مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

الانتقال من الشكل الجبري إلى الشكل المثلثي و العكس

🔊 المعلّمة تقرأ لك
للعدد المركب الواحد كتابتان، و ليست إحداهما أفضل من الأخرى في كلّ شيء: الكتابة الجبرية تجمع و تطرح في سطر واحد لكنّها تتعثّر في القوى، و الكتابة المثلثية تضرب و تقسم و ترفع إلى القوى في سطر واحد لكنّها لا تعرف كيف تجمع. فكيف ننتقل من الكتابة الجبرية إلى الكتابة المثلثية، و كيف نعود منها؟ و ما الذي يضمن لنا أنّنا لم نضيّع العدد في الطريق؟

الجواب في جملة واحدة: الطويلة تُحسب، و العمدة تُتعرَّف عليها. الطويلة تخرج من دستور واحد لا اختيار فيه؛ أمّا العمدة فلا يوجد لها دستور مباشر: نحسب تجيبها و جيبها، ثمّ نبحث عن الزاوية المألوفة التي تحقّق الإشارتين معا. و العودة من المثلثي إلى الجبري أسهل بكثير، لأنّها مجرّد تعويض و ضرب.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • حساب الطويلة أوّلا، لأنّها هي التي تظهر معاملا في الشكل المثلثي
  • إيجاد تجيب العمدة و جيبها بقسمة الجزأين على الطويلة
  • تعيين العمدة انطلاقا من إشارتي التجيب و الجيب، أي من الربع
  • كتابة الشكل المثلثي كاملا، بالعامل المشترك و بالوحدة التخيلية في موضعها
  • العودة من الشكل المثلثي إلى الشكل الجبري بالتعويض ثمّ الضرب
  • التحقّق من كلّ انتقال بإعادة الحساب في الاتّجاه المعاكس
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف الطويلة و العمدة و الشكل المثلثي لعدد مركب غير معدوم
  • خواصّ الطويلة و العمدة في الجداء و في القسمة
  • القيم المضبوطة لتجيب و جيب الزوايا المألوفة، بإشاراتها
  • ضرب عددين مركبين على الشكل الجبري، و أنّ مربّع الوحدة التخيلية يساوي ناقص 1

1. من الشكل الجبري إلى الشكل المثلثي: أربع خطوات، لا خامسة لها

ننطلق من عدد مركب غير معدوم معطى بكتابته الجبرية، أي بجزئه الحقيقي و جزئه التخيلي، و نريد أن نكتبه على صورة معامل موجب في قوسين لا يحملان إلّا الزاوية. الطريق آليّ تماما، و هو أربع خطوات نكتبها كلّها في كلّ مرّة.

  1. نحسب الطويلة بمجموع مربّعي الجزأين تحت جذر، ثمّ نبسّط الجذر
  2. نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة فنحصل على تجيب العمدة، و نقسم الجزء التخيلي على الطويلة فنحصل على جيبها
  3. نبحث عن الزاوية المألوفة التي تحقّق القيمتين معا بإشارتيهما: هما اللتان تعيّنان الربع، و الربع هو الذي يعيّن الزاوية
  4. نكتب الشكل المثلثي: الطويلة معاملا، ثمّ قوسان فيهما التجيب زائد الوحدة التخيلية في الجيب، ثمّ نتحقّق بالتعويض
🔹الخطوة 1: الطويلة

لا يوجد اختيار في هذه الخطوة: الطويلة عدد واحد، موجب، يخرج من دستور واحد.

r = √(x² + y²)
xالجزء الحقيقي للعدد المركبyالجزء التخيلي للعدد المركب
🔹الخطوة 2: تجيب العمدة

⭐ تأتي مباشرة من المساواة x يساوي r في تجيب θ: نقسم الطرفين على r، و القسمة ممكنة لأنّ العدد غير معدوم فطويلته موجبة تماما.

cos θ = xr
🔹الخطوة 2 مكرّرة: جيب العمدة

و بالمثل من المساواة y يساوي r في جيب θ. لاحظ أنّ المقام هو الطويلة نفسها في الحالتين: قيمة واحدة تُحسب مرّة واحدة و تُستعمل مرّتين.

sin θ = yr

و الخطوة الثالثة هي الوحيدة التي تحتاج ذاكرة: أن تعرف الزوايا المألوفة بقيمها المضبوطة. الجدول الآتي يجمعها كلّها، و هو كلّ ما يلزم في هذا الباب. اقرأه دائما بالإشارتين معا: قيمة واحدة لا تكفي، لأنّ لكلّ قيمة من التجيب زاويتين.

📌المعطى: الزوايا المألوفة بقيمها المضبوطة
العمدةcos θsin θ
010
⁦π6⁩⁦√32⁩⁦12⁩
⁦π4⁩⁦√22⁩⁦√22⁩
⁦π3⁩⁦12⁩⁦√32⁩
⁦π2⁩01
⁦2π3⁩⁦−12⁩⁦√32⁩
⁦5π6⁩⁦−√32⁩⁦12⁩
π⁦−1⁩0
⁦5π4⁩⁦−√22⁩⁦−√22⁩
⁦4π3⁩⁦−12⁩⁦−√32⁩
⁦−π6⁩⁦√32⁩⁦−12⁩
⁦−π4⁩⁦√22⁩⁦−√22⁩
⁦−π3⁩⁦12⁩⁦−√32⁩
⁦−π2⁩0⁦−1⁩
الزاويتان اللتان لهما التجيب نفسه تختلفان في إشارة الجيب: لهذا لا تُقرأ سطور هذا الجدول إلّا بعمودين معا.
⛔⛔ الفخّ الأوّل في هذا الدرس، و هو فخّ ربع لا فخّ حساب. إذا اكتفيت بالتجيب وحده وجدت زاويتين تصلحان، و إذا اكتفيت بالجيب وحده وجدت زاويتين أخريين. القيمتان معا هما اللتان تعيّنان زاوية واحدة: تجيب موجب و جيب موجب يعني الربع الأوّل، تجيب سالب و جيب موجب يعني الربع الثاني، و هكذا. اكتب دائما السطرين قبل أن تختار.
⛔ و الفخّ الثاني: المعامل الذي أمام القوسين هو الطويلة، و الطويلة موجبة. إن وجدت نفسك تكتب معاملا لا يساوي الطويلة التي حسبتها قبل سطرين، فالكتابة خاطئة حتما — و التحقّق لا يكلّفك أكثر من إعادة قراءة سطرك الأوّل.
مثال 1: الشكل المثلثي للعدد 1 زائد i

نعتبر العدد المركب z الذي كتابته الجبرية هي 1 زائد i.

🎯المطلوب: اكتب العدد المركب z على شكله المثلثي.

🔹الخطوة 1: مربّع الطويلة

نحسب مربّع الطويلة أوّلا: مجموع مربّعي 1 و 1.

|z|²=1² + 1²=2
🔹الخطوة 2: الطويلة

نأخذ الجذر، و الجذر لا يُبسَّط هنا لأنّ 2 عدد أوّلي.

|z| = √2
🔹الخطوة 3: تجيب العمدة

نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة، ثمّ ننطق المقام بضرب الطرفين في جذر 2.

cos θ=1√2=√22
🔹الخطوة 4: جيب العمدة

و نقسم الجزء التخيلي على الطويلة، فنجد القيمة نفسها.

sin θ=1√2=√22
🔹الخطوة 5: قراءة العمدة

القيمتان موجبتان و متساويتان: الربع الأوّل، و الزاوية الوحيدة التي تحقّقهما معا في الجدول هي ربع π.

arg(z) ≡ π4 [2π]
✅النّتيجة

نكتب الشكل المثلثي: الطويلة معاملا، و العمدة داخل القوسين.

z=√2 (cos(π4) + i sin(π4))
🔹الخطوة 6: التحقّق بالعودة

نتحقّق بالعودة: نعوّض القيمتين المضبوطتين و نوزّع المعامل، فنرجع إلى العدد نفسه.

√2 × √22 + i √2 × √22=1 + i
⭐ حين يتساوى الجزءان و يكونان موجبين فالعمدة ربع π، و لا حاجة إلى الجدول. و بالمثل: إذا تساويا و كانا سالبين فالعمدة خمسة أرباع π. ⛔ لكن لا تحفظ هذه الحالات وحدها: الجدول هو الذي يحسم، و الإشارتان هما المفتاح.
مثال 2: الشكل المثلثي للعدد جذر 2 ناقص i جذر 6

نعتبر العدد المركب z الذي كتابته الجبرية هي جذر 2 ناقص i جذر 6.

🎯المطلوب: احسب طويلة العدد z و عمدة له، ثمّ أكتبه على شكله المثلثي.

🔹الخطوة 1: مربّع الطويلة

نحسب مربّع الطويلة: مربّع جذر 2 يساوي 2، و مربّع ناقص جذر 6 يساوي 6.

|z|²=2 + 6=8
🔹الخطوة 2: الطويلة مبسّطة

⛔ نأخذ الجذر ثمّ نبسّطه: 8 يساوي 4 في 2، و جذر 4 يساوي 2.

|z|=√8=2√2
🔹الخطوة 3: تجيب العمدة

نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة: جذر 2 على 2 في جذر 2، فيُختزل جذر 2.

cos θ=√22√2=12
🔹الخطوة 4: جيب العمدة

و نقسم الجزء التخيلي على الطويلة: جذر 6 على جذر 2 يساوي جذر 3، لأنّ 6 يساوي 2 في 3.

sin θ=−√62√2=−√32
🔹الخطوة 5: قراءة العمدة

التجيب موجب و الجيب سالب: الربع الرابع. الزاوية التي تحقّق القيمتين معا هي ناقص ثلث π.

arg(z) ≡ −π3 [2π]
✅النّتيجة

نكتب الشكل المثلثي، و المعامل هو الطويلة التي حسبناها في الخطوة 2، لا غيرها.

z=2√2 (cos(−π3) + i sin(−π3))
⭐ الخطوة 2 و النتيجة يجب أن يحملا العدد نفسه. المعامل الذي تكتبه أمام القوسين ليس عددا تختاره: هو الطويلة، و قد كُتبت قبل خمسة أسطر. ⛔ و الفخّ الشائع في هذه الخطوة أن تُنقل الطويلة خطأ — و المثال الموالي يريك كيف يكشف التحقّق ذلك في سطرين.

2. من الشكل المثلثي إلى الشكل الجبري: تعويض و ضرب

الاتّجاه المعاكس أقصر بكثير، لأنّه لا يطلب أيّ بحث: القيم المضبوطة للتجيب و الجيب معروفة، فنعوّضها، ثمّ نوزّع المعامل على الحدّين، فنقرأ الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي مباشرة.

قاعدة العودة إلى الشكل الجبري

⭐ لا شيء أكثر من توزيع المعامل على الحدّين. و بعد التوزيع، ما هو خارج الوحدة التخيلية هو الجزء الحقيقي، و ما هو معها هو الجزء التخيلي.

r (cos θ + i sin θ) = r cos θ + i r sin θ
⭐ الرجوع هو أرخص تحقّق تملكه، و لهذا نستعمله في كلّ مرّة. كلّما وجدت شكلا مثلثيا، عُد به إلى الشكل الجبري في سطرين: إن رجعت إلى العدد الذي انطلقت منه فالكتابة صحيحة، و إن لم ترجع فالخطأ إمّا في المعامل و إمّا في الزاوية. ⛔ و هذا التحقّق هو الذي يكشف في الحال نسيان الوحدة التخيلية أمام الجيب: بدونها يصير الطرف الثاني عددا حقيقيا، و العدد الذي انطلقت منه لم يكن حقيقيا.
الزاويتان تدوران في اتّجاهين متعاكسين: هذا هو الفرق بين عمدة موجبة و عمدة سالبة، و هو يُرى قبل أن يُحسب.
مثال 3: العودة من الشكل المثلثي إلى الشكل الجبري

نعود إلى العدد الذي وجدناه في المثال 2، و هو مكتوب على الشكل المثلثي بمعامل 2 في جذر 2 و بزاوية ناقص ثلث π.

🎯المطلوب: اكتب هذا العدد على شكله الجبري، و تحقّق أنّه العدد الذي انطلقنا منه.

🔹الخطوة 1: تعويض التجيب

نعوّض تجيب ناقص ثلث π بقيمته المضبوطة، و هي نصف.

cos(−π3) = 12
🔹الخطوة 2: تعويض الجيب

و جيب ناقص ثلث π يساوي ناقص جذر 3 على 2، و الإشارة سالبة لأنّ الزاوية سالبة.

sin(−π3) = −√32
🔹الخطوة 3: الجزء الحقيقي

نوزّع المعامل على الحدّ الأوّل.

2√2 × 12 = √2
🔹الخطوة 4: الجزء التخيلي

ثمّ على الحدّ الثاني، و جداء جذر 2 في جذر 3 هو جذر 6.

2√2 × (−√32)=−√6
✅النّتيجة

نجمع الحدّين، فنرجع إلى الكتابة الجبرية.

z = √2 − i√6
⭐ هذا المثال هو التحقّق من المثال 2، و ليس تمرينا جديدا. جرّب الآن أن تعيد الحساب نفسه بمعامل 3 في جذر 2 بدل 2 في جذر 2: ستجد عددا آخر تماما، لا هو الذي انطلقنا منه. بسطرين من الضرب تعرف إن كان معاملك هو الصحيح. ⛔ و جرّب كذلك أن تحذف الوحدة التخيلية من أمام الجيب: يصير الناتج عددا حقيقيا، و ذلك مستحيل لأنّ العدد الذي انطلقنا منه ليس حقيقيا.
مثال 4: جداء عددين، بالشكلين معا

نضع Z₁ جداء العددين المركبين 1 زائد i و ناقص 1 ناقص i جذر 3.

🎯المطلوب: اكتب Z₁ على شكله الجبري، ثمّ على شكله المثلثي.

🔹الخطوة 1: نشر الجداء

ننشر الجداء بتوزيع كلّ حدّ على كلّ حدّ.

Z₁=1×(−1) + 1×(−i√3) + i×(−1) + i×(−i√3)
🔹الخطوة 2: الحدود الأربعة

نرتّب الحدود الأربعة قبل أيّ تبسيط.

Z₁=−1 − i√3 − i − i²√3
🔹الخطوة 3: تعويض مربّع الوحدة التخيلية

⭐ نعوّض مربّع الوحدة التخيلية بناقص 1، فينقلب الحدّ الأخير إلى حدّ حقيقي موجب.

− i²√3 = +√3
🔹الخطوة 4: الشكل الجبري

نجمع الحدود الحقيقية معا و الحدود التخيلية معا.

Z₁=(−1 + √3) + i(−1 − √3)
🔹الخطوة 5: الشكل المثلثي للعامل الأوّل

ننتقل الآن إلى الشكل المثلثي، لا من هذه الكتابة بل من كتابتي العاملين. الأوّل هو عدد المثال 1.

1 + i=√2 (cos(π4) + i sin(π4))
🔹الخطوة 6: طويلة العامل الثاني

و العامل الثاني: مربّع طويلته هو 1 زائد 3.

|−1 − i√3|=√(1 + 3)=2
🔹الخطوة 7: الشكل المثلثي للعامل الثاني

تجيب عمدته هو ناقص نصف و جيبها ناقص جذر 3 على 2: الربع الثالث، أي أربعة أثلاث π.

−1 − i√3=2 (cos(4π3) + i sin(4π3))
🔹الخطوة 8: طويلة الجداء

طويلة الجداء هي جداء الطويلتين.

|Z₁|=√2 × 2=2√2
🔹الخطوة 9: عمدة الجداء

و عمدة الجداء هي مجموع العمدتين: نوحّد المقامات على 12.

π4 + 4π3=3π12 + 16π12=19π12
✅النّتيجة

نكتب الشكل المثلثي للجداء.

Z₁=2√2 (cos(19π12) + i sin(19π12))
⭐ الطريقان لا يتنافسان: الشكل الجبري يعطي الجزأين، و الشكل المثلثي يعطي البعد و الاتّجاه. و التحقّق أنّ الكتابتين لعدد واحد سهل: احسب مربّع طويلة الشكل الجبري، أي مربّع ناقص 1 زائد جذر 3 مضافا إلى مربّع ناقص 1 ناقص جذر 3، فتجد 8، و هو بالضبط مربّع 2 في جذر 2. ⛔ و لاحظ أنّ العمدة خرجت أكبر من π: هي مقبولة، و يمكن كذلك كتابتها ناقص خمسة أجزاء من اثني عشر من π، فالعمدتان متوافقتان بترديد دورة كاملة.
مثال 5: حاصل قسمة، بالشكلين معا

نضع Z₂ حاصل قسمة العدد 1 زائد i على العدد ناقص 1 ناقص i جذر 3، و هما العاملان نفسهما اللذان ضربناهما في المثال 4.

🎯المطلوب: اكتب Z₂ على شكله الجبري، ثمّ على شكله المثلثي.

🔹الخطوة 1: الضرب في مرافق المقام

لجعل المقام حقيقيا نضرب البسط و المقام في مرافق المقام.

Z₂=(1 + i)(−1 + i√3)(−1 − i√3)(−1 + i√3)
🔹الخطوة 2: حساب المقام

المقام جداء مرافقين: هو فرق مربّعين، و مربّع i جذر 3 يساوي ناقص 3.

(−1 − i√3)(−1 + i√3)=1 + 3=4
🔹الخطوة 3: نشر البسط

ننشر البسط بتوزيع كلّ حدّ على كلّ حدّ.

(1 + i)(−1 + i√3)=−1 + i√3 − i + i²√3
🔹الخطوة 4: تعويض مربّع الوحدة التخيلية

⭐ نعوّض مربّع الوحدة التخيلية بناقص 1، فيصير الحدّ الأخير ناقص جذر 3.

+ i²√3 = −√3
🔹الخطوة 5: البسط مرتّبا

نرتّب البسط: الحقيقي مع الحقيقي و التخيلي مع التخيلي.

(−1 − √3) + i(−1 + √3)
🔹الخطوة 6: الشكل الجبري

نقسم كلّ جزء على 4، فنحصل على الشكل الجبري.

Z₂=−1 − √34 + i(−1 + √3)4
🔹الخطوة 7: طويلة الحاصل

ننتقل إلى الشكل المثلثي بخاصية طويلة الحاصل: نقسم الطويلتين.

|Z₂| = √22
🔹الخطوة 8: عمدة الحاصل

و بخاصية عمدة الحاصل: نطرح العمدتين، بعد توحيد المقامات على 12.

π4 − 4π3=3π12 − 16π12=−13π12
✅النّتيجة

نكتب الشكل المثلثي للحاصل.

Z₂=(√22) (cos(−13π12) + i sin(−13π12))
⭐ قارن بالمثال 4: الطويلتان ضُربتا هناك و قُسمتا هنا، و العمدتان جُمعتا هناك و طُرحتا هنا. هذا هو كلّ الفرق بين الجداء و القسمة على الشكل المثلثي. ⛔ و انتبه إلى الخطوة 8: العمدة خرجت سالبة و أكبر من π في قيمتها المطلقة، و هي مقبولة تماما — يمكن كذلك كتابتها أحد عشر جزءا من اثني عشر من π بإضافة دورة كاملة، و العددان يمثّلان الاتّجاه نفسه.
⛔ في الباكالوريا يظهر هذا الانتقال في ثلاث صور: ① « أكتب العدد على شكله المثلثي » — و هنا اكتب الخطوات الأربع كاملة، فالطويلة وحدها تحمل نقطة و التجيب و الجيب يحملان نقطة أخرى، حتّى إن أخطأت في الزاوية؛ ② « استنتج الشكل المثلثي لجداء أو لحاصل » — و هنا لا تنشر أبدا: اضرب الطويلتين و اجمع العمدتين، فهذا هو المطلوب بعينه؛ ③ « أكتب على الشكل الجبري » — تعويض و توزيع، بلا بحث. و في الصور الثلاث، اكتب سطر التحقّق بالعودة: المصحّح ينقّط الحركة، لا الجواب وحده.
الخلاصة: الانتقال من الجبري إلى المثلثي أربع خطوات لا خامسة لها — طويلة تُحسب و تُبسَّط، ثمّ تجيب و جيب يخرجان بقسمة الجزأين عليها، ثمّ زاوية تُقرأ من الإشارتين معا، ثمّ كتابة بمعامل موجب و بوحدة تخيلية أمام الجيب. و الانتقال المعاكس تعويض و توزيع، و هو في الوقت نفسه أرخص تحقّق تملكه: إن لم ترجع إلى العدد الذي انطلقت منه، فالخطأ إمّا في المعامل و إمّا في الزاوية. و متى صار العددان على الشكل المثلثي، صار الجداء ضرب طويلتين و جمع عمدتين، و صارت القسمة قسمة طويلتين و طرح عمدتين — و هذا هو السبب الوحيد الذي من أجله نتعب أنفسنا في هذا الانتقال.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net