الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
الإحداثيات القطبية، الطويلة و العمدة و الشكل المثلثي
الجواب في جملة واحدة: البعد هو الطويلة، و الاتّجاه هو العمدة. لكلّ عدد مركب غير معدوم عددان يعيّنانه تماما مثلما يعيّنه جزآه الحقيقي و التخيلي: مسافة صورته عن المبدأ، و الزاوية التي يصنعها الشعاع الواصل بينهما مع محور الفواصل. هذا الدرس يبني هذين العددين واحدا واحدا، ثمّ يجمعهما في كتابة واحدة اسمها الشكل المثلثي.
- قراءة الإحداثيات القطبية لنقطة و الانتقال منها إلى الإحداثيات الديكارتية
- حساب طويلة عدد مركب انطلاقا من كتابته الجبرية، و تبسيط الجذر دائما
- استعمال خواصّ الطويلة في الجداء و القسمة و القوّة
- تعيين عمدة لعدد مركب غير معدوم، و كتابتها بترديد 2π لا بمساواة جافّة
- التعرّف على الشكل المثلثي لعدد مركب غير معدوم و على الشرط الذي يجعله صحيحا
- الكتابة الجبرية لعدد مركب و تمثيله بنقطة في المستوي المركب
- حساب مسافة بين نقطتين بمبرهنة فيثاغورس، و تبسيط الجذور التربيعية
- القيم المضبوطة لتجيب و جيب الزوايا المألوفة
- قيس زاوية موجهة بالرديان، و أنّ الزاوية الموجهة معرّفة بترديد 2π
1. الإحداثيات القطبية: بعد و زاوية بدل فاصلة و ترتيب
لتكن M نقطة من المستوي تختلف عن المبدأ O، في معلم متعامد و متجانس مباشر. نسمّي الإحداثيات القطبية للنقطة M الثنائية المكوّنة من المسافة r التي تفصل M عن O، و من قيس الزاوية الموجهة θ التي يصنعها محور الفواصل مع الشعاع الواصل من O إلى M. الأولى مسافة، فهي موجبة تماما ما دامت M تختلف عن O؛ و الثانية زاوية، فهي معرّفة بترديد 2π.
ترتيب الكتابة مهمّ: البعد أوّلا، ثمّ الزاوية. و الفاصل بينهما فاصلة منقوطة، لا فاصلة عادية، حتّى لا تختلط الزاوية الكسرية بالإحداثية الثانية.
و الانتقال من الوصف القطبي إلى الوصف الديكارتي ليس اصطلاحا، بل هو قراءة مباشرة للمثلث القائم الذي تحدّده النقطة مع محور الفواصل: الفاصلة هي الضلع المجاور للزاوية، و الترتيبة هي الضلع المقابل لها، و الوتر هو البعد r.
في المثلث القائم، تجيب الزاوية يساوي الضلع المجاور على الوتر، أي x على r. نضرب الطرفين في r فنحصل على هذه المساواة.
و جيب الزاوية يساوي الضلع المقابل على الوتر، أي y على r. الضرب في r يعطي المساواة.
في معلم متعامد و متجانس مباشر، النقطة A إحداثياتها القطبية هي الثنائية المكوّنة من البعد 2 و الزاوية ربع π.
🎯المطلوب: عيّن الإحداثيات الديكارتية للنقطة A.
نطبّق المساواة التي تعطي الفاصلة، بعد أن نتذكّر أنّ تجيب ربع π يساوي جذر 2 على 2.
نعوّض القيمة المضبوطة و نبسّط: الجداء في 2 يحذف المقام.
ثمّ الترتيبة، و جيب ربع π يساوي كذلك جذر 2 على 2.
نجمع الإحداثيتين في ثنائية واحدة.
في المعلم نفسه، النقطة B إحداثياتها القطبية هي الثنائية المكوّنة من البعد نصف و الزاوية ثلثا π.
🎯المطلوب: احسب الإحداثيات الديكارتية للنقطة B ثمّ حدّد الربع الذي تقع فيه.
تجيب ثلثي π يساوي ناقص نصف: الزاوية منفرجة، فالتجيب سالب.
نعوّض و نضرب الكسرين.
و جيب ثلثي π يساوي جذر 3 على 2، و هو موجب لأنّ النقطة فوق محور الفواصل.
نضرب.
نجمع الإحداثيتين.
2. طويلة عدد مركب: البعد، بالحساب
ننتقل الآن من النقطة إلى العدد. إذا كان z عددا مركبا كتابته الجبرية x زائد i y حيث x و y عددان حقيقيان، فإنّ صورته في المستوي المركب هي النقطة ذات الفاصلة x و الترتيبة y. و طويلة العدد z هي بالضبط بعد هذه الصورة عن المبدأ.
⭐ هي مبرهنة فيثاغورس، لا أكثر: المسافة من المبدأ إلى النقطة هي وتر مثلث قائم ضلعاه x و y. و لهذا كانت الطويلة عددا حقيقيا موجبا دائما.
M صورة العدد z. الطويلة ليست عددا مجرّدا: هي طول قابل للقياس على الرسم.
⭐ الشكل الذي تستعمله في الحساب فعلا: يتخلّص من الجذر، فلا تحمل الجذور معك في كلّ سطر. تعود إلى الجذر في السطر الأخير وحده.
إذا كان الجزء التخيلي معدوما فالجذر يصير جذر مربّع x، و هو القيمة المطلقة. فالطويلة تعميم للقيمة المطلقة، لا مفهوم جديد يزاحمها.
مجموع مربّعين معدوم يفرض أن يكون كلّ مربّع معدوما، أي x معدوما و y معدوما معا. و هذه هي النقطة الوحيدة التي تنطبق على المبدأ.
⭐ سطر واحد يحوّل كلّ سؤال عن مسافة إلى حساب طويلة. تطرح اللاحقتين، ثمّ تحسب طويلة الفرق: انتهى.
خواصّ الطويلة: لماذا نفضّلها على الجزأين
الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي يتصرّفان جيّدا مع الجمع و سيّئا مع الجداء. الطويلة تفعل العكس تماما: هي ضربية، أي تعبر الجداء و القسمة و القوّة كما لو أنّ العدد المركب عدد حقيقي موجب. و هذا هو سبب وجودها في الحساب.
المرافق يغيّر إشارة الجزء التخيلي فقط، و التربيع يمحو هذه الإشارة: y و ناقص y لهما المربّع نفسه. هندسيا: نقطة و نظيرتها بالنسبة إلى محور الفواصل على المسافة نفسها من المبدأ.
المقابل يغيّر إشارة الجزأين معا، و المربّعان لا يتغيّران. هندسيا: نظيرة النقطة بالنسبة إلى المبدأ تبعد عنه المسافة نفسها.
⭐ هذه هي الخاصية التي تشتغل بها فعلا: طويلة جداء هي جداء الطويلتين. بها تحسب طويلة عبارة طويلة دون أن تنشرها.
بشرط أن يكون z' غير معدوم، و إلّا لما كانت القسمة ممكنة أصلا. تُبرهن بضرب الطرفين في طويلة z' و استعمال خاصية الجداء.
⭐ هي خاصية الجداء مطبّقة n مرّة. ⚠️ و الشرط على n ليس زينة: من أجل أسّ نسبي سالب يجب زيادة الشرط z غير معدوم، لأنّ القوّة السالبة قسمة مقنّعة.
⭐ الجمع هو الوحيد الذي لا تعبره الطويلة بمساواة، بل بمتباينة. و القراءة الهندسية تجعلها بديهية: الطريق المستقيم من المبدأ إلى نهاية المجموع أقصر من المرور بنقطة وسطى. لا نبرهنها هنا، و نقبلها.
نضع z جداء العددين المركبين 2 زائد i و ناقص 5 زائد 3i.
🎯المطلوب: احسب طويلة العدد المركب z دون أن تنشر الجداء.
نطبّق خاصية طويلة الجداء: نفصل الطويلتين بدل أن ننشر.
نحسب مربّع الطويلة الأولى: مجموع مربّعي 2 و 1.
و مربّع الطويلة الثانية: مجموع مربّعي ناقص 5 و 3، و المربّع يمحو الإشارة.
نأخذ الجذرين ثمّ نضربهما، و جداء جذرين هو جذر الجداء.
نتأكّد أنّ 170 لا يقبل عاملا مربّعا: عوامله الأوّلية 2 و 5 و 17، و كلّها بأسّ واحد.
نضع z حاصل قسمة العدد 3 ناقص 4i على العدد جذر 3 ناقص i.
🎯المطلوب: احسب طويلة العدد المركب z.
نفصل طويلة البسط عن طويلة المقام.
مربّع طويلة البسط: مجموع مربّعي 3 و ناقص 4.
و مربّع طويلة المقام: مربّع جذر 3 يساوي 3، و مربّع ناقص 1 يساوي 1.
نقسم.
نضع z الكسر الذي بسطه 1 ناقص i مرفوعا إلى القوّة 6 و مقامه ناقص 8 ناقص 6i مربّعا، و العبارة كلّها مرفوعة إلى القوّة 3.
🎯المطلوب: احسب طويلة العدد المركب z و أعط النتيجة على شكل كسر غير قابل للاختزال.
العبارة كلّها مرفوعة إلى القوّة 3: نبدأ بإخراج هذه القوّة بخاصية طويلة القوّة.
ثمّ نفصل البسط عن المقام بخاصية طويلة الحاصل.
ثمّ نُخرج القوّتين الداخليتين، كلّ واحدة على طويلتها.
طويلة 1 ناقص i هي جذر 2، و رفعها إلى القوّة 6 يعطي 2 مرفوعا إلى القوّة 3.
و طويلة ناقص 8 ناقص 6i هي جذر 100 أي 10، و مربّعها 100.
نعوّض في الشكل المختزل.
نرفع البسط و المقام إلى القوّة 3 كلّا على حدة.
و هذا هو الجواب في شكله المختزل.
3. عمدة عدد مركب غير معدوم: الاتّجاه، بالحساب
بقي الاتّجاه. ليكن z عددا مركبا غير معدوم و M صورته في المستوي المركب. نسمّي عمدة العدد z كلّ قيس بالرديان للزاوية الموجهة التي يصنعها محور الفواصل مع الشعاع الواصل من المبدأ إلى M. و ما دامت الزاوية الموجهة معرّفة بترديد دورة كاملة، فللعدد الواحد عدد غير منته من العمد، تختلف الواحدة عن الأخرى بمضاعف لدورة كاملة.
⭐ اقرأ الرمز الأوسط « يوافق »، لا « يساوي »، و اقرأ ما بين القوسين المعقوفين « بترديد دورة كاملة ». هذه الكتابة هي عقد الدرس كلّه.
من عمدة واحدة تخرج كلّ العمد: يكفي أن تضيف أو تطرح دورات كاملة. و لهذا نقول عمدة بالتنكير، لا العمدة بالتعريف.
و للعمدة قراءة هندسية تجعلها أداة في الهندسة لا في الحساب فقط: فرق عمدتين هو قيس زاوية. فإذا كانت A و B نقطتين لاحقتاهما غير معدومتين، فإنّ قيس الزاوية الموجهة من الشعاع الأوّل إلى الشعاع الثاني يوافق فرق العمدتين بترديد دورة كاملة.
⚠️ الترديد ضروري هنا و ليس زخرفا: الطرفان زاويتان، و الزوايا لا تتساوى إلّا بترديد دورة كاملة.
⭐ الصيغة التي تحوّل مستقيما إلى عدد: عمدة الفرق هي اتّجاه الشعاع الواصل بين النقطتين، مقيسا من محور الفواصل.
خواصّ العمدة: ما تفعله الطويلة بالضرب، تفعله العمدة بالجمع
لاحظ التقابل، فهو مفتاح الباب كلّه: عند ضرب عددين تُضرب الطويلتان و تُجمع العمدتان. الطويلة تضاعف، و العمدة تدير. هاتان الخاصيتان معا هما ما يجعل الشكل المثلثي أنفع من الشكل الجبري في كلّ ما يتعلّق بالجداء و القوى.
⭐ تُبرهن بنشر جداء الشكلين المثلثيين ثمّ تطبيق دستوري جمع الزوايا في تجيب و جيب المجموع. الحساب كامل في الدرس الموالي.
بضرب البسط و المقام في مرافق المقام z'، فيصير المقام مجموع مربّعي تجيب و جيب عمدة z' أي 1. ⚠️ انتبه: المرافق مرافق المقام، فالعمدة التي تظهر في المقام هي عمدة z' لا عمدة z.
⭐ هذا هو السطر الذي يُخطئ فيه أغلب التلاميذ، و الذي يجب أن تكتبه بعناية: العمدة هنا عمدة المقام، لأنّ المرافق الذي ضربنا به هو مرافق المقام. لو كتبت عمدة البسط لصار السطر غير مفهوم، حتّى و إن كان الناتج 1 في الحالتين.
بالاستدلال بالتراجع انطلاقا من عمدة الجداء: كلّ ضرب جديد في z يضيف عمدة واحدة.
نعتبر العدد المركب z الذي كتابته الجبرية هي ناقص 7i.
🎯المطلوب: عيّن طويلة العدد z و عمدة له، دون استعمال أيّ دستور.
الجزء الحقيقي معدوم، فالصورة تقع على محور التراتيب.
نحسب مربّع الطويلة: مجموع مربّعي 0 و ناقص 7.
نأخذ الجذر، و الطويلة موجبة.
الجزء التخيلي سالب، فالصورة على الجزء السالب من محور التراتيب، أي على ربع دورة في الاتّجاه المعاكس للاتّجاه المباشر.
نكتب النتيجة الأولى: البعد.
ثمّ النتيجة الثانية: الاتّجاه، بترديد دورة كاملة.
4. الشكل المثلثي: الطويلة و العمدة في كتابة واحدة
جمعنا الآن كلّ ما يلزم. لنعوّض في الكتابة الجبرية الفاصلة و الترتيبة بقيمتيهما بدلالة البعد و الزاوية: يصير العدد جداء عدد موجب في عبارة لا تحمل إلّا الزاوية. هذه هي الكتابة التي نسمّيها الشكل المثلثي.
نقطة الانطلاق، و لا شيء آخر.
نستعمل المساواتين اللتين أثبتناهما في الفقرة الأولى، كلّ واحدة في موضعها.
⭐ بعامل مشترك r. و لاحظ ما يقوله هذا الشكل: العدد المركب غير المعدوم هو تمدّد بالنسبة r يليه دوران بالزاوية θ. المعامل يحمل البعد، و القوسان يحملان الاتّجاه.
المعامل الذي أمام القوسين ليس عاملا كيفما اتّفق: هو الطويلة بعينها.
و الزاوية التي تظهر في التجيب و في الجيب ليست زاوية كيفما اتّفقت: هي عمدة للعدد.
و للشكل المثلثي خاصيتان تُستعملان في كلّ تمرين تقريبا. الأولى تقول متى يتساوى عددان مكتوبان على هذا الشكل، و الثانية تقول متى يحقّ لنا أن نقرأ الطويلة و العمدة مباشرة على كتابة وجدناها.
الشرط الأوّل للتساوي: الطويلتان. عددان مكتوبان على الشكل المثلثي لا يتساويان إلّا إذا كانت لهما الطويلة نفسها — و هذا معقول، فالطويلة مسافة و المسافة لا تحتمل كتابتين.
الطويلتان عددان حقيقيان موجبان، فالتساوي بينهما تساو عادي، بلا ترديد و بلا شرط.
⭐ أمّا العمدتان فلا يلزم أن تتساويا، بل يكفي أن تتوافقا بترديد دورة كاملة: دورة كاملة زائدة لا تغيّر الاتّجاه. و الشرطان معا ضروريان و كافيان.
و الخاصية الثانية هي عكس التعريف، و هي التي تُستعمل فعلا في التمارين: هي التي تسمح لك بأن تقرأ الطويلة و العمدة مباشرة على كتابة وجدتها، دون إعادة حساب. لكنّها مشروطة.
⭐ هذا الشرط وحده هو الذي يحمل الخاصية كلّها: بدونه تصير القراءة خاطئة، كما يبيّن التنبيه الموالي.
إن كان المعامل موجبا تماما فهو الطويلة، و ليس عاملا كيفما اتّفق.
و الزاوية التي تظهر في القوسين هي عمدة للعدد، بالشرط نفسه على المعامل.
الصفحة 1/13
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net