مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية

المتتاليات المحدودة و المتتاليتان المتجاورتان

🔊 المعلّمة تقرأ لك
متتالية متزايدة لا تتقارب بالضرورة: يكفي أن تصعد بلا سقف فتذهب إلى اللانهاية. لكن إن صعدت و كان فوقها سقف، فلا مفرّ لها: لا يمكنها أن تصعد إلى الأبد و لا أن تعود إلى الوراء. فمتى نضمن التقارب دون أن نعرف النهاية؟

هذه الحصّة تعطيك ما هو أثمن من نهاية: ضمان وجودها. سترى متتاليات نبرهن أنّها متقاربة دون أن نعرف نحو ماذا — و هكذا بالضبط عُرّفت أعداد مثل e و ln 2.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • إثبات أنّ متتالية محدودة من الأعلى أو من الأسفل، بثلاث طرق
  • توظيف مبرهنة الرتابة و الحدّ لضمان التقارب
  • التعرّف على متتاليتين متجاورتين و إثبات تجاورهما
  • حصر عدد غير معلوم بين متتاليتين متجاورتين
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • اتّجاه تغيّر متتالية و نهايتها
  • دراسة تغيّرات دالة و إشارة فرق

1. متتالية محدودة

  • محدودة من الأعلى: يوجد عدد حقيقي A حيث من أجل كلّ n ، ⁦uₙ ≤ A⁩. نقول إنّ A عنصر حادّ من الأعلى
  • محدودة من الأسفل: يوجد عدد حقيقي B حيث من أجل كلّ n ، ⁦uₙ ≥ B⁩
  • محدودة: محدودة من الأعلى و من الأسفل معا
محدودة

⭐ العنصر الحادّ ليس وحيدا: إن كان 7 حادّا من الأسفل فكذلك 6 و 5 و صفر. التمرين يطلب واحدا، لا الأحسن — و هذا يخفّف العمل كثيرا.

(∃ A , B) (∀ n ≥ n0) B ≤ un ≤ A
Aعنصر حادّ من الأعلىBعنصر حادّ من الأسفل

ثلاث طرق لإثبات الحدّ، و التمرين هو الذي يختار:

  1. بالتراجع: نثبت أنّ ⁦uₙ ≤ A⁩ عند كلّ رتبة — الطريق الوحيد غالبا للمتتاليات التراجعية
  2. بإشارة الفرق: ندرس إشارة ⁦uₙ − A⁩ مباشرة — الأسرع للحدّ العامّ الكسري
  3. بدراسة الدالة المرفقة: إن كان ⁦uₙ = f(n)⁩ ندرس تغيّرات f على المجال، فحدّها الأدنى أو الأعلى يعطي العنصر الحادّ

2. المبرهنة الأساسية

الرتابة و الحدّ

⛔ تُقبل بدون برهان في هذا المستوى. و بالمثل: متناقصة و محدودة من الأسفل ⟹ متقاربة. ⚖️ و انتبه: المبرهنة تضمن وجود النهاية، و لا تعطيها. معرفة أنّ العدد موجود شيء، و حسابه شيء آخر.

(un) ↗ ; (un) ≤ A ⟹ (∃ l ∈ ℝ) lim un = l
⛔ العنصر الحادّ ليس النهاية. متتالية ⁦⁦uₙ = 1 − 1/n⁩⁩ محدودة من الأعلى بـ 5 و بـ 100 و بـ 1، و نهايتها 1 وحدها. الحدّ يضمن التقارب، و لا يعيّن الحدّ الذي تتقارب نحوه.

3. متتاليتان متجاورتان

تعريف — تكون متتاليتان عدديتان متجاورتين إذا و فقط إذا كانت إحداهما متزايدة و الأخرى متناقصة، و الفرق بينهما يؤول إلى الصفر.

الشروط الثلاثة

الشروط الثلاثة معا. ⛔ متتاليتان تتقاربان نحو العدد نفسه ليستا بالضرورة متجاورتين: يلزم أيضا أن تحاصراه من الجهتين، إحداهما تصعد نحوه و الأخرى تنزل إليه.

(un) ↗ ; (vn) ↘ ; lim (vn − un) = 0
المبرهنة

⭐ هذه هي القوّة: متتاليتان تحاصران عددا، و المسافة بينهما تُمحى ⟹ العدد موجود و وحيد. لا نحسبه، بل نثبت وجوده و نحصره بالدقّة التي نريد.

(un) ↗ ; (vn) ↘ ; lim (vn − un) = 0 ⟹ lim un = lim vn = l
المتتاليتان لا تلتقيان أبدا، لكنّهما تحصران بينهما عددا وحيدا — و هكذا تُعرَّف أعداد لا تُكتب بكسر و لا بجذر.
مثال 1: حدّ من الأسفل بدراسة دالة

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة من أجل كلّ عدد طبيعي غير معدوم n بـ ⁦uₙ = (n² + n + 9)/n⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ محدودة من الأسفل، و عيّن عنصرا حادّا من الأسفل.

🔹الخطوة 1: الدالة المرفقة

المتتالية من الصيغة ⁦uₙ = f(n)⁩، فندرس الدالة على المجال الموجب.

f(x)=x² + x + 9x (x > 0)
🔹الخطوة 2: المشتقّة

نشتقّ بقاعدة قسمة دالتين.

f'(x)=(2x + 1)x − (x² + x + 9)x²=x² − 9x²
🔹الخطوة 3: إشارة المشتقّة

المقام موجب دائما، فالإشارة إشارة البسط، و هو فرق مربّعين.

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
🔹الخطوة 4: التغيّرات

على المجال الموجب يكون العامل الثاني موجبا، فالإشارة إشارة الأوّل.

f ↘ ]0 ; 3] ; f ↗ [3 ; +∞[
🔹الخطوة 5: القيمة الدنيا

فالقيمة الحدّية الدنيا تُبلغ عند ثلاثة.

f(3)=9 + 3 + 93=213=7
✅النّتيجة

و منه الحصر عند كلّ رتبة غير معدومة.

(∀ n ≥ 1) un ≥ 7
⭐ الدالة تعطي أكثر ممّا يُطلب: هي تعطي أحسن عنصر حادّ، أي القيمة الدنيا بالضبط. لاحظ أنّ الرتبة 3 عدد صحيح هنا، فالمتتالية تبلغ 7 فعلا؛ لو كانت القيمة الدنيا عند 3,4 لكان 7 حادّا دون أن يُبلغ.
مثال 2: حدّ من الأعلى بإشارة الفرق

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بـ ⁦uₙ = (2n² + 1)/(n² + 4)⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ محدودة من الأعلى بالعدد 2.

🔹الخطوة 1: الفرق

نحسب الفرق بين الحدّ العامّ و العنصر المرشّح.

un − 2=2n² + 1n² + 4 − 2
🔹الخطوة 2: التوحيد

نوحّد على المقام نفسه.

un − 2=2n² + 1 − 2(n² + 4)n² + 4
🔹الخطوة 3: النشر

ننشر البسط.

un − 2=2n² + 1 − 2n² − 8n² + 4=−7n² + 4
🔹الخطوة 4: الإشارة

البسط سالب و المقام موجب دائما، فالفرق سالب.

(∀ n ∈ ℕ) −7n² + 4 < 0
✅النّتيجة

فنستنتج الحصر.

(∀ n ∈ ℕ) un ≤ 2
⭐ حين يُعطى لك العنصر الحادّ، لا تدرس الدالة: اطرح. الفرق يعطي الجواب في أربعة أسطر، بينما الاشتقاق يأخذ صفحة. اقرأ ما يُطلب قبل أن تختار الطريق.
مثال 3: متتاليتان متجاورتان

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ* بـ ⁦uₙ = 1 + 1/2² + 1/3² + … + 1/n²⁩، و المتتالية ⁦(vₙ)⁩ المعرّفة بـ ⁦vₙ = uₙ + 1/n⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ المتتاليتين متجاورتان.

🔹الخطوة 1: تغيّر الأولى

نحسب فرق حدّين متتاليين من الأولى: كلّ ما يتبقّى هو الحدّ المضاف.

un+1 − un = 1(n + 1)²
🔹الخطوة 2: النتيجة الأولى

و هو موجب تماما، فالأولى متزايدة.

(∀ n ≥ 1) 1(n + 1)² > 0 ⟹ (un) ↗
🔹الخطوة 3: تغيّر الثانية

نحسب فرق حدّين متتاليين من الثانية بتعويض تعريفها.

vn+1 − vn=(un+1 − un) + 1n + 1 − 1n
🔹الخطوة 4: التوحيد

نعوّض الفرق الأوّل و نوحّد المقامات.

=1(n + 1)² + 1n + 1 − 1n=n + n(n + 1) − (n + 1)²n(n + 1)²
🔹الخطوة 5: النشر

ننشر البسط، فتتلاشى الحدود الجذرية و يبقى ناقص واحد.

n + n² + n − n² − 2n − 1 = −1 ⟹ vn+1 − vn = −1n(n + 1)²
🔹الخطوة 6: النتيجة الثانية

و هو سالب تماما، فالثانية متناقصة.

(vn) ↘
🔹الخطوة 7: الفرق

و الفرق بينهما هو ناقص مقلوب الرتبة، بالإشارة السالبة: الأولى تحت الثانية.

un − vn=un − (un + 1n)=−1n
✅النّتيجة

و مقلوب الرتبة يؤول إلى الصفر، فالشروط الثلاثة محقّقة.

lim (un − vn) = 0 ⟹ (un) ↗ ; (vn) ↘ ; un < vn
⭐ انتبه إلى الإشارة في الخطوة 7: طرح كمّية موجبة يعطي فرقا سالبا. و هذه الإشارة ليست تفصيلا حسابيا: هي التي تقول إنّ ⁦(uₙ)⁩ تبقى تحت ⁦(vₙ)⁩. من كتبها موجبة حصل على النهاية الصحيحة و فقد المعنى — و لم يعد يعرف أيّ المتتاليتين تحاصر العدد من الأسفل.
⛔ الفرق ⁦⁦uₙ − vₙ⁩⁩ و الفرق ⁦⁦vₙ − uₙ⁩⁩ ليسا الشيء نفسه. كلاهما يؤول إلى الصفر، فالشرط الثالث يُحقَّق في الحالتين — و لهذا يمرّ الخطأ دون أن ينبّه أحد. لكنّ الإشارة هي التي ترتّب المتتاليتين، و بها وحدها تكتب الحصر ⁦⁦uₙ ≤ l ≤ vₙ⁩⁩. اكتب دائما الفرق في الاتّجاه الذي يعطيك حصرا مقروءا، و تحقّق من إشارته بتعويض رتبة واحدة.
مثال 4: تجاور بحدّين عامّين

نعتبر المتتاليتين المعرّفتين على ℕ بـ ⁦uₙ = (3n + 2)/(n + 1)⁩ و ⁦vₙ = (3n + 10)/(n + 2)⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ المتتاليتين متجاورتان، ثمّ عيّن نهايتهما المشتركة.

🔹الخطوة 1: تغيّر الأولى

نحسب فرق حدّين متتاليين من الأولى.

un+1 − un=3n + 5n + 2 − 3n + 2n + 1
🔹الخطوة 2: التوحيد

نوحّد و ننشر البسط.

=(3n + 5)(n + 1) − (3n + 2)(n + 2)(n + 1)(n + 2)=1(n + 1)(n + 2)
🔹الخطوة 3: الصيغة المفصولة

و هو موجب، فالأولى متزايدة. و أوضح: نفصل الحدّ العامّ.

un = 3 − 1n + 1 ⟹ (un) ↗
🔹الخطوة 4: الثانية

و بالمثل للثانية.

vn = 3 + 4n + 2 ⟹ (vn) ↘
🔹الخطوة 5: الفرق

نحسب الفرق على مقام موحّد.

un − vn=−1n + 1 − 4n + 2=−5n + 6(n + 1)(n + 2)
🔹الخطوة 6: النهاية

درجة المقام أكبر من درجة البسط، فالكسر يؤول إلى الصفر.

lim (un − vn) = 0
✅النّتيجة

الشروط الثلاثة محقّقة، و الصيغتان المفصولتان تعطيان النهاية المشتركة.

lim un=lim vn=3
⭐ الخطوة 3 هي الحيلة التي توفّر نصف العمل: بقسمة البسط على المقام يصير ⁦⁦uₙ = 3 − 1/(n+1)⁩⁩، فيُقرأ اتّجاه التغيّر و النهاية في سطر واحد. جرّب هذا التفصيل في كلّ كسر من الدرجة الأولى على الدرجة الأولى.
⛔ التمرين النموذجي: متتاليتان مقرونتان، سؤال يطلب إثبات أنّ متتالية الفرق هندسية، ثمّ إثبات التجاور، ثمّ النهاية المشتركة. و النهاية تأتي دائما من كمّية ثابتة أخرى يعطيها التمرين (مجموع موزون، أو جداء). ابحث عنها: هي المفتاح الأخير.
الخلاصة: متتالية رتيبة و محدودة من الجهة التي تسير نحوها متقاربة، و المبرهنة تضمن الوجود لا القيمة. و متتاليتان متجاورتان — واحدة تصعد، أخرى تنزل، و الفرق يُمحى — تحاصران عددا واحدا. بهذه الحركة بالضبط تُبنى أعداد مثل e و لوغاريتم اثنين.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net