عمليات على الجذور

جذر جداء عددين موجبين يساوي جداء جذريهما. هذه القاعدة تُقرأ في الاتجاهين: من اليسار إلى اليمين لتفكيك جذر إلى جذرين، ومن اليمين إلى اليسار لجمع جذرين في جذر واحد.

وإذا كان أحد العاملين مربّعا كاملا خرج من تحت الجذر عددا صحيحا، لأن جذر مربّع عدد موجب هو العدد نفسه. هذه هي الحيلة التي تُبسّط كل جذر تقريبا.

وما صحّ على الضرب يصحّ على القسمة: جذر حاصل قسمة عددين موجبين يساوي حاصل قسمة جذريهما، بشرط أن يكون المقام مخالفا للصفر.

هنا يقع أكثر الأخطاء شيوعا في هذا الدرس. لا توجد قاعدة تفكّ جذر مجموع أو جذر فرق: جذر المجموع لا يساوي مجموع الجذرين، وجذر الفرق لا يساوي فرق الجذرين. والمثال المضاد الواحد يكفي لإثبات أن القاعدة لا وجود لها.

عندما يكون مقام كسر جذرا تربيعيا، يصعب تقدير قيمة الكسر ومقارنته بغيره. فنحوّله إلى كسر مقامه عدد ناطق: نضرب البسط والمقام في نفس الجذر، فيصير المقام مربّع ذلك الجذر، أي عددا ناطقا. وقيمة الكسر لا تتغيّر، لأن ضرب البسط والمقام في نفس العدد لا يغيّر الكسر.

نفكّك العدد إلى جداء أكبر مربّع كامل يقسمه في العدد المتبقّي، ثم نفصل الجذرين، ثم نخرج المربّع الكامل من تحت الجذر.

نجمع الأعداد الناطقة في جهة والجذور في جهة، ثم نضرب كلّا على حدة. وإذا تساوى الجذران كان جداؤهما هو العدد الذي تحتهما، لأن مربّع الجذر يعيد العدد.

نكتب العبارة تحت الجذر على شكل كسر، ثم نفصل جذر البسط عن جذر المقام، ثم نحسب كلا الجذرين إن كانا مربّعين كاملين.

لا تُثبَت القواعد بالأمثلة، لكن الأمثلة المضادّة تهدمها. نحسب الطرفين كلّا على حدة بأعداد بسيطة، ثم نقارن: إن اختلفا فالقاعدة المزعومة باطلة.

نضرب البسط والمقام في الجذر الموجود في المقام. فيصير المقام مربّع ذلك الجذر، أي عددا ناطقا، ويبقى الجذر في البسط. ثم نبسّط ما يمكن تبسيطه.