خاصية طاليس وحساب المثلثات في المثلث القائم
جيب , جيب تمام , ظل زاوية حادة
- تسمية وتر المثلّث القائم، والضلع المقابل لزاوية حادّة، والضلع المجاور لها
- كتابة جيب زاوية حادّة وجيب تمامها وظلّها على شكل نسبة بين طولين
- حساب هذه النسب الثلاث في مثلّث قائم معلومة أطوال أضلاعه
- معرفة أنّ الجيب وجيب التمام محصوران بين 0 و 1، وأنّ الظلّ عدد موجب
- التعرّف على المثلّث القائم وعلى زاويته القائمة
- تطبيق خاصّية فيثاغورس لحساب طول ضلع في مثلّث قائم
- كتابة نسبة عددين واختزالها، وحساب قيمة مقرّبة لكسر
معارف — أضلاع المثلّث القائم بالنسبة إلى زاوية حادّة
في مثلّث قائم، الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة يسمّى الوتر. وهو أطول أضلاع المثلّث، لأنّ الزاوية القائمة هي أكبر زواياه. أمّا الضلعان الآخران فيحيطان بالزاوية القائمة.
ثمّ نختار إحدى الزاويتين الحادّتين ونسمّي الضلعين الآخرين بالنسبة إليها: الضلع الذي لا يمرّ برأسها هو الضلع المقابل لها، والضلع الذي يمرّ برأسها وليس هو الوتر هو الضلع المجاور لها.
معارف — جيب زاوية حادّة وجيب تمامها
جيب زاوية حادّة في مثلّث قائم هو حاصل قسمة طول الضلع المقابل لهذه الزاوية على طول الوتر. وهو عدد بلا وحدة، لأنّه نسبة بين طولين معبّر عنهما بنفس الوحدة.
وجيب تمام هذه الزاوية هو حاصل قسمة طول الضلع المجاور لها على طول الوتر. فالمقام واحد في النسبتين، وهو الوتر، ولا يتغيّر إلا البسط.
معارف — ظلّ زاوية حادّة
ظلّ زاوية حادّة في مثلّث قائم هو حاصل قسمة طول الضلع المقابل لهذه الزاوية على طول الضلع المجاور لها. فالوتر لا يدخل في هذه النسبة أصلا: الظلّ يُقاس على ضلعي الزاوية القائمة وحدهما.
وبعض الزوايا يُعرف ظلّها بقيمة مضبوطة دون حاسبة، لأنّها تُقرأ على مثلّثات خاصّة، مثل الزاوية 30 درجة والزاوية 60 درجة.
معارف — حصر الجيب وجيب التمام، وإشارة الظلّ
الوتر أطول أضلاع المثلّث القائم. فالضلع المقابل أقصر منه، والضلع المجاور أقصر منه كذلك. ولمّا كان الوتر هو مقام النسبتين الأوليين، كان بسط كلّ واحدة منهما أصغر من مقامها: لهذا يكون جيب زاوية حادّة وجيب تمامها عددين محصورين بين 0 و 1 دائما.
أمّا الظلّ فمقامه هو الضلع المجاور، لا الوتر. فلا شيء يمنع بسطه من أن يكون أكبر من مقامه، ولا حدّ أعلى له. وكلّ ما نعرفه أنّه عدد موجب، لأنّ الأطوال أعداد موجبة.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نحدّد الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور؟
ابدأ دائما بالزاوية القائمة: الضلع الذي يقابلها هو الوتر، وهو ثابت لا يتغيّر. ثمّ انظر إلى الزاوية الحادّة المدروسة: الضلع الذي لا يمرّ برأسها هو الضلع المقابل لها، والضلع الباقي هو الضلع المجاور. عندئذ تكتب النسب الثلاث دون أن تفكّر.
مثلّث قائم الزاوية في الرأس N، ورأساه الآخران M و P، حيث MN يساوي 3 سم و NP يساوي 4 سم و MP يساوي 5 سم.
🎯المطلوب: حدّد الوتر، ثمّ الضلع المقابل للزاوية M والضلع المجاور لها، ثمّ اكتب النسب المثلّثية الثلاث للزاوية M.
الزاوية القائمة عند الرأس N، والضلع الذي يقابلها هو [MP]: فهو وتر المثلّث، وهو فعلا أطول الأضلاع الثلاثة.
الضلع [NP] لا يمرّ بالرأس M، فهو الضلع المقابل للزاوية M.
والضلع [MN] يمرّ بالرأس M وليس هو الوتر، فهو الضلع المجاور للزاوية M.
نضع كلّ طول في مكانه من التعاريف الثلاثة: المقابل على الوتر، ثمّ المجاور على الوتر، ثمّ المقابل على المجاور.
طريقة 2: كيف نحسب جيب زاوية حادّة وجيب تمامها؟
اكتب النسبة كما تنطق بها: المقابل على الوتر للجيب، والمجاور على الوتر لجيب التمام. وإذا لم يكن الوتر معلوما، فاحسبه أوّلا بخاصّية فيثاغورس، ثمّ عوّض. واحتفظ بالكتابة المضبوطة إلى آخر سطر، ولا تدوّر إلا عند النتيجة.
مثلّث قائم الزاوية في الرأس G، ورأساه الآخران E و F، حيث FG يساوي 3 سم و GE يساوي 2 سم.
🎯المطلوب: احسب طول الوتر، ثمّ احسب جيب الزاوية E وجيب تمامها، وأعط قيمة مقرّبة إلى الجزء من 100 لجيب الزاوية E.
الزاوية القائمة عند G، فالوتر هو [FE]. نطبّق خاصّية فيثاغورس على هذا المثلّث.
طول موجب مربّعه 13، فهو الجذر التربيعي للعدد 13، وهو ليس عددا عشريا.
الضلع المقابل للزاوية E هو [FG]، والمقام هو الوتر [FE].
والضلع المجاور للزاوية E هو [GE]، والمقام هو الوتر نفسه.
هذه الكتابة الكسرية هي القيمة المضبوطة. وبالحاسبة نجد 0,8321… ثمّ ندوّر إلى الجزء من 100.
طريقة 3: كيف نحسب ظلّ زاوية حادّة؟
الظلّ لا يحتاج الوتر: يكفيه ضلعا الزاوية القائمة. اقسم الضلع المقابل على الضلع المجاور، وانتبه إلى الترتيب، فهو وحده ما يميّز زاوية حادّة عن أختها في المثلّث نفسه.
مثلّث قائم الزاوية في الرأس A، ورأساه الآخران B و C، حيث AB يساوي 4 سم و AC يساوي 3 سم.
🎯المطلوب: احسب ظلّ الزاوية B ثمّ ظلّ الزاوية C، ثمّ قارن كلّ واحد منهما بالعدد 1.
الضلع المقابل للزاوية B هو [AC]، والضلع المجاور لها هو [AB].
ولمّا انتقلنا إلى الزاوية C تبادل الضلعان: صار [AB] هو المقابل، و [AC] هو المجاور.
في الأولى البسط أصغر من المقام، وفي الثانية البسط أكبر منه.
وهذا لا يناقض شيئا: الظلّ ليس محصورا بين 0 و 1، خلافا للجيب وجيب التمام.
طريقة 4: كيف نعرف أنّ عددا يصلح أن يكون جيبا أو ظلّا؟
قبل أيّ حساب، قارن العدد بالعدد 1. إن كان أكبر من 1 أو يساويه فهو مستحيل للجيب ولجيب التمام معا، لأنّه يعني ضلعا أطول من الوتر. أمّا الظلّ فيكفيه أن يكون موجبا، ولا حدّ أعلى له.
اقترح تلميذ ثلاثة أعداد جيوبا لزوايا حادّة في مثلّثات قائمة: 0,6 ثمّ 1,25 ثمّ 0,95.
🎯المطلوب: بيّن أيّ هذه الأعداد لا يمكن أن يكون جيبا لزاوية حادّة، ثمّ قل هل يمكن أن يكون العدد نفسه ظلّا لزاوية حادّة.
الضلع المقابل أقصر من الوتر دائما، فالنسبة بينهما محصورة بين 0 و 1.
العدد محصور بين 0 و 1، فهو ممكن.
العدد أكبر من 1، فهو مستحيل: قبوله يعني ضلعا مقابلا أطول من الوتر، وهذا لا يقع.
العدد محصور بين 0 و 1 كذلك، فهو ممكن وإن كان قريبا من الحدّ الأعلى.
أمّا الظلّ فمقامه الضلع المجاور، ولا حدّ أعلى له: يكفيه أن يكون موجبا.
فالعددان الأوّل والثالث يصلحان جيبا، والثاني لا يصلح جيبا لكنّه يصلح ظلّا.
Page 1/9
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net