التزايد المقارن ودراسة الدوال › التزايد المقارن
التزايد المقارن و النهايات الشهيرة للأسية و اللوغاريتم
التخمين لا يكفي: ورقة الحساب تعطي قيما، لا برهانا. و الفصل كلّه يقوم على أربع نهايات تُحفظ، ثمّ تُعمّم. سمّيت « الشهيرة » لأنّها تُستعمل في كلّ دراسة دالة تقريبا.
- ذكر النهايتين الشهيرتين للدالة الأسّية أمام x
- ذكر النهايتين الشهيرتين للدالة اللوغاريتمية أمام x
- تعميم النهايتين على الدالة قوّة xn
- ترتيب الدوال الثلاث حسب سرعة تزايدها عند اللانهاية
- نهايات الدالتين الأسّية و اللوغاريتمية عند حدود مجموعة التعريف
- النهايات بالمقارنة و بالحصر
1. الأسّية أمام x
الأولى تقول إنّ الأسّية تسبق x عند +∞ سبقا لا يُدرك. و الثانية تقول إنّ الأسّية تسحق x عند -∞: الجداء يؤول إلى الصفر رغم أنّ أحد العاملين يؤول إلى اللانهاية.
برهان الأولى يمرّ بدالة وسيطة، و هو نموذج للطريقة: نبني دالة، ندرس إشارة مشتقّتها الثانية، فنصعد درجة درجة إلى المطلوب.
نعتبر الدالة f المعرّفة على المجال [0 ; +∞[ بـ f(x) = ex - x²/2.
🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالة f موجبة، ثمّ استنتج نهاية النسبة ex/x عند +∞.
ندرس فرق الأسّية عن نصف مربّع x على المجال الموجب.
نشتقّ مرّتين: المشتقّة الثانية موجبة لأنّ ex ≥ 1 على [0 ; +∞[.
f'' موجبة ⟹ f' متزايدة، و f'(0) = 1، إذن f' تبقى موجبة.
f' موجبة ⟹ f متزايدة، و f(0) = 1، إذن f تبقى موجبة.
نقسم على x الموجب تماما، ثمّ نطبّق النهايات بالمقارنة.
2. اللوغاريتم أمام x
الأولى تقول إنّ x يسبق اللوغاريتم عند +∞. و الثانية تقول إنّ x يسحق اللوغاريتم عند الصفر: الجداء يؤول إلى الصفر رغم أنّ ln x يؤول إلى -∞.
و البرهان هنا أقصر بكثير، لأنّ العمل قد أُنجز في الفقرة الأولى: يكفي تغيير المتغيّر لنعود إلى نهاية نعرفها.
نريد برهان النهايتين lim(x → +∞) ln x / x و lim(x → 0) x ln x.
🎯المطلوب: أثبت النهايتين بتغيير المتغيّر انطلاقا من نهايات الدالة الأسّية.
نضع X مساويا للوغاريتم x، فيصير x هو e أسّ X.
لمّا يؤول x إلى +∞ يؤول X إلى +∞ أيضا، و النسبة تنقلب إلى المقلوب المعروف.
و قد برهنّا أنّ نسبة exp(X) على X تؤول إلى +∞، فمقلوبها يؤول إلى الصفر.
للنهاية الثانية نضع X مساويا لمقلوب x، فيؤول X إلى +∞ لمّا يؤول x إلى الصفر.
نعوّض العاملين معا في الجداء.
و هي بالضبط معاكس النهاية التي حسبناها للتوّ.
3. التعميم على الدالة قوّة
الأسّ 1 ليس حالة خاصّة: كلّ ما سبق يبقى صحيحا مع xn مكان x، مهما كان n عددا طبيعيا غير معدوم. أربع نهايات، و هي التي تُستعمل فعليا في التمارين:
مهما رفعت درجة كثير الحدود، تبقى الأسّية أسرع. حتّى x¹⁵ — و قد رأيت قيمتها الهائلة عند x = 20 — تخسر السباق في النهاية.
و مهما صغرت درجة كثير الحدود، يبقى أسرع من اللوغاريتم. اللوغاريتم يتزايد إلى +∞ لكن ببطء لا يُضاهى.
و بجمع النتائج الثلاث نحصل على الترتيب الذي يلخّص الباب كلّه، و الذي يُقرأ على الرسم المقابل رأي العين:
الرمز ≪ يُقرأ « أبطأ بكثير من ». الدوال الثلاث تؤول كلّها إلى +∞، لكنّ سلوكها مختلف: الأسّية تتفوّق على القوّة، و القوّة تتفوّق على اللوغاريتم.
نعتبر النهايات lim(x → +∞) ex/x³ و lim(x → +∞) x³/ex و lim(x → +∞) ln x / x² و lim(x → -∞) x⁵ ex.
🎯المطلوب: عيّن كلّ نهاية من النهايات الأربع دون حساب.
النسبة من صيغة الأسّية على قوّة، و هي النهاية الشهيرة نفسها بـ n = 3.
النسبة الثانية مقلوبة: قوّة على أسّية.
و الثالثة لوغاريتم على قوّة، فتؤول إلى الصفر مهما كان الأسّ.
أمّا الجداء عند -∞ فالأسّية تسحق كثير الحدود.
الصفحة 1/7
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net