مدرستي
المحاسبة🎓 هدف البكالوريا

تمويل التثبيتات و الاستثمار القروض العادية المسددة على دفعات ثابتة بفوائد مركبة

تمويل التثبيتات و الاستثمار · القروض العادية المسددة على دفعات ثابتة بفوائد مركبة — استهلاك القرض العادي

🔊 المعلّمة تقرأ لك
حصلت مؤسسة «الدلفين» لإنتاج بواخر الصيد على قرض قيمته 3000000 دج من بنك التنمية المحلية، تسدّده بخمس دفعات سنوية ثابتة، بمعدّل فائدة مركّبة ⁦10%⁩ سنويا. فكم تسدّد كلّ سنة، وكيف تتوزّع كلّ دفعة بين أصل القرض وفوائده؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف القرض العاديّ وذكر بيانات عقده
  • حساب الدفعة الثابتة وإعداد جدول استهلاك القرض العاديّ
  • استعمال العلاقات بين الاستهلاكات والدفعة وأصل القرض
  • حساب المبلغ المسدّد والمبلغ الباقي تسديده من أصل القرض بعد أيّ دفعة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • القروض العادية: قروض من مقرض واحد، لقاء فوائد ثابتة أو متغيّرة
  • القيمة الحالية لسلسلة دفعات ثابتة: ⁦A₀ = a × (1 − (1 + i)⁻n) / i⁩
  • القيمة المكتسبة لسلسلة دفعات ثابتة: ⁦Aₙ = a × ((1 + i)n − 1) / i⁩
  • مجموع حدود متتالية هندسية

1- تعريف القرض العادي

من أجل تمويل تجهيزاتها، تحصل المؤسسة على قروض تسدّدها، هي وفوائدها، خلال مدّة يحدّدها العقد. ومن هذه القروض القرض العاديّ:

القرض العاديّ هو القرض الذي يتمّ الحصول عليه من مقرض واحد (بنك، مؤسسة مالية، …).

ويتمّ إثبات القرض بعقد بين الطرفين، يتضمّن البيانات الآتية: قيمة القرض، وتاريخ عقد القرض، ومعدّل الفائدة المطبّق، وطريقة تسديد القرض، ونوع الضمان المقدّم وقيمته، …

نتتبّع قرض مؤسسة «الدلفين»: نجيب عن سؤالها الأوّل في آخر هذه الفقرة، وعن سؤالها الثاني في الفقرة 2.

مؤسسة «الدلفين»

من أجل تمويل تجهيزات جديدة، تحصّلت مؤسسة «الدلفين» لإنتاج بواخر الصيد على قرض من بنك التنمية المحلية بتاريخ 1 جانفي ⁦N⁩، ويُظهر العقد المبرم بينهما ما يلي: • قيمة القرض 3000000 دج؛ • التسديد بواسطة 5 دفعات سنوية ثابتة؛ • معدّل الفائدة المركّبة ⁦10%⁩ سنويا؛ • الدفعة الأولى تستحقّ في نهاية السنة الأولى من إمضاء العقد. ☞ عرّف القرض العاديّ. ☞ كيف يتمّ إعداد جدول استهلاك القرض؟

☞ عرّف القرض العاديّ.

القرض العاديّ هو القرض الذي تحصل عليه المؤسسة من مقرض واحد، بنك أو مؤسسة مالية، ويُثبته عقد بين الطرفين. وقرض مؤسسة «الدلفين» قرض عاديّ، لأنّه من مقرض واحد فقط، هو بنك التنمية المحلية؛ وعقده يحدّد قيمته (3000000 دج)، وتاريخه (1 جانفي ⁦N⁩)، ومعدّل فائدته (⁦10%⁩ سنويا)، وطريقة تسديده (5 دفعات سنوية ثابتة، أولاها في نهاية السنة الأولى).

القروض التي تكون من عدّة مقرضين تُسمّى قروض الاكتتاب: وهي القروض غير العادية، أي القروض السندية التي يكتتب فيها عدد من المقرضين.

2- جدول استهلاك القرض العادي

يُقصد باستهلاك القرض سداده من قبل المقترض إلى المقرض: يسدّد المقترض، في نهاية كلّ وحدة زمنية، دفعة ثابتة تتضمّن جزأين: جزءا يمثّل قسط الاستهلاك من القرض، وجزءا يمثّل الفائدة المحسوبة على المبلغ الباقي تسديده في بداية الوحدة الزمنية.
علاقة الدفعة الثابتة

الدفعة الثابتة = قسط الاستهلاك + الفائدة على المبلغ المتبقّي من القرض

ويمنح المقرض للمقترض جدولا يُسمّى جدول استهلاك القرض، يتكوّن من أسطر بعدد وحدات مدّة التسديد، ويحدّد له في كلّ سطر: المبلغ الباقي تسديده في بداية الوحدة الزمنية، والفائدة المتعلّقة بالوحدة الزمنية، وقسط الاستهلاك من القرض، وقيمة الدفعة الواجب تسديدها في نهاية الوحدة الزمنية، والمبلغ الباقي تسديده في نهايتها. ولبنائه نرمز بما يلي:

الرمزما يمثّله
⁦V₀⁩أصل القرض (رأس المال المقترض)
⁦a₁, a₂, …, aₙ⁩الدفعات المتتالية
⁦A₁, A₂, …, Aₙ⁩الاستهلاكات المتتالية المتضمّنة في الدفعات الثابتة
⁦V₁, V₂, …, Vₙ⁩رأس المال المتبقّي بعد تسديد الدفعة الأولى، الثانية، …، الأخيرة
⁦i⁩معدّل الفائدة المطبّق
⁦n⁩عدد الدفعات الثابتة
رموز جدول استهلاك القرض

ويُملأ كلّ سطر بالقواعد نفسها، انطلاقا من رأس المال المتبقّي في بداية الوحدة الزمنية:

الفائدة في السطر ⁦k⁩
Ik = Vk − 1 × i
الدفعة في السطر ⁦k⁩
ak = Ak + Ik
رأس المال المتبقّي في نهاية الوحدة ⁦k⁩
Vk = Vk − 1 − Ak
الوحدة الزمنيةرأس المال المتبقّي في بداية الوحدةالفائدةالاستهلاكالدفعةرأس المال المتبقّي في نهاية الوحدة
1⁦V₀⁩⁦I₁⁩⁦A₁⁩⁦a₁⁩⁦V₁⁩
2⁦V₁⁩⁦I₂⁩⁦A₂⁩⁦a₂⁩⁦V₂⁩
………………
⁦n⁩⁦Vₙ₋₁⁩⁦Iₙ⁩⁦Aₙ⁩⁦aₙ⁩0
المجموع—⁦ΣI⁩⁦ΣA⁩⁦Σa⁩—
شكل جدول استهلاك قرض عاديّ
مجموع الاستهلاكات يساوي أصل القرض
ΣA = V0
مجموع الدفعات
Σa = ΣA + ΣI

وفي السطر الأخير يُسدَّد القرض كلّه، فرأس المال المتبقّي بعد الدفعة الأخيرة معدوم، والاستهلاك الأخير يساوي رأس المال المتبقّي في بداية الوحدة الأخيرة:

الاستهلاك الأخير
Vn = Vn − 1 − An = 0 ⇔ An = Vn − 1
الدفعة بدلالة الاستهلاك الأخير
an=An + In=An + Vn − 1 × i=An + An × i=An(1 + i)

نستنتج أنّ الدفعة الثابتة تساوي الاستهلاك الأخير مضافا إليه فائدته.

☞ كيف يتمّ إعداد جدول استهلاك القرض؟
📌المعطى
أصل القرضعدد الدفعاتالمعدّل المطبّقأوّل دفعة
3000000 دج5⁦10%⁩ سنويافي نهاية السنة الأولى من الاقتراض
قرض مؤسسة «الدلفين»

نحسب أوّلا الدفعة: أصل القرض هو القيمة الحالية لسلسلة الدفعات دورة واحدة قبل أول دفعة، ومنه نستخرج الدفعة:

الدفعة بدلالة أصل القرض
A0 = a × 1 − (1 + i)−ni ⇔ a = A0 × i1 − (1 + i)−n
🔹الخطوة 1: القيمة المكتسبة لـ 1 دج خلال 5 سنوات
(1,1)5 = 1,61051
🔹الخطوة 2: المقام
1 − (1,1)−5=1 − 11,61051=0,610511,61051
🔹الخطوة 3: الدفعة الثابتة (دج)
a=3000000 × 0,1 × 1,610510,61051=4831530,61051 ≈ 791392,44
✅النّتيجة: الدفعة الثابتة، مقرّبة إلى السنتيم (دج)
a ≈ 791392,44

ثمّ نملأ السطر الأوّل بقواعد الجدول:

🔹الخطوة 4: فائدة السنة الأولى (دج)
I1=3000000 × 0,1=300000
🔹الخطوة 5: الاستهلاك الأوّل (دج)
A1=791392,44 − 300000=491392,44
🔹الخطوة 6: رأس المال المتبقّي في نهاية السنة الأولى (دج)
V1=3000000 − 491392,44=2508607,56

وبالقواعد نفسها نملأ الأسطر الموالية، فرأس المال المتبقّي في نهاية كلّ سنة هو رأس المال في بداية السنة الموالية، وتُقرَّب الفائدة إلى السنتيم:

الوحدة الزمنيةرأس المال المتبقّي في بداية الوحدةالفائدةالاستهلاكالدفعةرأس المال المتبقّي في نهاية الوحدة
13000000,00300000,00491392,44791392,442508607,56
22508607,56250860,76540531,68791392,441968075,88
31968075,88196807,59594584,85791392,441373491,03
41373491,03137349,10654043,34791392,44719447,69
5719447,6971944,77719447,69791392,460,00
المجموع—956962,223000000,003956962,22—
جدول استهلاك قرض مؤسسة «الدلفين» (بالدينار الجزائريّ)

في السطر الأخير يُسجَّل الاستهلاك مساويا لرأس المال المتبقّي، فيُسدَّد القرض كلّه؛ ولذلك تزيد الدفعة الأخيرة بسنتيمين، هما مجموع فروق التقريب إلى السنتيم في الأسطر السابقة.

🔹الخطوة 7: التحقّق، مجموع الاستهلاكات (دج)
491392,44 + 540531,68 + 594584,85 + 654043,34 + 719447,69=3000000

نلاحظ من الجدول أنّ الفوائد متناقصة وأنّ الاستهلاكات متزايدة، وأنّ مجموع الاستهلاكات يساوي أصل القرض.

3- العلاقات بين عناصر جدول الاستهلاك

3-1. العلاقة بين الاستهلاكات المتتالية

الدفعة ثابتة: فمن سطر إلى السطر الموالي، ما ينقص من الفائدة يزيد في الاستهلاك. نكتب ثبات الدفعة بين سطرين متتاليين، ثمّ نعوّض الفرق بين رأسي المال المتبقّيين بالاستهلاك:

ثبات الدفعة بين سطرين متتاليين
Ak + Vk − 1 × i=Ak + 1 + Vk × i
العلاقة بين استهلاكين متتاليين
Ak + 1=Ak + (Vk − 1 − Vk) × i=Ak + Ak × i=Ak(1 + i)
الاستهلاك ⁦p⁩ بدلالة الاستهلاك الأوّل
Ap = A1(1 + i)p − 1

فالاستهلاكات متتالية هندسية أساسها ⁦(1 + i)⁩. ونتحقّق من ذلك في جدول مؤسسة «الدلفين»:

مثال: الاستهلاك الثاني بدلالة الأوّل (دج)
A2 = 491392,44 × 1,1 ≈ 540531,68

3-2. العلاقة بين أصل القرض والاستهلاك الأول

مجموع الاستهلاكات يساوي أصل القرض، وهي متتالية هندسية حدّها الأوّل ⁦A₁⁩ وأساسها ⁦(1 + i)⁩ وعدد حدودها ⁦n⁩:

أصل القرض بدلالة الاستهلاك الأوّل
V0=A1 + A1(1 + i) + … + A1(1 + i)n − 1=A1 × (1 + i)n − 1i

فأصل القرض هو القيمة المكتسبة لسلسلة الاستهلاكات في نهاية الوحدة الزمنية الأخيرة؛ ومنه نستخرج الاستهلاك الأوّل:

الاستهلاك الأوّل بدلالة أصل القرض
A1=V0 × i(1 + i)n − 1
مثال: أصل قرض مؤسسة «الدلفين» بدلالة الاستهلاك الأوّل، مقرّبا إلى الدينار (دج)
V0=491392,44 × (1,1)5 − 10,1=491392,44 × 6,1051 ≈ 3000000
يمكن كتابة أصل القرض بدلالة أيّ استهلاك، بكتابة هذا الأخير بدلالة الاستهلاك الأوّل:
أصل القرض بدلالة الاستهلاك ⁦j⁩
V0=Aj × (1 + i)1 − j × (1 + i)n − 1i

3-3. العلاقة بين الدفعة والاستهلاكات

لدينا العلاقة بين الدفعة والاستهلاك الأخير، والعلاقة بين الاستهلاك الأخير والأوّل؛ وبالتعويض:

الدفعة بدلالة الاستهلاك الأخير
a = An(1 + i)
الاستهلاك الأخير بدلالة الأوّل
An = A1(1 + i)n − 1
الدفعة بدلالة الاستهلاك الأوّل
a=A1(1 + i)n − 1(1 + i)=A1(1 + i)n

إذن الدفعة هي القيمة المكتسبة للاستهلاك الأوّل لـ ⁦n⁩ وحدة زمنية. ويمكن إيجادها بدلالة أيّ استهلاك آخر، بتعويض الاستهلاك الأوّل بدلالة الاستهلاك ⁦p⁩:

الدفعة بدلالة الاستهلاك ⁦p⁩
A1 = Ap(1 + i)1 − p ⇔ a = Ap(1 + i)1 − p(1 + i)n = Ap(1 + i)n − p + 1

فالدفعة هي القيمة المكتسبة لاستهلاك السنة ⁦p⁩ للمدّة ⁦n − p + 1⁩. ومن جدول مؤسسة «الدلفين»:

مثال 1: الدفعة بدلالة الاستهلاك الأوّل، مقرّبة إلى الدينار (دج)
a=491392,44 × (1,1)5=491392,44 × 1,61051 ≈ 791392
مثال 2: الدفعة بدلالة الاستهلاك الثاني، مقرّبة إلى الدينار (دج)
a=A2(1,1)5 − 2 + 1=540531,68 × (1,1)4=540531,68 × 1,4641 ≈ 791392

3-4. العلاقة بين أصل القرض والدفعات

أصل القرض هو القيمة الحالية لسلسلة الدفعات الثابتة في بداية الوحدة الزمنية الأولى؛ كما أنّ القيمة المكتسبة للدفعات الثابتة تساوي القيمة المكتسبة للقرض في نهاية الوحدة الزمنية الأخيرة:

تساوي القيمتين المكتسبتين
V0(1 + i)n=a × (1 + i)n − 1i

وبضرب طرفي المساواة في ⁦(1 + i)⁻n⁩ نجد:

أصل القرض بدلالة الدفعة
V0=a × (1 + i)n − 1i × (1 + i)−n=a × 1 − (1 + i)−ni

وهي العلاقة التي رأيناها في درس القيمة الحالية لسلسلة دفعات ثابتة، وبها حسبنا دفعة قرض مؤسسة «الدلفين».

3-5. المبلغ المسدد من أصل القرض عند تسديد الدفعة ⁦p⁩

عند تسديد الدفعة ⁦p⁩ نكون قد سدّدنا من القرض الاستهلاكات من ⁦A₁⁩ إلى ⁦Aₚ⁩: فالمبلغ المسدّد من القرض، ونرمز له بـ ⁦Rₚ⁩، هو مجموع الاستهلاكات المسدّدة. ونكتبها بدلالة الاستهلاك الأوّل، فنجد متتالية هندسية:

المبلغ المسدّد من أصل القرض
Rp=A1 + A1(1 + i) + A1(1 + i)2 + … + A1(1 + i)p − 1=A1 × (1 + i)p − 1i

فالمبلغ المسدّد من أصل القرض هو القيمة المكتسبة للاستهلاكات المسدّدة. مثال — المبلغ المسدّد من أصل قرض مؤسسة «الدلفين» عند تسديد الدفعة الرابعة:

🔹الخطوة 1: القيمة المكتسبة من 4 استهلاكات بقيمة 1 دج
(1,1)4 − 10,1=1,4641 − 10,1=4,641
🔹الخطوة 2: المبلغ المسدّد (دج)
R4 = 491392,44 × 4,641 ≈ 2280552,31
✅النّتيجة: المبلغ المسدّد من أصل القرض بعد الدفعة الرابعة (دج)
R4 ≈ 2280552,31

وهو فعلا مجموع الاستهلاكات الأربعة الأولى في الجدول:

التحقّق من الجدول (دج)
491392,44 + 540531,68 + 594584,85 + 654043,34=2280552,31

3-6. المبلغ الباقي تسديده من أصل القرض عند تسديد الدفعة ⁦p⁩

المبلغ الباقي تسديده من أصل القرض عند تسديد الدفعة ⁦p⁩ هو مجموع الاستهلاكات الباقي تسديدها، من الدفعة ⁦p + 1⁩ إلى آخر دفعة ⁦n⁩. وهي متتالية هندسية حدّها الأوّل ⁦Aₚ₊₁⁩ وأساسها ⁦(1 + i)⁩ وعدد حدودها ⁦n − p⁩:

المبلغ الباقي تسديده بدلالة الاستهلاكات
Vp=Ap + 1 + Ap + 2 + Ap + 3 + … + An=Ap + 1 × (1 + i)n − p − 1i

مثال — عند تسديد الدفعة الثانية تبقى 3 دفعات، تتضمّن الاستهلاكات الثالث والرابع والخامس:

🔹الخطوة 1: القيمة المكتسبة من 3 استهلاكات بقيمة 1 دج
(1,1)3 − 10,1=1,331 − 10,1=3,31
🔹الخطوة 2: المبلغ الباقي تسديده، مقرّبا إلى الدينار (دج)
V2=A3 × 3,31=594584,85 × 3,31 ≈ 1968076

ويمكن تحديده أيضا بحساب القيمة الحالية للدفعات الباقي تسديدها:

المبلغ الباقي تسديده بدلالة الدفعة
Vp=a × 1 − (1 + i)−(n − p)i
🔹الخطوة 3: القيمة الحالية من 3 دفعات بقيمة 1 دج
1 − (1,1)−30,1=1 − 11,3310,1=3,311,331
🔹الخطوة 4: القيمة الحالية للدفعات الثلاث الباقية، مقرّبة إلى الدينار (دج)
V2 = 791392,44 × 3,311,331 ≈ 1968076
✅النّتيجة: المبلغ الباقي تسديده بعد الدفعة الثانية، مقرّبا إلى الدينار (دج)
V2 ≈ 1968076

والطريقتان تعطيان رأس المال المتبقّي نفسه بعد الدفعة الثانية في الجدول، ⁦1968075,88⁩ دج، مقرّبا إلى الدينار.

في امتحان البكالوريا يُختبر استهلاك القرض العاديّ في صيغ مثل: «أعدّ جدول استهلاك القرض»، «أكمل الجدول انطلاقا من بعض عناصره»، «احسب المبلغ المسدّد أو الباقي تسديده بعد دفعة معيّنة». احتفظ جاهزا بثلاثة عناصر: ① قواعد السطر: الفائدة تُحسب على رأس المال المتبقّي في بداية الوحدة، والاستهلاك هو الدفعة ناقص الفائدة، ورأس المال المتبقّي في نهاية الوحدة هو رأس المال في بدايتها ناقص الاستهلاك؛ ② العلاقات: ⁦Aₖ₊₁ = Aₖ(1 + i)⁩، ⁦a = Aₙ(1 + i) = A₁(1 + i)n⁩، ⁦V₀ = A₁ × ((1 + i)n − 1) / i⁩؛ ③ الضوابط: مجموع الاستهلاكات يساوي أصل القرض، ورأس المال المتبقّي بعد الدفعة الأخيرة معدوم. ⚠️ خطأ يجب تجنّبه: حساب الفائدة على أصل القرض في كلّ سطر، والصواب أنّها تُحسب على رأس المال المتبقّي في بداية الوحدة، فهي متناقصة. ⚠️ وخطأ ثانٍ: عدّ الدفعة كلّها تسديدا لأصل القرض، والصواب أنّ ما يُسدَّد من الأصل هو الاستهلاك وحده.
نتيجة — القرض العاديّ قرض من مقرض واحد، يُثبته عقد، ويُسدَّد بدفعات ثابتة. كلّ دفعة تتضمّن استهلاكا من أصل القرض وفائدة على رأس المال المتبقّي في بداية الوحدة؛ ويُعرض ذلك في جدول استهلاك القرض، سطرا لكلّ وحدة زمنية، حيث الفوائد متناقصة والاستهلاكات متزايدة، ومجموع الاستهلاكات يساوي أصل القرض. والاستهلاكات متتالية هندسية أساسها ⁦(1 + i)⁩، والدفعة تساوي الاستهلاك الأخير مضافا إليه فائدته، وأصل القرض هو القيمة المكتسبة للاستهلاكات والقيمة الحالية للدفعات. والمبلغ المسدّد بعد الدفعة ⁦p⁩ هو القيمة المكتسبة للاستهلاكات المسدّدة، والمبلغ الباقي هو مجموع الاستهلاكات الباقية، أو القيمة الحالية للدفعات الباقية. ⟸ فكيف تسجّل المؤسسة استلام القرض ثمّ تسديد كلّ دفعة في دفاترها؟ ذلك موضوع الدرس الموالي: التسجيل المحاسبيّ للقرض.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net