الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة والحساب على الجذور › الأعداد الطبيعية و الأعداد الناطقة
خواص قاسم عدد طبيعي
- التعرف على قاسم مشترك لعددين طبيعيين غير معدومين
- استعمال خاصية القاسم المشترك مع المجموع و الفرق و الجداء
- استعمال خاصية القاسم المشترك مع باقي القسمة الإقليدية
- استعمال تعدي القسمة بين ثلاثة أعداد طبيعية
- تعريف قاسم عدد طبيعي و معنى الباقي المعدوم
- كتابة عدد طبيعي على شكل جداء عاملين طبيعيين
- إجراء القسمة الإقليدية و قراءة حاصلها و باقيها
معارف — القاسم المشترك لعددين
العدد c قاسم مشترك للعددين a و b إذا كان قاسما للأول و قاسما للثاني في الوقت نفسه. و معنى ذلك بلغة الجداء أن كلا من العددين a و b يكتب على شكل جداء يظهر فيه العامل c نفسه.
معارف — القاسم المشترك يقسم المجموع و الفرق و الجداء
إذا كان العدد c يقسم كلا من a و b، فإنه يقسم أيضا مجموعهما، و فرقهما، و جداءهما. و البرهان يقرأ في الكتابتين مباشرة: يكفي أن نخرج العامل المشترك c.
نعوض a بـ c × m و b بـ c × n، ثم نخرج العامل المشترك c من المجموع.
بالطريقة نفسها، غير أننا نطرح هنا بدل أن نجمع.
جداء الكتابتين يعطي c × m × c × n، و هو c مضروب في العدد الطبيعي c × m × n.
معارف — القاسم المشترك يقسم باقي القسمة
و إذا كان العدد c يقسم كلا من a و b، فإنه يقسم كذلك باقي القسمة الإقليدية للعدد a على b. و السبب أن الباقي نفسه فرق: هو ما يفضل من a بعد طرح مضاعف للعدد b.
نعوض a بـ c × m و b بـ c × n في الكتابة السابقة، ثم نخرج العامل c.
معارف — تعدي القسمة بين ثلاثة أعداد
إذا كان العدد c يقسم b، و كان b يقسم a، فإن c يقسم a. أي أن صفة القاسم تنتقل على طول السلسلة: قاسم القاسم قاسم.
لدينا b = c × m و a = b × n، فبتعويض الأولى في الثانية نجد a = c × m × n.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نتحقق أن عددا قاسم مشترك لعددين؟
نكتب كلا من العددين على شكل جداء يظهر فيه العدد المقترح عاملا. إن نجحت الكتابتان معا فهو قاسم مشترك، و إن فشلت واحدة منهما فليس كذلك.
🎯المطلوب: تحقّق مما إذا كان العدد 6 قاسما مشتركا للعددين 24 و 42
نقسم 24 على 6 فنجد قسمة تامة دون باق، و نكتب النتيجة على شكل جداء.
و نعيد العملية نفسها مع العدد 42.
ظهر العامل 6 في الكتابتين معا، و العاملان الآخران 4 و 7 عددان طبيعيان.
طريقة 2: كيف نستعمل خاصيات المجموع و الفرق و الجداء؟
لا نحسب قواسم العدد الجديد من الصفر: نتحقق أولا أن العدد المقترح يقسم العددين الأصليين، ثم نطبق الخاصية المناسبة و نخرج العامل المشترك.
نأخذ العددين 27 و 18، و العدد 3.
🎯المطلوب: بيّن أن العدد 3 يقسم مجموع العددين 27 و 18، و فرقهما، و جداءهما
نبدأ بالتحقق من الفرضية، لأن كل ما يأتي بعدها يقوم عليها.
نحسب المجموع، ثم نخرج منه العامل 3.
نطرح الأصغر من الأكبر، ثم نخرج العامل 3 من الفرق.
و نحسب الجداء، ثم نخرج منه العامل 3 هو أيضا.
في الحالات الثلاث ظهر العدد 3 عاملا، و العامل الآخر عدد طبيعي في كل مرة.
| العنصر | قيمته | كتابة تظهر العامل 3 |
|---|---|---|
| a | 27 | 27 = 3 × 9 |
| b | 18 | 18 = 3 × 6 |
| c | 3 | 3 = 3 × 1 |
| a + b | 45 | 45 = 3 × 15 |
| a − b | 9 | 9 = 3 × 3 |
| a × b | 486 | 486 = 3 × 162 |
طريقة 3: كيف نستعمل خاصية الباقي؟
نجري القسمة الإقليدية للعدد الأكبر على الأصغر، ثم نطبق الخاصية على الباقي: كل قاسم مشترك للعددين يقسم هذا الباقي.
العدد 3 يقسم كلا من 84 و 15.
🎯المطلوب: عيّن باقي القسمة الإقليدية للعدد 84 على 15، ثم تحقّق أن العدد 3 يقسمه
نبدأ بالتحقق من الفرضية: 84 = 3 × 28 و 15 = 3 × 5، فالعدد 3 قاسم مشترك للعددين.
العدد 15 يدخل في 84 خمس مرات كاملة، أي 15 × 5 = 75، و يفضل بعدها 9.
نقرأ الباقي في الكتابة السابقة، و نتأكد أنه أصغر من المقسوم عليه.
الخاصية تضمن أن العدد 3 يقسم هذا الباقي، و الكتابة تؤكد ذلك.
طريقة 4: كيف نستعمل التعدي؟
عندما يعطيك التمرين سلسلة على شكل « c يقسم b و b يقسم a »، لا تحسب شيئا: عوض كتابة العدد الأوسط داخل كتابة العدد الأكبر، ثم اقرأ العامل الناتج.
نعلم أن العدد 4 يقسم العدد 12، و أن العدد 12 يقسم العدد 60.
🎯المطلوب: استنتج أن العدد 4 يقسم العدد 60 دون إجراء أي قسمة
نكتب العدد 12 على شكل جداء يظهر فيه العامل 4.
و نكتب العدد 60 على شكل جداء يظهر فيه العامل 12.
نعوض كتابة العدد 12 داخل كتابة العدد 60، فيظهر العامل 4 و معه جداء عاملين طبيعيين.
العامل الآخر هو 3 × 5 = 15، و هو عدد طبيعي.
Page 1/9
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net