المتتاليات العددية
حل مشكلات توظف فيها المتتاليات و البرهان بالتراجع
هذه الحصّة ليست درسا جديدا: هي منهجية. كلّ أدواتها رأيتها، و الجديد هو تركيبها في تمرين واحد طويل — و هو بالضبط ما يقيسه الامتحان.
- تحرير حلّ كامل لتمرين يجمع التراجع و التجاور
- حصر عدد غير معلوم بمتتاليتين و التحكّم في دقّة الحصر
- الانتقال إلى النهاية في علاقة تراجعية لتعيين النهاية
- توظيف كمّية ثابتة لتعيين نهاية متتاليتين مقرونتين
- الاستدلال بالتراجع و المتتاليات المتجاورتان
- المتتاليات الهندسية و نهاياتها
1. المنهجية في أربع خطوات
- احسب الحدود الأولى: عددان أو ثلاثة يعطون الاتّجاه و ينبّهون إلى خطأ في القراءة
- ابحث عن الكمّية التي تنجو: متتالية مساعدة هندسية، أو مجموع موزون ثابت، أو فرق يتقلّص — التمرين يهديك إليها في سؤاله الأوّل
- أثبت ما يُطلب في الترتيب المعطى: كلّ سؤال يستعمل الذي قبله، و القفز يُسقط ما بعده
- عيّن النهاية بالمرور إلى الحدّ: في علاقة تراجعية أو في كمّية ثابتة
⭐ بشرط أن تكون f مستمرّة و أن نكون قد أثبتنا التقارب أوّلا. هذه العلاقة تعطي مرشّحين للنهاية، و الفرز بينهم يتمّ بشروط أخرى (الإشارة، الحصر).
إن تقاربت المتتاليتان نحو النهاية نفسها l، و كان مقدار موزون منهما ثابتا، فالمرور إلى النهاية يعطي l في سطر واحد. هذا هو مفتاح التمارين المقرونة.
2. الحصر و الدقّة
حصر عدد l بين متتاليتين يعطي أكثر من وجوده: يعطي قيمة مقرّبة مضبوطة الخطأ.
⭐ للحصول على دقّة مطلوبة، حلّ متراجحة في سعة الحصر، لا في الفرق الحقيقي الذي لا تعرفه. الحصر يعطي ضمانا؛ الخطأ الفعلي قد يكون أصغر بكثير.
نعتبر المتتاليتين المعرّفتين على ℕ بـ u₀ = 12، v₀ = 1، و من أجل كلّ عدد طبيعي n: u₍ₙ₊₁₎ = (uₙ + 2vₙ)/3 و v₍ₙ₊₁₎ = (uₙ + 3vₙ)/4. نضع wₙ = uₙ − vₙ و tₙ = 3uₙ + 8vₙ.
🎯المطلوب: أثبت أنّ (wₙ) هندسية و أنّ (tₙ) ثابتة، ثمّ أنّ (uₙ) و (vₙ) متجاورتان، و استنتج نهايتهما.
نحسب فرق المتتاليتين عند الرتبة الموالية بتعويض العلاقتين.
نبسّط البسط، فيظهر الفرق نفسه.
فحدّها العامّ، و أساسها محصور بين ناقص واحد و واحد.
نحسب الآن المقدار الموزون عند الرتبة الموالية.
فنجده يساوي المقدار نفسه: المتتالية ثابتة.
نحسب تغيّر كلّ متتالية بدلالة الفرق.
الأولى متناقصة و الثانية متزايدة و الفرق يؤول إلى الصفر: متجاورتان، فلهما نهاية واحدة l.
نمرّ إلى النهاية في الكمّية الثابتة.
نعتبر المتتاليتين المعرّفتين على ℕ بـ u₀ = 3 و u₍ₙ₊₁₎ = (uₙ + vₙ)/2 حيث vₙ = 7/uₙ.
🎯المطلوب: أثبت أنّ المتتاليتين متجاورتان و عيّن نهايتهما المشتركة، ثمّ برّر أنّ u₃ قيمة مقرّبة لهذه النهاية إلى 10 أسّ ناقص سبعة.
نحسب الحدود الأولى: كلّ حدّ هو متوسّط السابق و حاصل قسمة سبعة عليه.
نحسب فرق المتتاليتين عند الرتبة الموالية بتعويض التعريفين.
و بتعويض المتوسّط يظهر مربّع الفرق السابق.
المربّع موجب و الحدود موجبة، فالفرق موجب دائما: الأولى فوق الثانية.
و من الرتبة واحد نحصر من الأسفل بالحدّ الذي حسبناه.
فالمعامل أمام المربّع أصغر من العُشر، و منه حصر تربيعي.
الأولى متناقصة و الثانية متزايدة و الفرق يُمحى: متجاورتان، و النهاية تحقّق l = 7/l.
نعتبر المتتالية (uₙ) المعرّفة على ℕ* بـ uₙ = 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(2n).
🎯المطلوب: أثبت الحصر uₙ ≤ ln 2 ≤ uₙ + 1/(2n)، ثمّ استنتج نهاية المتتالية، و عيّن رتبة تعطي قيمة مقرّبة إلى الجزء من المائة.
نحصر اللوغاريتم بين دالتين تآلفيتين، بدراسة الفرق.
نطبّقه على النسبة بين رتبتين متتاليتين.
نجمع طرفا بطرف من الرتبة n إلى الرتبة 2n−1: اللوغاريتمات تتلسكب.
الطرف الأيسر هو مجموع مقلوبات من n+1 إلى 2n، أي المتتالية نفسها.
و الطرف الأيمن هو المجموع نفسه، منقولا خطوة إلى الوراء.
فيتشكّل الحصر المطلوب.
سعة الحصر تؤول إلى الصفر، فالمتتالية تتقارب نحو اللوغاريتم.
نعتبر المتتالية (uₙ) المعرّفة من أجل كلّ عدد طبيعي غير معدوم n بـ uₙ = (1 + 1/n)n.
🎯المطلوب: أثبت الحصر 0 ≤ e − uₙ ≤ 3/n، ثمّ استنتج أنّ المتتالية تتقارب نحو e.
ندرس الدالة التي تقيس الفرق بين الأسّي و مماسه عند الصفر.
المشتقّة تنعدم عند الصفر و تغيّر إشارتها، فالقيمة الدنيا هناك و تساوي الصفر.
نطبّقه على ناقص المتغيّر ثمّ نقلب، فنحصل على الحصر الثاني.
نأخذ في الأوّل مقلوب الرتبة و نرفع إلى الأسّ n.
و في الثاني مقلوب الرتبة الموالية، فيظهر الطرف الأعلى.
الفرق بين الطرفين هو الطرف الأدنى مقسوما على الرتبة، و هو أصغر من ثلاثة على الرتبة.
و السعة تؤول إلى الصفر.
الصفحة 1/7
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net