبار في غير موضعه يقلب الجواب رأسا على عقب.
سؤال الوضع النسبي يسبق دائما سؤال التقاطع، و هو يُنقّط وحده. رتّب جوابك في ثلاثة أسطر لا أكثر: الشعاعان، الاختبار الأوّل، ثمّ النقطة التي تفصل. و لا تكتب أبدا «المستقيمان متوازيان» بعد اختبار الشعاعين وحده: قل متوازيان، ثمّ اذكر النقطة التي تجعلهما منطبقين أو مختلفين. الدقّة في هذا التمييز هي ما يميّز جوابا كاملا من جواب ناقص.
الخلاصة. ثلاث حالات، و مبدأ واحد: الاتجاه أوّلا ثمّ نقطة واحدة. لمستقيمين أربعة أوضاع: متقاطعان، ليسا من نفس المستوي، متوازيان مختلفان، منطبقان؛ و الفرز يبدأ بترابط شعاعي التوجيه خطيا، و ينتهي بالمعادلة الثالثة أو بتعويض نقطة. لمستقيم و مستو ثلاثة أوضاع، و اختبارها الأوّل جداء سلّمي بين شعاع التوجيه و الشعاع الناظمي. و لمستويين ثلاثة أوضاع، اختبارها الأوّل ترابط الشعاعين الناظميين خطيا. و في الحالات الثلاث، تعويض نقطة واحدة هو الذي يفصل بين حالتين متبقّيتين.

الصفحة 1/11

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net