دراسة ظواهر كهربائية
ثنائي القطب RC: ثابت الزمن، المعادلة التفاضلية و الطاقة المخزنة
- أن تكتب المعادلة التفاضلية للتوتر بين طرفي المكثفة عند الشحن وعند التفريغ
- أن تتحقّق من أنّ الدالة الأسية المقترحة هي حلّ لهذه المعادلة التفاضلية
- أن تحسب ثابت الزمن لدارة وأن تستعمله في تقدير مدّة النظام الانتقالي
- أن تقرأ ثابت الزمن على بيان تجريبي بطريقتين مختلفتين
- أن تحسب الطاقة المخزّنة في مكثفة وزمن تناقصها إلى النصف
- علاقة الشحنة بالتوتر وسعة المكثفة، وشدّة التيار كمشتق للشحنة
- حلّ معادلة تفاضلية خطّية من الرتبة الأولى بمعاملات ثابتة
- اشتقاق الدالة الأسية وخواص الدالة الأسية عند الصفر وعند اللانهاية
❓إشكالية: التجربتان اللتان أنجزناهما في الدرس السابق أعطتا منحنيين متصاعدا ومتناقصا، لكنّهما لم يقولا شيئا عن السرعة. سنكتب الآن المعادلة التي تحكم هذا التطوّر، ثمّ نستخرج منها المقدار الوحيد الذي يقيس هذه السرعة.
الدارة المدروسة واصطلاح التوجيه
ندرس ثنائي القطب المكوّن من ناقل أومي ومكثفة على التسلسل. ومبدّلة ذات وضعين تسمح بالمرور من الشحن إلى التفريغ دون فكّ أيّ ربط: في الوضع الأوّل يُوصل المولد فتُشحن المكثفة، وفي الوضع الثاني يُعزل المولد فتُفرّغ المكثفة في الناقل الأومي نفسه.
المعادلة التفاضلية عند الشحن
نغلق الدارة على المولد في اللحظة الابتدائية والمكثفة مفرّغة. قانون جمع التوترات في الفرع الوحيد يعطي علاقة بين التوترين، ثمّ نعوّض كلّ توتر بما يعبّر عنه بدلالة التوتر بين طرفي المكثفة وحده.
هذه معادلة تفاضلية خطّية من الرتبة الأولى بمعاملات ثابتة، ولها حدّ ثابت غير معدوم. حلّها المطابق للشرط الابتدائي — مكثفة مفرّغة في اللحظة الابتدائية — هو دالة أسية تنطلق من الصفر وتقترب من القوّة المحرّكة.
| اللحظة | 0 | τ | 5τ | ∞ |
|---|---|---|---|---|
| التوتر بين طرفي المكثفة | 0 | 0,63 E | 0,99 E | E |
| شدّة التيار في الدارة | I0 | 0,37 I0 | 0,01 I0 | 0 |
المعادلة التفاضلية عند التفريغ
ننقل المبدّلة إلى الوضع الثاني: المولد معزول، فيصبح المجموع في الفرع معدوما. نتبع الخطوات نفسها فنجد المعادلة نفسها بلا حدّ ثابت — وهذا هو الفرق الوحيد بين الحالتين.
| اللحظة | 0 | τ | 5τ | ∞ |
|---|---|---|---|---|
| التوتر بين طرفي المكثفة | E | 0,37 E | 0,01 E | 0 |
| شدّة التيار في الدارة | -I0 | −0,37 I0 | −0,01 I0 | 0 |
المعادلتان التفاضليتان للشحنة وللتوتر بين طرفي الناقل الأومي
المجهول في المعادلة التفاضلية ليس مفروضا: يمكن أن نأخذ الشحنة أو توتر الناقل الأومي بدل توتر المكثفة. الطريقة هي نفسها في الحالات الثلاث، والمقدار المميّز الذي يظهر فيها كلّها هو نفسه أيضا.
ثابت الزمن للدارة
المقدار الذي ظهر في الحلول الأربعة هو جداء المقاومة في السعة. نتحقّق أوّلا بالتحليل البعدي من أنّه متجانس مع الزمن، أي أنّه يُقاس فعلا بالثانية.
على ماذا يتوقّف ثابت الزمن ؟
نعيد التجربة نفسها بتغيير مقدار واحد في كلّ مرّة. نغيّر أوّلا مقاومة الناقل الأومي والسعة ثابتة، ثمّ نغيّر السعة والمقاومة ثابتة، ونقارن المنحنيات.
ندرس دارة مكوّنة من ناقل أومي مقاومته 10 kΩ ومكثفة سعتها 4,7 µF، مربوطين مع مولد قوّته المحرّكة 6,0 V.
🎯المطلوب: احسب ثابت الزمن للدارة ثمّ المدّة اللازمة لاعتبار المكثفة مشحونة تماما
لأنّ العلاقة لا تصحّ إلّا بوحدات الجملة الدولية: الكيلوأوم يصير أوما قبل أيّ تعويض، وإلّا خرجت النتيجة بعامل ألف
لأنّ ثابت الزمن هو جداء المقاومة في السعة، وقد صار المقداران بوحدتيهما الأساسيتين: الجداء المباشر يعطي مدّة بالثانية
لأنّ المدّة أصغر بكثير من الثانية: التعبير بالميلي ثانية أقرب إلى ما يُقرأ على راسم الاهتزاز في المخبر
لأنّ التوتر يبلغ عند خمسة أضعاف ثابت الزمن 99 % من قيمته النهائية: نعتبر عندئذ النظام الانتقالي منتهيا والمكثفة مشحونة
نبقى في الدارة نفسها: القوّة المحرّكة 6,0 V والمقاومة 10 kΩ وثابت الزمن 47 ms.
🎯المطلوب: احسب شدّة التيار في اللحظة الابتدائية ثمّ عند اللحظة τ
لأنّ المكثفة مفرّغة في اللحظة الابتدائية، فالتوتر بين طرفيها معدوم: يتحمّل الناقل الأومي وحده كامل القوّة المحرّكة، وقانون أوم يعطي مباشرة أعظم شدّة
لأنّ شدّة التيار تتناقص أسّيّا بنفس ثابت الزمن: عند اللحظة طاو تكون قد فقدت 63 % من قيمتها ولم يبق منها إلّا 37 %
لأنّ الحساب أُنجز بالميلي أمبير: النتيجة تُكتب بالوحدة نفسها، وهي رتبة القدر التي يقرأها الملي أمبير متر في المخبر
الطاقة المخزّنة في المكثفة
المكثفة المشحونة تخزّن طاقة كهربائية تعيدها إلى الدارة عند التفريغ. وتُكتب هذه الطاقة بثلاث صيغ متكافئة، نختار منها ما تسمح به المعطيات.
المكثفة نفسها، سعتها 4,7 µF، مشحونة تماما تحت التوتر 6,0 V.
🎯المطلوب: احسب الطاقة التي تخزّنها المكثفة في نهاية الشحن
لأنّ المعطيات هي السعة والتوتر: نختار من بين الصيغ الثلاث تلك التي لا تحتاج إلى الشحنة، فنتجنّب حسابا وسيطا وخطأ محتملا
لأنّ التوتر مرفوع إلى القوّة الثانية: نحسبه أوّلا قبل الجداء، فمضاعفة التوتر تضاعف الطاقة أربع مرّات لا مرّتين
لأنّ النتيجة أصغر بكثير من الجول: التعبير بالميكروجول يعطي رقما يمكن قراءته، ويبيّن كم هي متواضعة طاقة مكثفة صغيرة
زمن تناقص الطاقة إلى النصف
أثناء التفريغ يتناقص التوتر أسّيّا، وبما أنّ الطاقة تتناسب مع مربّع التوتر فإنّها تتناقص أسّيّا كذلك لكن بسرعة مضاعفة. ولذلك فإنّ زمن تناقص الطاقة إلى النصف ليس ثابت الزمن، بل مقدارا أصغر منه.
نفرّغ المكثفة السابقة في الناقل الأومي نفسه، وثابت الزمن للدارة هو 47 ms.
🎯المطلوب: احسب المدّة التي تتناقص خلالها الطاقة المخزّنة إلى نصفها
لأنّ الطاقة تتناسب مع مربّع التوتر: الأسّ في عبارتها مضاعف، ومساواتها بنصف قيمتها الابتدائية تعطي هذه العبارة بعد أخذ اللوغاريتم النيبيري للطرفين
لأنّ اللوغاريتم النيبيري لاثنين يساوي 0,693 تقريبا: نصفه هو 0,347، وهو معامل ثابت لا يتعلّق بالدارة المدروسة
لأنّ النتيجة قرابة ثلث ثابت الزمن وأقلّ من نصفه: هذا يؤكّد أنّ الطاقة تختفي أسرع من التوتر، وهو بالضبط ما يجعل الفلاش يفرّغ في لحظة
الصفحة 1/13
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net