الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال العددية (الاشتقاقية والاستمرارية) الإشتقاقية 2

اتجاه تغيّر دالة و القيم الحدية باستعمال إشارة المشتقة

🔊 المعلّمة تقرأ لك

جدول تغيّرات كامل يُبنى دون حساب صورة واحدة إضافية، انطلاقا من إشارة عبارة واحدة. فكيف تعرف إشارة المشتقّة إلى أين يذهب المنحنى؟

لأنّ المشتقّة هي الميل. ميل موجب يعني صعودا، و ميل سالب يعني نزولا — و لا شيء آخر يُطلب لبناء الجدول كلّه.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

استنتاج اتجاه تغيّر دالة من إشارة مشتقّتها
تعيين القيم الحدّية المحلّية لدالة
توظيف جدول التغيّرات لمقارنة عددين

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب مشتقّة دالة كثير حدود أو ناطقة
دراسة إشارة ثلاثي حدود من الدرجة الثانية

1. المشتقّة و اتجاه التغيّر

المبرهنة

تبقى الرتابة تامّة حتّى إذا انعدمت المشتقّة عند عدد محدود من القيم — و هذا ما يسمح بالقول إنّ الدالة المكعّبة متزايدة تماما على ℝ رغم أنّ مشتقّتها تنعدم عند الصفر.

f'(x) > 0 ⟹ f ↗ ; f'(x) < 0 ⟹ f ↘ ; f'(x) = 0 ⟹ f = k

« متزايدة تماما » ليس « مشتقّتها موجبة تماما ». انعدام المشتقّة في نقطة معزولة لا يكسر الرتابة التامّة. اقرأ المبرهنة كما هي، لا كما تتوقّعها.

2. القيم الحدّية المحلّية

قيمة حدّية محلّية عظمى تعني أنّ الدالة، في جوار النقطة وحده، لا تتجاوز تلك القيمة:

التعريف: قيمة حدّية محلّية عظمى

حيث J مجال مفتوح يشمل x₀ و محتوى في مجال التعريف. الصغرى تُعرَّف بنفس الجملة مع قلب المتراجحة.

x ∈ J ⟹ f(x) ≤ f(x₀)

المبرهنة: الانعدام مع تغيّر الإشارة

الشرطان معا: الانعدام وحده لا يكفي. مشتقّة الدالة المكعّبة تنعدم عند الصفر دون أن تغيّر إشارتها، و لا قيمة حدّية هناك.

f'(x₀) = 0

جدولا تغيّرات متقابلان: في الأوّل المشتقّة تنتقل من سالب إلى موجب فتظهر قيمة صغرى، و في الثاني من موجب إلى سالب فتظهر قيمة عظمى. — تغيّر الإشارة هو الشرط، لا الانعدام: من سالب إلى موجب قيمة صغرى، و العكس عظمى.

مثال 1: جدول تغيّرات ثمّ إشارة

🎯المطلوب: أدرس اتجاه تغيّر الدالة، شكّل جدول تغيّراتها، ثمّ استنتج إشارتها على ℝ.

📌المعطى

f(x) = x³ - 3x² + 4 ; x ∈ ℝ

🔹الخطوة 1: المشتقّة

نشتقّ ثمّ نحلّل لنقرأ الإشارة مباشرة.

f'(x)=3x² - 6x=3x(x - 2)

🔹الخطوة 2: الإشارة

ثلاثي حدود جذراه 0 و 2: سالب بينهما، موجب خارجهما.

x ∈ ]0 ; 2[ ⟹ f'(x) < 0

🔹الخطوة 3: صورة مفتاحية

نحسب صورة واحدة، و هي التي تُثبّت الجدول.

f(-1)=-1 - 3 + 4=0

🔹الخطوة 4: التغيّرات

x ∈ ]-∞ ; 0] ⟹ f ↗ ; x ∈ [0 ; 2] ⟹ f ↘

✅النّتيجة: إشارة الدالة

الجدول يعطي الإشارة دون أيّ حساب إضافي.

x ≤ -1 ⟹ f(x) ≤ 0 ; x ≥ -1 ⟹ f(x) ≥ 0

لاحظ الترتيب: المشتقّة، إشارتها، الجدول، ثمّ إشارة الدالة. من قفز إلى إشارة الدالة مباشرة لن يجد شيئا: الإشارة تُقرأ في الجدول، لا تُحسب.

مثال 2: نقل الإشارة إلى دالة أخرى

🎯المطلوب: أدرس اتجاه تغيّر الدالة باستعمال نتيجة السؤال السابق.

📌المعطى

g(x) = (1/2)x² - 3x - 4/x ; x ∈ ]-∞ ; 0[

🔹الخطوة 1: المشتقّة

نشتقّ، ثمّ نوحّد المقام.

g'(x)=x - 3 + 4x²

🔹الخطوة 2: التوحيد

نضع كلّ شيء على مقام واحد: نتعرّف على البسط.

g'(x)=x³ - 3x² + 4x²

🔹الخطوة 3: التعرّف

البسط هو الدالة f من المثال السابق، و المقام مربّع موجب تماما.

g'(x) = f(x)x²

🔹الخطوة 4: نقل الإشارة

x ≤ -1 ⟹ g'(x) ≤ 0 ; -1 ≤ x < 0 ⟹ g'(x) ≥ 0

✅النّتيجة

x ∈ ]-∞ ; -1] ⟹ g ↘ ; x ∈ [-1 ; 0[ ⟹ g ↗

« باستعمال السؤال السابق » ليس عبارة مجاملة: هي تعليمة. إذا لم يظهر عندك بسط يساوي الدالة السابقة، فقد أخطأت في التوحيد و ليس في القراءة.

مثال 3: مقارنة عددين برتابة دالة

🎯المطلوب: قارن بين العددين بدراسة اتجاه تغيّر دالة مختارة بشكل مناسب.

📌المعطى

عددان متقاربان جدّا يستحيل الفصل بينهما بالحاسبة.

A = 0,999998 + 10,999998 ; B = 0,999999 + 10,999999

🔹الخطوة 1: الدالة

نختار دالة تُنتج العددين، و هذا هو كلّ الذكاء المطلوب.

f(x) = x + 1/x ; x ∈ ]0 ; +∞[

🔹الخطوة 2: المشتقّة

f'(x)=1 - 1x²=x² - 1x²

🔹الخطوة 3: الرتابة

البسط ثلاثي حدود جذراه ناقص واحد و واحد، و المقام موجب تماما.

x ∈ ]0 ; 1] ⟹ f ↘

🔹الخطوة 4: الترتيب

العددان في المجال الذي تتناقص فيه الدالة، و الأصغر منهما يعطي الصورة الأكبر.

0,999998 < 0,999999

✅النّتيجة

A > B

السؤال لا يُحلّ بالحساب: الفرق بين العددين أصغر ممّا تُظهره أيّ حاسبة. الرتابة تحسم ما لا يحسمه العدّ. تعرّف على هذا النوع من الأسئلة، فهو يتكرّر.

جدول التغيّرات هو الجواب نفسه في أغلب مواضيع الباكالوريا، لا مقدّمة له. ثلاثة أسطر تُنقّط منفصلة: المشتقّة، إشارتها، ثمّ الأسهم. و لا تكتب « الدالة متزايدة » دون ذكر المجال: الرتابة صفة على مجال، لا صفة مطلقة.

الخلاصة: إشارة المشتقّة تُملي اتجاه التغيّر، و تغيّر هذه الإشارة عند نقطة يعطي قيمة حدّية محلّية. الجدول يجمع الاثنين، و منه تُقرأ إشارة الدالة و تُقارن الأعداد دون حساب.

الصفحة 1/6