مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الحساب Z الموافقات في

الموافقات في ℤ: التوافق بترديد ⁦n⁩ و خواصه

🔊 المعلّمة تقرأ لك
اليوم هو الثلاثاء. تريد أن تعرف أيّ يوم سيكون بعد 1000 يوم. لا أحد يعدّ ألف يوم واحدا واحدا: يكفي أن تعرف باقي قسمة 1000 على 7. فما الذي يسمح باستبدال عدد كبير بباقيه دون أن يتغيّر الجواب؟

الذي يسمح بذلك هو الموافقة: عددان لهما نفس الباقي بترديد n يتصرّفان تصرّفا واحدا في الجمع و الضرب. فنستبدل الكبير بالصغير و يبقى الجواب هو هو.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • التعرّف على توافق عددين صحيحين بترديد n و استعمال الرمز ⁦a ≡ b [n]⁩
  • استعمال المعيار ⁦a ≡ b [n]⁩ يكافئ أن n يقسم ⁦a − b⁩
  • استعمال خواص الموافقات في الجمع و الضرب و الأسّ لتبسيط حساب
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • باقي القسمة الإقليدية على عدد طبيعي
  • خواص الجمع و الضرب في مجموعة الأعداد الصحيحة

1. التعريف

ليكن n عددا طبيعيا غير معدوم. القول إن العددين الصحيحين a و b متوافقان بترديد n يعني أن لهما نفس الباقي في القسمة الإقليدية على n.

الترميز
a ≡ b [n]

أمثلة: ⁦27 ≡ 92 [5]⁩ و ⁦12 ≡ 34 [11]⁩ و ⁦24 ≡ 3 [7]⁩ و ⁦−20 ≡ 1 [7]⁩.

2. المعيار العملي

مقارنة الباقيين تتطلب قسمتين. المبرهنة تختصر ذلك إلى طرح واحد: يكفي أن ننظر هل n يقسم الفرق ⁦a − b⁩.

المعيار
a ≡ b [n] ⟺ a − b = k×n

و ينتج عنها أن كل عدد صحيح يوافق باقي قسمته: هذا هو المبدأ الذي يسمح باستبدال 1000 بباقيه في مسألة الأيام.

الباقي يجب أن يحقّق ⁦0 ≤ r < n⁩. مثلا ⁦16 ≡ 6 [5]⁩ كتابة صحيحة، لكن 6 ليس باقي قسمة 16 على 5 لأن 6 ليس أصغر من 5. الباقي هو 1، لأن ⁦16 ≡ 1 [5]⁩ و ⁦0 ≤ 1 < 5⁩.

3. الخواص

الموافقة تسلك سلوك المساواة في الجمع و الضرب، و هذا ما يجعلها أداة حساب لا مجرد تعريف.

  • الانعكاسية: ⁦a ≡ a [n]⁩ دائما.
  • التناظر: إذا كان ⁦a ≡ b [n]⁩ فإن ⁦b ≡ a [n]⁩.
  • التعدّي: إذا كان ⁦a ≡ b [n]⁩ و ⁦b ≡ c [n]⁩ فإن ⁦a ≡ c [n]⁩.
  • التلاؤم مع الجمع: إذا كان ⁦a ≡ b [n]⁩ و ⁦c ≡ d [n]⁩ فإن ⁦a + c ≡ b + d [n]⁩.
  • التلاؤم مع الضرب: إذا كان ⁦a ≡ b [n]⁩ و ⁦c ≡ d [n]⁩ فإن ⁦a × c ≡ b × d [n]⁩.
  • الأسّ: إذا كان ⁦a ≡ b [n]⁩ فإن ⁦ap ≡ bp [n]⁩ من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم p.
خاصية الأسّ هي المفتاح العملي: تسمح باستبدال عدد كبير بباقيه الصغير قبل رفعه إلى قوّة، فيصير الحساب ممكنا ذهنيا.
مثال 1: التحقق من توافق

🎯المطلوب: تحقّق ممّا إذا كان العددان 27 و 92 متوافقين بترديد 5.

📌المعطى
a = 27 , b = 92 , n = 5
🔹الخطوة 1: الفرق

نطرح بدل أن نقسم مرتين.

92 − 27 = 65
🔹الخطوة 2: القسمة

نتحقق أن الفرق مضاعف للترديد.

65 = 5 × 13
✅النّتيجة
27 ≡ 92 [5]
اطرح ثم اقسم مرة واحدة: أسرع و أأمن من حساب باقيين و مقارنتهما.
مثال 2: إرجاع عدد إلى باقيه

🎯المطلوب: احسب باقي قسمة 1000 على 7، ثمّ استنتج اليوم الموافق بعد 1000 يوم.

📌المعطى
1000 , n = 7
🔹الخطوة 1: القسمة
1000 = 7 × 142 + 6
🔹الخطوة 2: الموافقة

كل عدد يوافق باقي قسمته.

1000 ≡ 6 [7]
✅النّتيجة
6
بعد 1000 يوم، تقدّم بستة أيام فقط في الأسبوع: الثلاثاء يصير الاثنين.
مثال 3: استعمال خاصية الأسّ

🎯المطلوب: احسب باقي قسمة 3¹⁰⁰ على 5 باستعمال خواصّ الموافقات.

📌المعطى
3¹⁰⁰ , n = 5
🔹الخطوة 1: قوّة صغيرة

نبدأ بأصغر قوّة تعطي باقيا بسيطا.

3⁴ = 81 ≡ 1 [5]
🔹الخطوة 2: الأسّ

نرفع الموافقة إلى القوّة 25.

3¹⁰⁰ = (3⁴)²⁵ ≡ 1²⁵ [5]
✅النّتيجة
3¹⁰⁰ ≡ 1 [5]
ابحث دائما عن أسّ يعطي الباقي 1: بعده تصير كل القوى المضاعفة له سهلة.
الموافقات تحضر في البكالوريا في سؤال « ما هو باقي قسمة عدد ضخم على n ». لا تحاول الحساب: أرجع الأساس إلى باقيه أولا، ثم ابحث عن أسّ صغير يعطي 1، ثم استعمل خاصية الأسّ. و اكتب الموافقة في كل سطر بالرمز ≡ لا بالمساواة: الخلط بينهما يُقرأ كخطأ في المفهوم، لا كخطأ في الكتابة.
الخلاصة: ⁦a ≡ b [n]⁩ يعني أن a و b لهما نفس الباقي على n، و يكافئ أن n يقسم ⁦a − b⁩. الموافقة تُحفظ بالجمع و بالضرب و بالرفع إلى قوّة، و لهذا تسمح باستبدال عدد ضخم بباقيه الصغير قبل الحساب.

الصفحة 1/7

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net