الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
حل معادلة من الشكل z² = z₀ و الجذران التربيعيان
الجواب في جملة واحدة: نعم، و لكلّ عدد مركب غير معدوم جذران بالضبط، لا أكثر و لا أقلّ. و الطريقة إلى حسابهما ليست بالتخمين، بل بجملة من ثلاث معادلات حقيقية نبنيها من العدد المعطى، و تعطينا الجذرين مهما كان هذا العدد. و هذا الدرس يبني تلك الجملة، ثمّ يدرّبك عليها حتّى تصير عندك آلية.
- تعريف الجذرين التربيعيّين لعدد مركب، و ربطهما بمعادلة من الشكل مربّع المجهول يساوي عددا معلوما
- معرفة أنّ كلّ عدد مركب غير معدوم له جذران تربيعيان متقابلان، و ما يشذّ عن ذلك
- كتابة جملة المعادلات الثلاث التي تعطي الجذرين التربيعيّين، و معرفة مصدر كلّ منها
- حلّ هذه الجملة، و استعمال إشارة جداء المجهولين لاختيار الزوجين الصحيحين
- التحقّق من الجذرين بالتربيع قبل تسليم الجواب
- الشكل الجبري لعدد مركب و العمليات عليه، خاصّة نشر مربّع مجموع أو فرق
- أنّ عددين مركبين متساويان إذا تساوى جزآهما الحقيقيان و جزآهما التخيليان
- حساب طويلة عدد مركب، أي الجذر التربيعي لمجموع مربّعي جزأيه
- حلّ جملة معادلتين ذات مجهولين، بالجمع و بالطرح
1. ما هو الجذر التربيعي لعدد مركب؟
التعريف هو التعريف نفسه الذي تعرفه، منقولا حرفيا إلى ℂ: الجذر التربيعي لعدد هو العدد الذي مربّعه يساويه. و بعبارة أخرى، البحث عن الجذور التربيعية لعدد هو حلّ معادلة.
نسمّي الجذرين التربيعيّين للعدد المعلوم حلّي هذه المعادلة في ℂ.
و قبل أن نبني الطريقة العامّة، لننظر إلى حالتين نستطيع فيهما التحقّق مباشرة بالتربيع:
ننشر المربّع، ثمّ نعوّض i² بـ ناقص واحد: أربعة ناقص واحد يساوي ثلاثة. إذن 2 − i جذر تربيعي للعدد 3 − 4i.
⭐ مربّع عدد و مربّع مقابله متساويان دائما، لأنّ ناقص في ناقص يعطي زائد. فمتى وجدت جذرا واحدا، فقد وجدت الثاني معه.
و مقابله ناقص 3i يعطي النتيجة نفسها. فجذرا العدد ناقص تسعة هما 3i و مقابله — و هما ليسا حقيقيّين، و هذا طبيعي: لا عدد حقيقي مربّعه سالب.
2. الأداة: تساوي عددين مركبين بثلاث معادلات
لحلّ المعادلة نضع المجهول على الشكل الجبري و نساوي. و هنا نستعمل صيغة للتساوي أوسع من التي نعرفها، تضيف معادلة ثالثة:
و لعلّك تسأل: أليست المعادلتان الأوليان كافيتين؟ بلى، كافيتان تماما — فعددان لهما الجزء الحقيقي نفسه و الجزء التخيلي نفسه هما العدد نفسه، و طويلتاهما متساويتان تلقائيا. فالمعادلة الثالثة ليست شرطا إضافيا، و لا تضيف قيدا جديدا.
3. الطريقة العامّة، في خمس خطوات
نضع المجهول على الشكل الجبري، ثمّ نربّعه، ثمّ نساوي بين مربّعه و العدد المعطى بالمعادلات الثلاث. لنبن الجملة مرّة واحدة، و لن نحتاج بعدها إلى إعادة بنائها.
ننشر مربّع المجموع: مربّع الأوّل، زائد ضعف الجداء، زائد مربّع الثاني. ثمّ نعوّض i²y² بـ ناقص y². فالجزء الحقيقي للمربّع هو فرق المربّعين، و جزؤه التخيلي هو ضعف الجداء.
طويلة المربّع هي مربّع الطويلة، و مربّع الطويلة هو مجموع مربّعي الجزأين. و هذا هو مصدر المعادلة الثالثة.
| معادلة الجملة | من أين تأتي | ما الذي تعطيه |
|---|---|---|
| x² − y² = a | تساوي الجزأين الحقيقيّين | فرق المربّعين |
| 2 x y = b | تساوي الجزأين التخيليّين | جداء المجهولين، و خاصّة إشارته |
| x² + y² = |w| | تساوي الطويلتين | مجموع المربّعين — و هو مفتاح الحلّ |
نجمع المعادلة الأولى مع الثالثة: يزول مربّع الترتيب، و يبقى ضعف مربّع الفاصلة.
نطرح المعادلة الأولى من الثالثة: يزول مربّع الفاصلة هذه المرّة.
هذا هو المثال المرجعي للدرس. أنجزه بيدك عدّة مرّات حتّى تصير الخطوات تلقائية، فهو الشكل الذي يأتي به الامتحان.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيّين للعدد المركب المعطى.
نضع الجذر المطلوب على الشكل الجبري، و نسمّي جزأيه.
نربّع المجهول و نكتب مربّعه على الشكل الجبري.
نحسب طويلة العدد المعطى: الجذر التربيعي لمجموع مربّعي جزأيه.
نكتب المعادلة الأولى: تساوي الجزأين الحقيقيّين.
ثمّ الثانية: تساوي الجزأين التخيليّين.
ثمّ الثالثة: تساوي الطويلتين، و هي التي تعطي المجموع.
⭐ نجمع معادلة الفرق مع معادلة المجموع: يزول مربّع الترتيب.
نقسم على 2.
و نطرح معادلة الفرق من معادلة المجموع: يزول مربّع الفاصلة.
نقسم على 2.
⭐ الآن الإشارة: جداء المجهولين يساوي ثلاثة، و هو موجب، فالمجهولان من الإشارة نفسها. ⛔ بدون هذا السطر نحتفظ بأربعة أزواج بدل زوجين.
نستخرج الزوجين المقبولين: كلاهما بإشارتين متّفقتين.
نعيد تركيب الجذرين من كلّ زوج.
⭐ نتحقّق بالتربيع، و هو السطر الذي يجعل جوابك مضمونا.
الطريقة نفسها، بأعداد أكبر قليلا. و ستلاحظ أنّ الخطوات لا تتغيّر أبدا.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيّين للعدد المركب المعطى.
نحسب الطويلة أوّلا.
نكتب معادلة الفرق.
ثمّ معادلة الجداء.
ثمّ معادلة المجموع.
نجمع معادلتي الفرق و المجموع.
و نطرحهما.
الجداء موجب، فالمجهولان من الإشارة نفسها.
نركّب الجذرين.
نتحقّق بالتربيع.
نعيد الآن إيجاد جذري العدد الذي تحقّقنا منه في بداية الدرس، لكن بالطريقة العامّة هذه المرّة — أي دون أن نعرف الجواب مسبقا.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيّين للعدد المعطى بالطريقة العامّة.
نحسب الطويلة.
نكتب معادلة الفرق: الجزء الحقيقي هنا موجب.
ثمّ معادلة الجداء: الجزء التخيلي سالب.
ثمّ معادلة المجموع.
نجمع.
نطرح.
⭐ الجداء سالب هذه المرّة، فالمجهولان من إشارتين مختلفتين. لاحظ كيف قلبت إشارة واحدة في المعطى كلّ الأزواج المقبولة.
نركّب الجذرين بإشارتين مختلفتين.
نتحقّق بالتربيع.
حالة خاصّة تستحقّ الوقوف: العدد المعطى حقيقي سالب. الطريقة نفسها تشتغل، و تعطي جذرين تخيليّين صرفين.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيّين للعدد الحقيقي المعطى بالطريقة العامّة.
طويلة عدد حقيقي هي قيمته المطلقة.
معادلة الفرق: الجزء الحقيقي هو ناقص تسعة.
معادلة الجداء: الجزء التخيلي معدوم.
معادلة المجموع.
نجمع: مربّع الفاصلة معدوم.
نطرح.
الفاصلة معدومة، فالجذران تخيليان صرفان.
و الترتيب يأخذ القيمتين المتقابلتين.
بقيت حالة واحدة لم نعالجها، و هي التي تفسّر القيد « غير معدوم » في نصّ القاعدة.
🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة التي مربّع مجهولها معدوم.
نطبّق الطريقة: الطويلة معدومة، و الجزآن معدومان.
مربّع الفاصلة يخرج معدوما.
و كذلك مربّع الترتيب.
فالمجهولان معدومان معا، و لا يوجد اختيار في الإشارة.
الصفحة 1/9
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net