الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال العددية (الاشتقاقية والاستمرارية) الإشتقاقية 2

توظيف المشتقات: دوال كثيرات حدود، ناطقة، صماء، و الدالة المركبة

🔊 المعلّمة تقرأ لك

دالة داخل دالة: جذر لكثير حدود، أو كثير حدود مرفوع إلى قوّة. اشتقاقها بالتعريف مستحيل عمليّا. فكيف نشتقّ ما ركّبناه؟

بقاعدة واحدة، و هي أنيقة: نشتقّ الخارجية عند الداخلية، ثمّ نضرب في مشتقّة الداخلية. كلّ ما يأتي بعدها ليس إلّا حالات خاصّة منها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

حساب مشتقّة مركّب دالّتين
توظيف القواعد الثلاث للجذر و القوّة و المقلوب
استنتاج إشارة مشتقّة من قراءة بيانية

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

جدول مشتقّات الدوال المألوفة
التعرّف على دالة مركّبة و تسمية طرفَيها

1. القاعدة العامّة

مشتقّة المركّب

لا تنسَ العامل الثاني: نسيان ⁦u'(x)⁩ هو الخطأ الوحيد الذي يُرتكب في هذا الدرس، و هو يُرتكب كثيرا.

(v ∘ u)'(x) = v'[u(x)] × u'(x)

2. الحالات الثلاث التي تُحفظ

ثلاث نتائج تُشتقّ من القاعدة، و كلّها مبرهنة في الدرس لا مسلّمة:

الجذر

بشرط أن تكون u موجبة تماما على المجال: الدالة الجذرية لا تقبل الاشتقاق عند الصفر.

(√u)' = u'2√u

القوّة

(uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹

مقلوب القوّة

بشرط ألّا تنعدم u. لاحظ أنّ الأسّ يرتفع في المقام بدل أن ينخفض، و أنّ السالب يظهر.

(1uⁿ)' = -n u'uⁿ⁺¹

جدول من ثلاثة أعمدة يجمع مشتقّات الجذر و القوّة و مقلوب القوّة لدالة u، مع شروطها. — القاعدة واحدة، و الحالات الثلاث تطبيقات لها: لكلّ منها شرطها على u.

قبل أن تشتقّ، اكتب صراحة: u هي كذا، و v هي كذا. سطر واحد يمنع الخطأ الوحيد الممكن، و هو الخلط بين الداخلية و الخارجية.

مثال 1: قوّة رابعة

🎯المطلوب: عيّن مشتقّة الدالة على مجموعة الأعداد الحقيقية.

📌المعطى

f(x) = (2x² - x + 3)⁴ ; x ∈ ℝ

🔹الخطوة 1: التعرّف

نسمّي الداخلية.

u(x) = 2x² - x + 3

🔹الخطوة 2: مشتقّة الداخلية

u'(x) = 4x - 1

🔹الخطوة 3: القاعدة

نطبّق قاعدة القوّة: الأسّ ينزل، ثمّ ينقص واحدا، ثمّ نضرب في مشتقّة الداخلية.

f' = 4u'u³

✅النّتيجة

f'(x)=4(4x - 1)(2x² - x + 3)³

لا تنشر القوّة الرابعة قبل الاشتقاق. ثلاثة أسطر بالقاعدة، مقابل صفحة كاملة بالنشر — و صفحة كاملة تعني خطأ مؤكّدا.

مثال 2: مقلوب قوّة ثمّ جذر

🎯المطلوب: عيّن مشتقّتَي الدالّتين، كلّ واحدة على مجالها.

📌المعطى

g(x) = 1/(x² - 1)³ ; x ∈ ]1 ; +∞[

🔹الخطوة 1: التعرّف

الداخلية لا تنعدم على المجال المعتبر، و هذا شرط القاعدة.

u(x) = x² - 1 ; u'(x) = 2x

🔹الخطوة 2: القاعدة

نطبّق قاعدة مقلوب القوّة: الأسّ يصبح أربعة في المقام.

g' = -3u'u⁴

🔹الخطوة 3: التعويض

g'(x) = -6x/(x² - 1)⁴ ; x ∈ ]1 ; +∞[

🔹الخطوة 4: المعطى الثاني

الآن الجذر، بنفس المنهج: نتعرّف، نتحقّق من الإشارة، نطبّق.

h(x) = √(x² - 4) ; x ∈ ]2 ; +∞[

✅النّتيجة

h'(x) = x/√(x² - 4) ; x ∈ ]2 ; +∞[

في الحالة الأخيرة، البسط 2x يُبسّط مع المقام ⁦2√u⁩ فيبقى x وحده. لا تترك الجواب غير مبسّط: السلّم يقبل، لكنّ السؤال الموالي يصبح أثقل.

منحنى دالة على مجال، يقطع محور الفواصل مرّتين، و له مماس أفقي في أدنى نقطة بينهما. — منحنى الدالة g في المثال 3: عليه تُقرأ إشارة g و اتّجاه تغيّرها.

مثال 3: من الرسم إلى إشارة المشتقّة

🎯المطلوب: اقرأ بيانيا إشارتَي الدالة و مشتقّتها، ثمّ استنتج إشارة مشتقّة مربّعها.

📌المعطى

g قابلة للاشتقاق، و منحناها معطى في الشكل. نقرأ عليه إشارتها و إشارة مشتقّتها.

f(x) = [g(x)]² ; x ∈ [-1 ; 3]

🔹الخطوة 1: إشارة g

المنحنى فوق محور الفواصل ثمّ تحته ثمّ فوقه.

x ∈ [0 ; 2] ⟹ g(x) ≤ 0

🔹الخطوة 2: إشارة مشتقّة g

g تتناقص ثمّ تتزايد، و تقبل مماسا أفقيا عند الفاصلة واحد.

x ∈ [-1 ; 1[ ⟹ g'(x) < 0 ; g'(1) = 0 ; x ∈ ]1 ; 3] ⟹ g'(x) > 0

🔹الخطوة 3: المشتقّة

نطبّق قاعدة القوّة على المربّع.

f'(x) = 2g'(x)g(x)

✅النّتيجة: إشارة مشتقّة f

جداء إشارتين: نضربهما سطرا بسطر في جدول واحد.

x ∈ [-1 ; 0] ⟹ f'(x) ≤ 0 ; x ∈ [0 ; 1] ⟹ f'(x) ≥ 0 ; x ∈ [1 ; 2] ⟹ f'(x) ≤ 0 ; x ∈ [2 ; 3] ⟹ f'(x) ≥ 0

جدول بثلاثة أسطر: إشارة g، إشارة مشتقّة g، ثمّ جداؤهما. لا تحاول الاستنتاج ذهنيا — أربع مناطق و إشارتان تعطيان ثماني حالات، و الجدول وحده يمسكها.

كلّ دراسة دالة في الباكالوريا تمرّ بمركّب واحد على الأقلّ: جذر، قوّة، أو مقلوب. اكتب سطر التعرّف — u هي كذا، v هي كذا — قبل أن تشتقّ. هذا السطر يُنقّط، و هو الذي يمنع نسيان العامل ⁦u'(x)⁩.

الخلاصة: مشتقّة المركّب هي مشتقّة الخارجية عند الداخلية مضروبة في مشتقّة الداخلية. الجذر و القوّة و مقلوب القوّة ليست قواعد جديدة: هي هذه القاعدة نفسها، مطبّقة ثلاث مرّات.

الصفحة 1/5