الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
مرافق عدد مركب و المستوي المركب
الجواب نعم، و الثمن بسيط إلى حدّ يثير الدهشة: يكفي أن نتّفق. نتّفق على أن نرفق بكلّ عدد مركب النقطة التي فاصلتها جزؤه الحقيقي و ترتيبها جزؤه التخيلي. عند هذا الاتّفاق يصير المستوي مستويا مركبا، و تصير كلّ عملية جبرية حركة هندسية: الجمع يصير جمع شعاعين، و تغيير إشارة الجزء التخيلي — أي أخذ المرافق — يصير تناظرا بالنسبة إلى محور الفواصل. و هذا الدرس يبني هذا الجسر في الاتّجاهين.
- تمثيل عدد مركب بنقطة و بشعاع في المستوي المركب، و قراءة لاحقة نقطة معطاة
- التعرّف على المحور الحقيقي و المحور التخيلي و على ما يميّز نقط كلّ منهما
- تعيين مرافق عدد مركب، و معرفة التحويل الهندسي الذي يقابله
- استعمال خواص المرافق في الحساب و في البرهان على مساواة
- حساب لاحقة الشعاع المعرّف بنقطتين، و لاحقة مرجح نقطتين مثقلتين
- حلّ معادلة من الدرجة الأولى ذات مجهول مركب
- تعيين مجموعة نقط معرّفة بشرط على الجزء الحقيقي أو على الجزء التخيلي
- المعلم المتعامد و المتجانس، و قراءة إحداثيات نقطة و إحداثيات شعاع
- التناظر بالنسبة إلى نقطة، و التناظر بالنسبة إلى مستقيم
- مرجح نقطتين مثقلتين، و العلاقة التي تعرّفه
- الشكل الجبري لعدد مركب، و الجمع و الضرب و القسمة في ℂ (الدرس السابق)
1. المستوي المركب: نقطة لكلّ عدد، و عدد لكلّ نقطة
ننسب المستوي إلى معلم متعامد و متجانس. ثمّ نرفق بكلّ عدد مركب النقطة التي إحداثياها هما جزآه، حسب الاتّفاق التالي.
الفاصلة هي الجزء الحقيقي، و الترتيب هو الجزء التخيلي. لا شيء آخر يُحفظ في هذا الدرس أهمّ من هذا السطر.
نقول عندئذ إنّ النقطة M هي صورة العدد المركب، و إنّ العدد المركب هو لاحقة النقطة. و لأنّ الشعاع الذي مبدؤه مبدأ المعلم و طرفه هذه النقطة يُعلم هو أيضا بالإحداثيين نفسيهما، نقول كذلك إنّ العدد المركب لاحقة لهذا الشعاع. و يسمّى المستوي حينئذ المستوي المركب.
و هذا الإرفاق تامّ في الاتّجاهين: كلّ نقطة من المستوي هي صورة عدد مركب واحد لا غير، و كلّ عدد مركب له صورة واحدة لا غير. و لهذا صار للمحورين اسمان جديدان:
- 🔵 المحور الحقيقي هو محور الفواصل، لأنّ نقطه هي بالضبط صور الأعداد الحقيقية: ترتيبها معدوم، أي جزؤها التخيلي معدوم.
- 🟣 المحور التخيلي هو محور التراتيب، لأنّ نقطه هي بالضبط صور الأعداد التخيلية الصرفة: فاصلتها معدومة، أي جزؤها الحقيقي معدوم.
ثلاث نقط لواحقها معطاة، و مطلوب تعيين لواحق نقط أخرى تُبنى منها بتناظرات. و ستلاحظ أنّ كلّ سؤال هندسي يتحوّل إلى سطر حسابي واحد.
🎯المطلوب: عيّن إحداثيات النقط الثلاث، ثمّ لاحقة نظيرة الثانية بالنسبة إلى مبدأ المعلم، ثمّ لاحقة نظيرة الأولى بالنسبة إلى محور الفواصل.
نقرأ الإحداثيات مباشرة من الشكل الجبري: الفاصلة هي الجزء الحقيقي و الترتيب هو الجزء التخيلي.
العدد الثاني جزؤه الحقيقي معدوم، فالنقطة على محور التراتيب.
و كذلك الثالثة، بجزأيها كما هما.
⭐ لإنشاء النقطة الثالثة بدقّة، نحسب بعدها عن مبدأ المعلم بدستور المسافة: مجموع مربّعي الإحداثيين هو ثلاثة أرباع زائد ربع، أي واحد.
إذن هذه النقطة تقع على الدائرة التي مركزها المبدأ و نصف قطرها واحد، و ترتيبها نصف: هكذا نضعها دون مسطرة مدرّجة.
نمرّ إلى النظيرة بالنسبة إلى المبدأ: التناظر المركزي يقلب إشارة الإحداثيين معا، أي يقلب إشارة اللاحقة كلّها.
و الآن النظيرة بالنسبة إلى محور الفواصل: الفاصلة تبقى، و الترتيب يقلب إشارته.
نعيد كتابة هذه الإحداثيات على شكل لاحقة.
2. لاحقة شعاع و لاحقة مرجح
ما دام لكلّ نقطة لاحقة، فمن الطبيعي أن نسأل عن لاحقة الشعاع المعرّف بنقطتين. و الجواب هو الترجمة الحرفية لعلاقة شال التي تعرفها.
⭐ لاحقة الطرف ناقص لاحقة المبدأ، بهذا الترتيب لا غيره. البرهان مباشر: الشعاع الذي طرفاه النقطتان هو فرق الشعاعين المرسومين من مبدأ المعلم.
بشرط أن يكون مجموع المعاملين غير معدوم، و هو الشرط نفسه الذي يضمن وجود المرجح. و الطريقة نفسها تُستعمل مهما كان عدد النقط.
إذا كان العدد لاحقة شعاع، فإنّ جداءه في عدد حقيقي هو لاحقة جداء الشعاع في هذا العدد الحقيقي نفسه. ⚠️ العدد λ هنا حقيقي، و هذا الشرط ضروري.
و أخيرا الجمع، و هو أجمل الترجمات: مجموع عددين مركبين هو لاحقة محصّلة الشعاعين، أي لاحقة الرأس الرابع لمتوازي الأضلاع المبني عليهما.
3. مرافق عدد مركب
عدنا الآن إلى التناظر بالنسبة إلى محور الفواصل، الذي قابلناه في المثال الأوّل. العدد الذي يقابل هذا التناظر له اسم و ترميز خاصّان.
نبقي الجزء الحقيقي كما هو، و نغيّر إشارة الجزء التخيلي وحده. و يُرمز للمرافق بخطّ أفقي فوق العدد. ⛔ لا تستبدل هذا الترميز بغيره: الخطّ فوق العدد هو ترميز المرافق المعتمد.
| العدد | مرافقه | ما الذي تغيّر |
|---|---|---|
| 2 + 8i | 2 − 8i | إشارة الجزء التخيلي وحدها |
| 3 − 11i | 3 + 11i | إشارة الجزء التخيلي وحدها |
| 4i | −4i | العدد تخيلي صرف: صار مقابله |
| −2 | −2 | العدد حقيقي: لم يتغيّر شيء |
و التفسير الهندسي هو ما توقّعناه: صورتا العدد و مرافقه لهما الفاصلة نفسها و ترتيبان متقابلان، فهما إذن متناظرتان بالنسبة إلى محور الفواصل، أي بالنسبة إلى المحور الحقيقي.
4. خواص المرافق
أربع خواص تخرج مباشرة من التعريف، دون أيّ حساب طويل. و هي الأدوات التي ستستعملها في البراهين:
⭐ نأخذ مرافق المرافق: الجزء التخيلي للمرافق هو ناقص y ، فمرافقه يحمل ناقص ناقص y ، أي y. فنعود إلى العدد الذي بدأنا منه. و هندسيا: تناظران متتاليان بالنسبة إلى المحور نفسه يعيدان النقطة إلى مكانها.
⭐ الجزآن التخيليّان متقابلان فيزولان، و يبقى ضعف الجزء الحقيقي. النتيجة عدد حقيقي دائما، و هذه هي أسرع طريقة للبرهان على أنّ عددا ما حقيقي.
هنا يزول الجزآن الحقيقيّان، و يبقى ضعف الجزء التخيلي مضروبا في i. النتيجة عدد تخيلي صرف دائما.
هي الخاصّية التي فتحت لنا القسمة في الدرس السابق: الجداء عدد حقيقي موجب، و لا ينعدم إلا إذا انعدم العدد نفسه.
و خمس خواص أخرى تربط المرافق بالعمليات، و كلّها تقول الشيء نفسه: المرافق يمرّ عبر العمليات دون أن يغيّرها.
من أجل كلّ عدد طبيعي غير معدوم n. و برهانها بالتراجع، انطلاقا من خاصّية الجداء.
بشرط أن يكون العدد غير معدوم.
بشرط أن يكون المقام غير معدوم.
و نبرهن على خاصّية الجداء لنرى كيف تُبنى هذه البراهين كلّها. نضع العددين على الشكل الجبري، ثمّ نحسب الطرفين كلّا على حدة، و نقارن:
هو دستور الجداء الذي أثبتناه في الدرس السابق.
نطبّق التعريف: نغيّر إشارة الجزء التخيلي وحده.
نكتب كلّ مرافق حسب التعريف، ثمّ نستعدّ لنشر الجداء.
⭐ ننشر حدّا حدّا، أربعة جداءات، و نبقي i² في هذا السطر دون أن نلمسه بعد. ⛔ هذه هي الخطوة التي تُقفز عادة، و هي التي تجعل البرهان مقروءا.
الحدّ الذي يحمل i² يقلب إشارته فيلتحق بالجزء الحقيقي، و الحدّان الآخران يتجمّعان في الجزء التخيلي.
5. تطبيق أوّل: حلّ معادلة من الدرجة الأولى في ℂ
معادلة من الدرجة الأولى ذات مجهول مركب تُحلّ كما تُحلّ في ℝ تماما: نعزل المجهول في طرف، ثمّ نقسم. و العمل الإضافي الوحيد هو ردّ الحاصل إلى الشكل الجبري بضربه في مرافق المقام.
🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة ذات المجهول المركب.
ننقل الحدّ الثابت إلى الطرف الآخر.
نقسم على معامل المجهول، و هو غير معدوم.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام لنردّ الحاصل إلى الشكل الجبري.
نحسب المقام: جداء عدد في مرافقه، فهو مجموع مربّعي جزأيه.
نبسّط: العدد 26 يساوي ضعف 13.
ننشر.
⭐ نتحقّق بالتعويض في المعادلة الأصلية، و هو سطر واحد يشتري لك الاطمئنان.
حين يظهر المجهول في الطرفين، نجمّعه أوّلا في طرف واحد، بالضبط كما في ℝ. و حين تظهر كسور، نضرب الطرفين في المقام المشترك قبل كلّ شيء.
🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة ذات المجهول المركب.
نضرب الطرفين في 2 للتخلّص من المقام.
نجمّع الحدود التي تحمل المجهول في طرف، و الثوابت في الطرف الآخر.
نعمّل المجهول في الطرف الأيسر.
نقسم على المعامل.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام.
نحسب المقام: مجموع مربّعي جزأيه، و مربّع الجذر التربيعي للعدد 3 هو 3.
⭐ نقسم البسط على 7 قبل النشر: العددان 28 و 42 مضاعفان للعدد 7 ، فالقسمة تامّة و تختصر علينا حسابا طويلا. ⛔ هذه الخطوة تُقفز عادة، و بدونها تتضخّم الأعداد بلا داع.
نعيد كتابة الحاصل بعد التبسيط.
ننشر الجداء حدّا حدّا، مع إبقاء i² في هذا السطر.
نعوّض i² بـ ناقص واحد، فيصير الحدّ الأخير حقيقيا سالبا.
نجمّع الحقيقي مع الحقيقي و التخيلي مع التخيلي.
⚖️ قيمة مقرّبة إلى الجزء من مئة، حسبناها للتصوّر فقط. الجذر التربيعي للعدد 3 قريب من واحد فاصل سبعمائة و اثنين و ثلاثين، فستّة أمثاله قريبة من عشرة فاصل تسعة و ثلاثين.
⚖️ قيمة مقرّبة إلى الجزء من ألف، حسبناها للتصوّر فقط.
6. تطبيق ثان: المرافق في البرهان
الخواص التي رأيناها ليست للزينة: هي التي تسمح بالانتقال من جذر لكثير حدود إلى جذر آخر دون أيّ حساب جديد. و هذا هو المثال الذي يظهر في الامتحانات أكثر من غيره.
كثير حدود معاملاته أعداد حقيقية. سنبرهن أوّلا على أنّ مرافق قيمته يساوي قيمته عند المرافق، ثمّ نستثمر ذلك.
🎯المطلوب: أثبت أنّ مرافق صورة العدد يساوي صورة مرافقه، ثمّ استنتج جذرا آخر لكثير الحدود.
نبدأ بمرافق الصورة، و نطبّق خاصّية مرافق المجموع على الحدود الثلاثة.
نطبّق خاصّية مرافق القوّة على الحدّ الأوّل.
و على الحدّ الثاني بالطريقة نفسها.
⭐ و نطبّق على الحدّ الثابت الملاحظة التي رأيناها في جدول الأمثلة: مرافق عدد حقيقي هو العدد نفسه. ⛔ هذه الخطوة تُقفز عادة، و هي التي يقوم عليها البرهان كلّه.
نجمع النتائج الثلاث في سطر واحد.
⭐ و الطرف الذي وصلنا إليه هو بالضبط ما نحصل عليه لو عوّضنا المرافق مكان العدد في كثير الحدود. إذن مرافق الصورة يساوي صورة المرافق، و هذا هو المطلوب الأوّل.
ننتقل إلى الاستثمار. نحسب صورة العدد الذي أعطي لنا: نبدأ بمربّعه.
ثمّ مكعّبه، بضرب المربّع في العدد نفسه.
نعوّض في كثير الحدود.
⭐ الآن نستعمل ما برهنّاه: بما أنّ الصورة معدومة، فمرافقها معدوم أيضا، و مرافق الصورة هو صورة المرافق.
و مرافق العدد المعطى هو نظيره بالنسبة إلى المحور الحقيقي.
7. تطبيق ثالث: مجموعة نقط معرّفة بشرط
آخر ما يفتحه المستوي المركب: أن نترجم شرطا جبريا على عدد مركب إلى مجموعة نقط في المستوي. و الطريقة واحدة دائما: نكتب العدد على الشكل الجبري، ثمّ نطبّق شرط الحقيقي أو شرط التخيلي الصرف الذي رأيناه في الدرس السابق.
نقطة تتحرّك في المستوي، فاصلتها و ترتيبها حرّان، و يُرفق بها عدد مركب يتعلّق بهما. و المطلوب: أين تقع النقطة لكي يكون هذا العدد حقيقيا، ثمّ تخيليا صرفا؟
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط في الحالتين: أن يكون العدد حقيقيا، ثمّ أن يكون تخيليا صرفا.
نبدأ دائما بالشكل الجبري: ننشر الجداء لنفصل ما يحمل i عمّا لا يحمله.
نجمّع الحدّين الحقيقيّين معا، و الحدّين اللذين يحملان i معا.
نقرأ الجزأين مباشرة على هذه الكتابة.
و كذلك الجزء التخيلي.
⭐ الحالة الأولى: يكون العدد حقيقيا إذا و فقط إذا انعدم جزؤه التخيلي.
نحلّ هذه المعادلة الحقيقية البسيطة.
و هذه معادلة مستقيم أفقي، هو مجموعة النقط المطلوبة في الحالة الأولى.
⭐ الحالة الثانية: يكون العدد تخيليا صرفا إذا و فقط إذا انعدم جزؤه الحقيقي.
نعزل الترتيب بدلالة الفاصلة.
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net