التزايد المقارن ودراسة الدوال
دراسة دوال كثيرات حدود، ناطقة، صماء، مثلثية و دوال القوى
ثلاث عائلات في هذا الدرس، و الخلط بينها هو الخطأ الأوّل: في ax الأساس ثابت، في xn الأسّ طبيعي، و في الدالة القوّة الأسّ عدد حقيقي أيّ. نبدأ بالأولى.
- دراسة اتّجاه تغيّر الدالة الأسّية ذات الأساس a حسب موضع a من العدد 1
- تعيين نهايات الدالة الأسّية ذات الأساس a عند حدود مجموعة التعريف
- اشتقاق الدالة الجذر النوني و الدالة القوّة و دراسة تغيّراتهما
- توظيف دالة قوّة في نمذجة وضعية و حلّ مشكلة
- تعريف قوّة عدد موجب تماما بأسّ حقيقي
- اشتقاق دالة مركّبة، و اتّجاه تغيّر مركّب دالتين
1. الدالة الأسّية ذات الأساس a
نضع، من أجل a موجبا تماما و مخالفا للعدد 1، الدالة المعرّفة على ℝ بـ ax. و لأنّها مركّب دالة تآلفية متبوعة بالأسّية، فهي قابلة للاشتقاق على ℝ:
العامل ln a هو مشتقّة الدالة الداخليّة x ln a. و بما أنّ ax موجب دائما، فإشارة المشتقّة هي إشارة ln a وحده.
موضع الأساس a من العدد 1 يقرّر كلّ شيء. و إذا كان a = 1 فالدالة ثابتة تساوي 1، و لهذا استُبعدت هذه الحالة.
لأنّ x ln a يؤول إلى -∞ ثمّ إلى +∞، و نركّب مع نهايتي الدالة الأسّية النيبيرية.
نفس الحساب، لكنّ ln a سالب فينقلب اتّجاه النهاية الداخليّة. المحور الأفقي مستقيم مقارب في الحالتين، لكن على طرفين متعاكسين.
و كلّ المنحنيات تمرّ بنقطة واحدة مشتركة: صورة الصفر هي 1 دائما؛ أمّا صورة 1 فهي a، و تتغيّر من منحنى إلى آخر. الرسم المقابل يجمع الحالتين مع جدولَي التغيّرات:
نعتبر الدالتين f و g المعرّفتين على ℝ بـ f(x) = 4x و g(x) = (0,25)x، و منحنييهما (C₁) و (C₂) على الترتيب، في معلم متعامد و متجانس.
🎯المطلوب: بيّن أنّ المنحنيين متناظران بالنسبة إلى محور التراتيب.
نحسب صورة العدد المعاكس بالدالة g، انطلاقا من التعريف.
و 0,25 هو مقلوب 4، فلوغاريتمه هو معاكس لوغاريتم 4.
فيصير الأسّ موجبا، و نعود إلى التعريف في الاتّجاه المعاكس.
و 4a ليس إلاّ صورة a بالدالة f: صورة العدد المعاكس بالدالة g تساوي صورة العدد نفسه بالدالة f، و هذا هو التناظر بالنسبة إلى محور التراتيب بعينه.
2. الدالة الجذر النوني
نضع، من أجل n طبيعي غير معدوم، الدالة المعرّفة على المجال [0 ; +∞[ بالجذر النوني للعدد x. كتابتها بأسّ ناطق تجعل اشتقاقها آليّا:
نفس قاعدة اشتقاق دوال القوى ذات الأسّ الصحيح، حرفا بحرف. و المشتقّة موجبة تماما على ]0 ; +∞[، فالدالة متزايدة تماما.
لأنّ الجذر النوني يساوي exp((1/n) ln x)، و اللوغاريتم يؤول إلى +∞ فتؤول الأسّية إلى +∞ بدورها — و لو ببطء شديد، كما رأيت في التزايد المقارن.
و منحناها متناظر مع منحنى الدالة xn بالنسبة إلى المستقيم ذي المعادلة y = x، لأنّ كلّ واحدة تعكس الأخرى — كما يُقرأ على الرسم المقابل:
3. الدالة القوّة ذات الأسّ الحقيقي
و أخيرا العائلة الأعمّ: الأسّ عدد حقيقي أيّ، يُرمز إليه بـ α، و الدالة معرّفة على المجال ]0 ; +∞[.
القاعدة المألوفة تبقى كما هي: ينزل الأسّ معاملا، و ينقص بواحد. الاشتقاق لا يفرّق بين أسّ صحيح و أسّ حقيقي.
لأنّ القوّة الظاهرة في المشتقّة موجبة دائما على المجال ]0 ; +∞[، فإشارة المشتقّة هي إشارة الأسّ α وحده. و α = 0 يعطي الدالة الثابتة 1، و α = 1 يعطي الدالة x.
و إذا كان α سالبا انقلبت النهايتان: الدالة تؤول إلى +∞ عند الصفر و إلى الصفر عند +∞، فيكون لمنحناها مستقيمان مقاربان هما المحوران.
تربط علاقة تجريبية مساحة جلد حيوان A بالسنتيمتر المربّع بوزنه p بالغرام: المساحة تساوي جداء 9,85 في الوزن مرفوعا إلى الأسّ 0,64، من أجل p موجب تماما.
🎯المطلوب: أدرس اتّجاه تغيّر الدالة A، ثمّ عبّر عن ln A بدلالة ln p و فسّر النتيجة.
نطبّق قاعدة اشتقاق دالة القوّة: ينزل الأسّ و ينقص بواحد.
نحسب المعامل، ثمّ الأسّ.
الأسّ سالب لكنّ القوّة تبقى موجبة على المجال، و المعامل موجب.
نأخذ اللوغاريتم النيبيري للطرفين، فينزل الأسّ معاملا.
و هذه علاقة تآلفية بين ln p و ln A: المنحنى يصير مستقيما.
نعتبر الدالة f المعرّفة على [0 ; +∞[ بـ f(x) = (x - 1)exp(-x/3) + 3، و (C) منحناها. تنمذج هذه الدالة مبلغ فاتورة الهاتف السنوية لثانوية، مقدّرا بعشرات الآلاف من الدنانير، حيث x رتبة السنة.
🎯المطلوب: أدرس نهاية الدالة f عند +∞، ثمّ حدّد وضعية المنحنى بالنسبة إلى مستقيمه المقارب.
الأسّ سالب، فنضع X معاكسا له حتّى نعود إلى الصيغة الشهيرة عند -∞.
العبارة تصير كثير حدود في X مضروبا في e أسّ X، و هي الصيغة المحفوظة.
و منه نهاية الدالة كلّها، فيظهر مستقيم مقارب أفقي.
نحسب الفرق بين الدالة و المستقيم لتحديد الوضعية.
الأسّية موجبة دائما، فإشارة الفرق هي إشارة x ناقص 1: المنحنى فوق مقاربه بعد السنة الأولى، و تحته قبلها.
الصفحة 1/7
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net