خاصية طاليس وحساب المثلثات في المثلث القائم
النظرية العكسية لطالس
- التعرّف على وضعية طالس في شكل، وتمييز وضعية المثلث من وضعية الفراشة
- كتابة النسب المتساوية التي تعطيها النظرية المباشرة لطالس
- استعمال النظرية العكسية لطالس لإثبات أن مستقيمين متوازيان
- التحقّق من شرطي الاستقامية والترتيب قبل كل استنتاج
- معنى مستقيمين متوازيين، والرمز ∥ الذي يدلّ على التوازي
- حساب حاصل قسمة عددين عشريين وكتابته بصيغة عشرية
- معنى النقط التي تكون على استقامة واحدة
معارف — وضعية طالس، وشكلاها
نكون في وضعية طالس عندما يتقاطع مستقيمان في نقطة، ونأخذ على أحدهما نقطتين تختلفان عن نقطة التقاطع، وعلى الآخر نقطتين تختلفان عنها كذلك. عندئذ نستطيع أن نتكلّم عن نسب الأطوال المنطلقة من نقطة التقاطع.
وهذه الوضعية تأتي في شكلين اثنين لا ثالث لهما، وكلاهما صالح للنظريتين. في وضعية المثلث (وتسمّى كذلك الشكل المثلثي) تقع النقطتان على نفس الجهة من نقطة التقاطع على كل مستقيم، فتكون نقطة التقاطع خارج ما بين المتوازيين. وفي وضعية الفراشة (أو شكل الفراشة) تقع كل نقطتين على جهتين متقابلتين من نقطة التقاطع، فتقع هذه الأخيرة بين المتوازيين ويبدو الشكل جناحين.
معارف — النظرية المباشرة: من التوازي إلى تساوي النسب
إذا كان المستقيمان اللذان يصلان بين النقط الأربع متوازيين، تساوت ثلاث نسب: نسبة الطولين على المستقيم الأول، ونسبة الطولين على المستقيم الثاني، ونسبة القطعتين المتوازيتين نفسيهما. وبهذه النسب نحسب الأطوال المجهولة.
النسبتان الأوليان تُقرآن على المستقيمين المتقاطعين، والثالثة على القطعتين المتوازيتين؛ وهي معهما لأن الأشكال متشابهة.
معارف — النظرية العكسية: من تساوي النسب إلى التوازي
والعكس صحيح بشرطين: إذا كانت النقط على استقامة واحدة مع نقطة التقاطع، وكان ترتيب النقطتين على المستقيم الأول هو نفسه على المستقيم الثاني، وتساوت النسبتان، فإن المستقيمين متوازيان. وهذه هي الأداة الوحيدة التي تعطي التوازي انطلاقا من أطوال.
النسبتان تُحسبان انطلاقا من نقطة التقاطع، والنتيجة توازي القطعتين اللتين تصلان بين النقط.
معارف — الشرطان اللذان لا يُتنازل عنهما
النسبتان المتساويتان وحدهما لا تكفيان. لا بدّ أوّلا من التأكّد أن كل ثلاث نقط منها على استقامة واحدة مع نقطة التقاطع، ثم أن الترتيب واحد على المستقيمين: إما أن تكون النقطتان القريبتان من نقطة التقاطع على نفس الجهة، وإما أن تكونا على الجهتين المتقابلتين معا.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نقرأ وضعية طالس ونكتب نسبها؟
نحدّد أوّلا نقطة التقاطع، ثم النقطتين على كل مستقيم، ثم القطعتين المتوازيتين. وعند كتابة النسب نبدأ كل طول من نقطة التقاطع، ونضع في كل نسبة القريب على البعيد.
مستقيمان متقاطعان في النقطة A. على الأول النقطتان M ثم B ابتداء من A، وعلى الثاني النقطتان N ثم C، والقطعتان المرسومتان متوازيتان.
🎯المطلوب: اكتب النسب الثلاث المتساوية التي تعطيها النظرية المباشرة في هذه الوضعية.
نتأكّد أوّلا من الوضعية: النقط على استقامة واحدة مع نقطة التقاطع، وكل نقطة قريبة تقع بين نقطة التقاطع والنقطة البعيدة، والقطعتان متوازيتان بالمعطى.
نكتب النسبة الأولى على المستقيم الأول: الطول القريب على الطول البعيد، وكلاهما ينطلق من نقطة التقاطع.
ثم النسبة الثانية على المستقيم الثاني، بنفس الترتيب تماما.
والنسبة الثالثة على القطعتين المتوازيتين: القطعة القريبة على القطعة البعيدة.
طريقة 2: كيف نحسب طولا مجهولا بالنظرية المباشرة؟
نكتب النسب الثلاث، ثم نعوّض بالأطوال المعلومة، ثم نختار من بين النسب اثنتين فيهما مجهول واحد فقط، ونحسبه بالجداء التبادلي: نضرب طرفين ونقسم على الثالث.
مستقيمان متقاطعان في A. النقط A و B و M على استقامة واحدة، والنقط A و C و N على استقامة واحدة، والقطعتان المرسومتان متوازيتان. المعطى: طول أول يساوي 4,5 سم، وطول ثان 3 سم، وطول ثالث 4,8 سم، ورابع 6,4 سم.
🎯المطلوب: احسب الطولين المجهولين في هذه الوضعية بتطبيق النظرية المباشرة لطالس.
النقط على استقامة واحدة مع نقطة التقاطع، والتوازي معطى في نصّ التمرين: نحن إذن في وضعية طالس.
نكتب النسب الثلاث كما تعطيها النظرية المباشرة.
نعوّض كل طول معلوم بقيمته، ونترك المجهولين في مكانهما.
نأخذ النسبتين الأوليين: فيهما مجهول واحد. الجداء التبادلي يعطي ضرب طرفين وقسمة على الثالث.
نتمّ القسمة.
ثم نأخذ النسبتين الثانية والثالثة، وفيهما المجهول الآخر وحده.
طريقة 3: كيف نثبت أن مستقيمين متوازيان؟
نتحقّق من الاستقامية ومن الترتيب، ثم نحسب النسبتين كلّا على حدة بصيغة عشرية، ثم نقارنهما. إذا تساوتا استنتجنا التوازي بالنظرية العكسية، وذكرنا اسمها في الجواب.
مستقيمان متقاطعان في النقطة O. النقط C و O و E على استقامة واحدة، والنقط R و O و S على استقامة واحدة، والنقطتان E و S على نفس الجهة من O. المعطى: بعد E عن O يساوي 2 سم، وبعد C عن O يساوي 5 سم، وبعد S عن O يساوي 3,2 سم، وبعد R عن O يساوي 8 سم.
🎯المطلوب: بيّن أن المستقيم الذي يشمل S و E يوازي المستقيم الذي يشمل C و R.
نبدأ بالشرطين: النقط على استقامة واحدة مع نقطة التقاطع، والنقطتان القريبتان منها على نفس الجهة، فالترتيب واحد على المستقيمين.
نحسب النسبة الأولى على المستقيم الأول ونكتبها بصيغة عشرية.
ثم النسبة الثانية على المستقيم الثاني، بنفس الترتيب: القريب على البعيد.
النسبتان متساويتان، والشرطان محقّقان: تنطبق النظرية العكسية لطالس.
طريقة 4: كيف نثبت أن مستقيمين ليسا متوازيين؟
نحسب النسبتين كما في الطريقة السابقة. فإذا اختلفتا، لم يكن المستقيمان متوازيين: لأنهما لو كانا متوازيين لتساوت النسبتان حسب النظرية المباشرة. هذا استعمال معاكس للنظرية نفسها، وهو مطلوب كثيرا في الامتحان.
مستقيمان متقاطعان في A. النقطة M بين A و B، والنقطة N بين A و C. المعطى: بعد M عن A يساوي 6 سم، وبعد B عن A يساوي 8 سم، وبعد N عن A يساوي 8 سم، وبعد C عن A يساوي 10 سم.
🎯المطلوب: بيّن أن المستقيم الذي يشمل M و N لا يوازي المستقيم الذي يشمل B و C.
النقط على استقامة واحدة مع نقطة التقاطع، والنقطتان القريبتان منها على نفس الجهة: الشرطان محقّقان، فيمكن حساب النسب.
نحسب النسبة الأولى بصيغة عشرية.
ثم النسبة الثانية بنفس الترتيب.
النسبتان مختلفتان. ولو كان المستقيمان متوازيين لتساوتا حسب النظرية المباشرة، فالتوازي مستحيل هنا.
Page 1/9
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net