دراسة ظواهر كهربائية
ثنائي القطب RL: المعادلة التفاضلية، حلها و الطاقة المخزنة
- أن تكتب المعادلة التفاضلية لشدّة التيار في ثنائي القطب عند الغلق وعند الفتح
- أن تتحقّق من أنّ الدالة الأسية المقترحة هي حلّ لهذه المعادلة التفاضلية
- أن تحسب ثابت الزمن لثنائي القطب وأن تستعمله في تقدير مدّة النظام الانتقالي
- أن تكتب التوترين بين طرفي الوشيعة وبين طرفي الناقل الأومي بدلالة الزمن
- أن تحسب الطاقة المخزّنة في الوشيعة وزمن تناقصها إلى النصف
- التوتر بين طرفي وشيعة بدلالة شدّة التيار وسرعة تغيّرها
- حلّ معادلة تفاضلية خطّية من الرتبة الأولى بمعاملات ثابتة
- طريقة قراءة ثابت الزمن على بيان بالمماس في المبدأ وبمستوى 63 %
❓إشكالية: رأينا أنّ الوشيعة تمانع التغيّر المفاجئ في شدّة التيار. سنكتب الآن المعادلة التي تحكم هذه الممانعة، ونستخرج منها المدّة التي تدوم، ثمّ نفسّر بها التوتر العالي الذي يظهر لحظة الفتح.
الدارة المدروسة والمقاومة الكلّية
ندرس ثنائي القطب المكوّن من ناقل أومي ووشيعة حقيقية على التسلسل، مغذّى بمولد عبر قاطعة. وبما أنّ مقاومة الوشيعة الداخلية على التسلسل مع الناقل الأومي، فإنّ المقاومتين تتجمّعان في مقاومة واحدة هي التي تتحكّم في الدارة.
المعادلة التفاضلية عند غلق القاطعة
نغلق القاطعة في اللحظة الابتدائية وشدّة التيار معدومة. قانون جمع التوترات في الفرع الوحيد يعطي علاقة بين توتر الناقل الأومي وتوتر الوشيعة، وبتعويض كلّ منهما بدلالة شدّة التيار نحصل على معادلة تفاضلية في هذه الشدّة وحدها.
هذه معادلة تفاضلية خطّية من الرتبة الأولى بمعاملات ثابتة ولها حدّ ثابت. حلّها المطابق للشرط الابتدائي — شدّة تيار معدومة عند الغلق — هو دالة أسية تنطلق من الصفر وتقترب من قيمة عظمى.
| اللحظة | 0 | τ | 5τ | ∞ |
|---|---|---|---|---|
| شدّة التيار عند الغلق | 0 | 0,63 I0 | 0,99 I0 | I0 |
| شدّة التيار عند الفتح | I0 | 0,37 I0 | 0,01 I0 | 0 |
المعادلة التفاضلية عند فتح القاطعة
نفتح القاطعة بعد استقرار التيار. المولد يخرج من الدارة فيصبح المجموع في الفرع معدوما، ويستمرّ التيار في فرع العودة الذي يمرّ عبر ثنائي المساري. نتبع الخطوات نفسها فنجد المعادلة نفسها بلا حدّ ثابت.
ثابت الزمن لثنائي القطب
المقدار الذي ظهر في الحلّين هو نسبة الذاتية إلى المقاومة الكلّية. نتحقّق أوّلا بالتحليل البعدي من أنّه متجانس مع الزمن.
على ماذا يتوقّف ثابت الزمن ؟
نعيد التجربة بتغيير مقدار واحد في كلّ مرّة، كما فعلنا في ثنائي القطب السابق: مرّة نغيّر ذاتية الوشيعة والمقاومة ثابتة، ومرّة نغيّر المقاومة والذاتية ثابتة.
ندرس ثنائي قطب مكوّنا من ناقل أومي مقاومته 40 Ω ووشيعة ذاتيتها 0,50 H ومقاومتها الداخلية 10 Ω، مغذّى بمولد قوّته المحرّكة 6,0 V.
🎯المطلوب: احسب المقاومة الكلّية للدارة والتيار الأعظمي وثابت الزمن ثمّ مدّة النظام الانتقالي
لأنّ مقاومة الوشيعة الداخلية على التسلسل مع الناقل الأومي: هما مقاومة واحدة بالنسبة للتيار، وإهمالها يعطي تيارا أعظميّا أكبر من الحقيقة
لأنّ الحدّ التحريضي ينعدم في النظام الدائم: لا تبقى إلّا المقاومة الكلّية، وقانون أوم يعطي القيمة العظمى لشدّة التيار
لأنّ ثابت الزمن نسبة الذاتية إلى المقاومة الكلّية، لا إلى مقاومة الناقل الأومي وحدها: استعمال المقاومة الخاطئة هنا يفسد كلّ ما يليه
لأنّ شدّة التيار تبلغ عند خمسة أضعاف ثابت الزمن 99 % من قيمتها العظمى: نعتبر عندئذ النظام الانتقالي منتهيا
نبقى في ثنائي القطب نفسه بعد استقرار التيار عند 0,12 A.
🎯المطلوب: احسب التوترين بين طرفي الوشيعة وبين طرفي الناقل الأومي في النظام الدائم وتحقّق من قانون جمع التوترات
لأنّ شدّة التيار صارت ثابتة فينعدم الحدّ التحريضي: لا يبقى بين طرفي الوشيعة إلّا التوتر الذي تفرضه مقاومتها الداخلية
لأنّ الناقل الأومي يخضع لقانون أوم في كلّ لحظة: نعوّض فيه شدّة التيار في النظام الدائم
لأنّ مجموع التوترين يجب أن يساوي القوّة المحرّكة: هذا الجمع هو التحقّق نفسه، ويبيّن أنّ توتر الناقل الأومي أصغر من القوّة المحرّكة، لأنّ الوشيعة تقتطع منها نصيبها المقاومي
التوتر بين طرفي الوشيعة بدلالة الزمن
نعوّض عبارة شدّة التيار في عبارة التوتر بين طرفي الوشيعة، ونشتقّ. النتيجة دالة أسية لا تنطلق من الصفر ولا تنتهي إليه: عند الغلق تنطلق من القوّة المحرّكة وتنتهي إلى التوتر المقاومي وحده.
التوتر بين طرفي الناقل الأومي
توتر الناقل الأومي يتبع شدّة التيار تماما، لأنّه يساويها مضروبة في مقاومة ثابتة. منحناه له إذن شكل منحنى شدّة التيار نفسه، وتغيير سلّم محور التراتيب وحده يفرّق بينهما.
الطاقة المخزّنة في الوشيعة
تخزّن الوشيعة طاقة كهرومغناطيسية بفعل ذاتيتها عند مرور تيار فيها. وهذه الطاقة هي التي تعيدها إلى الدارة عند فتح القاطعة، وهي التي أبقت المصباحين متوهّجين لحظة في النشاط السابق.
ثنائي القطب نفسه: ذاتية الوشيعة 0,50 H وشدّة التيار في النظام الدائم 0,12 A.
🎯المطلوب: احسب الطاقة التي تخزّنها الوشيعة في النظام الدائم
لأنّ الطاقة تُحسب بشدّة التيار في اللحظة المدروسة: نأخذ قيمتها في النظام الدائم، وهي أعظم قيمة تبلغها في هذه الدارة
لأنّ شدّة التيار مرفوعة إلى القوّة الثانية: نحسب المربّع أوّلا، فمضاعفة الشدّة تضاعف الطاقة أربع مرّات
لأنّ النتيجة أصغر بكثير من الجول: التعبير بالميلي جول يعطي رقما يمكن قراءته ومقارنته بطاقة المكثفة التي درسناها
زمن تناقص طاقة الوشيعة إلى النصف
بعد فتح القاطعة تتناقص شدّة التيار أسّيّا، وبما أنّ الطاقة تتناسب مع مربّعها فإنّها تتناقص بسرعة مضاعفة. ولذلك فإنّ زمن تناقص الطاقة إلى النصف أصغر من ثابت الزمن، وله العبارة نفسها التي وجدناها في ثنائي القطب السابق.
نفتح القاطعة على ثنائي القطب نفسه، وثابت الزمن هو 10 ms.
🎯المطلوب: احسب المدّة التي تتناقص خلالها طاقة الوشيعة إلى نصفها بعد فتح القاطعة
لأنّ الطاقة تتناسب مع مربّع شدّة التيار: الأسّ في عبارتها مضاعف، ومساواتها بنصف قيمتها الابتدائية تعطي هذه العبارة بعد أخذ اللوغاريتم النيبيري للطرفين
لأنّ نصف اللوغاريتم النيبيري لاثنين يساوي 0,347: هو معامل ثابت لا يتعلّق بالدارة، وهو نفسه الذي استعملناه في ثنائي القطب السابق
لأنّ النتيجة أقلّ من نصف ثابت الزمن: الطاقة تختفي قبل التيار بكثير، وهذا ما يجعل الشرارة قصيرة جدّا وإن كانت عنيفة
الصفحة 1/14
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net