خاصية طاليس وحساب المثلثات في المثلث القائم
تقسيم قطعة مستقيم هندسيا بالمدور و المسطرة الغير المدرجة
- معرفة أن القياس بالمسطرة لا يعطي تقسيما دقيقا في الحالة العامة
- إنجاز تقسيم قطعة إلى ثلاث قطع متقايسة بالمدوّر والمسطرة غير المدرّجة
- تعليل صحّة هذا الإنشاء بنظرية طالس
- تعميم الإنشاء على تقسيم قطعة إلى عدد كيفي من القطع المتقايسة
- النظرية المباشرة لطالس وشروط تطبيقها
- نقل طول بالمدوّر على نصف مستقيم
- رسم مستقيم يوازي مستقيما معلوما ويشمل نقطة معلومة
معارف — لماذا لا يكفي القياس
قد يخطر لك أن تقيس الطول ثم تقسمه على ثلاثة وتنقل النتيجة بالمسطرة. لكن ثلث عدد لا يكون دائما عددا عشريا: فالقسمة على ثلاثة كثيرا ما تعطي أرقاما تتكرّر بلا نهاية، ولا نستطيع نقل إلا قيمة مقرّبة. وثلاث قطع مقرّبة لا تعطي الطول الأصلي بالضبط.
وزيادة على ذلك، المسطرة المعطاة في هذا الدرس غير مدرّجة أصلا: لا تحمل أي أرقام. فالحلّ لا يكون بالقياس، بل بالإنشاء الهندسي، وهو حلّ دقيق مهما كان الطول.
معارف — الفكرة: ننقل التقسيم إلى نصف مستقيم مساعد
لا نعرف تقسيم القطعة المعطاة، لكننا نعرف نقل أطوال متساوية بالمدوّر على نصف مستقيم نختاره نحن، وبأي فتحة كانت. فنقسّم أوّلا نصف المستقيم المساعد إلى أجزاء متساوية، بسهولة تامّة، ثم ننقل هذا التقسيم إلى القطعة بواسطة مستقيمات متوازية.
ننقل نفس فتحة المدوّر ثلاث مرات متتالية، فتتقايس القطع الثلاث دون أن نقيس أي طول.
معارف — لماذا ينجح الإنشاء: نظرية طالس
المستقيمات الثلاثة التي نرسمها متوازية، والنقط على استقامة واحدة مع الطرف الأول: نحن إذن في وضعية طالس. فالنسب على القطعة تساوي النسب على نصف المستقيم المساعد، وهذه الأخيرة نعرفها لأننا نحن من بناها.
المستقيمان اللذان يشملان G و D من جهة و E و B من جهة أخرى متوازيان، والنقط على استقامة واحدة مع الطرف A.
الطول الكلّي على نصف المستقيم ثلاثة أمثال الطول الأول، فنسبتهما ثلث.
معارف — التعميم: تقسيم قطعة إلى عدد كيفي من الأجزاء
لا شيء في الإنشاء يخصّ العدد ثلاثة. فإذا أردنا تقسيم القطعة إلى عدد آخر من الأجزاء المتقايسة، نقلنا هذا العدد من الأطوال المتساوية على نصف المستقيم المساعد، ثم رسمنا المتوازيات نفسها. والتعليل هو نفسه بنظرية طالس.
ننقل n طولا متساويا على نصف المستقيم المساعد، فتصير النسبة الأولى واحدا على n، وتنتقل كما هي إلى القطعة.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نتأكّد أن القياس لا يكفي؟
نحسب ثلث الطول، ثم ننظر في كتابته العشرية. فإذا لم تنته القسمة، كان كل نقل بالمسطرة مبنيّا على قيمة مقرّبة، ونتحقّق من أثر هذا التقريب بجمع الأجزاء الثلاثة.
قطعة مستقيمة طولها 7 سم، ونريد تقسيمها إلى ثلاث قطع متقايسة بالقياس وحده.
🎯المطلوب: احسب طول كل جزء، ثم بيّن أن النقل بالمسطرة لا يعطي تقسيما دقيقا.
طول كل جزء هو ثلث الطول الكلّي.
نجري القسمة: لا تنتهي، لأن الرقم 3 يتكرّر في الحاصل بلا نهاية. فلا نستطيع أن نكتب إلا قيمة مقرّبة إلى الجزء من المائة.
ننقل هذه القيمة المقرّبة ثلاث مرات ونجمع، فنرى أثر التقريب مباشرة.
طريقة 2: كيف نقسّم قطعة إلى ثلاث قطع متقايسة؟
خمس مراحل، بالمدوّر والمسطرة غير المدرّجة وحدهما، ودون قياس أي طول:
- نرسم القطعة المطلوب تقسيمها، وطرفاها هما A و B.
- ننشئ نصف مستقيم مبدؤه A، وحامله يختلف عن حامل القطعة.
- بفتحة واحدة من المدوّر ننقل على نصف المستقيم ثلاثة أطوال متساوية متتالية ابتداء من A، فنحصل على النقط G ثم F ثم E بهذا الترتيب.
- نرسم المستقيم الذي يشمل النقطة الأخيرة E والطرف B.
- نرسم من F ومن G مستقيمين يوازيان هذا المستقيم، فيقطعان القطعة في النقطتين C و D؛ فتكون الأجزاء الثلاثة متقايسة.
أنجزنا الإنشاء السابق على قطعة طولها 7,5 سم، فحصلنا على النقطتين D و C داخلها.
🎯المطلوب: برهن أن الأجزاء الثلاثة متقايسة، ثم احسب طول كل جزء.
النقط الثلاث منقولة بنفس فتحة المدوّر، فالطول الكلّي على نصف المستقيم ثلاثة أمثال الطول الأول.
المستقيمان اللذان يشملان G و D من جهة و E و B من جهة أخرى متوازيان، والنقط على استقامة واحدة مع A: تنطبق النظرية المباشرة لطالس.
نحسب الطول الأول.
نعيد الشيء نفسه مع المستقيم الثاني: النقطة F هي الثانية، فالنسبة اثنان على ثلاثة.
نحسب هذا الطول كذلك.
نطرح لنحصل على الجزأين الباقيين.
طريقة 3: كيف نقسّم إلى عدد آخر من الأجزاء؟
نغيّر شيئا واحدا في الإنشاء: عدد الأطوال المنقولة على نصف المستقيم المساعد. فإذا أردنا خمسة أجزاء نقلنا خمسة أطوال متساوية، ورسمنا من كل نقطة منها مستقيما يوازي المستقيم الأخير.
قطعة طولها 12 سم، ننقل على نصف المستقيم المساعد خمسة أطوال متساوية، أولها ينتهي عند النقطة G وآخرها عند النقطة E.
🎯المطلوب: احسب طول كل جزء من الأجزاء الخمسة بعد إنجاز الإنشاء.
خمس نقلات متساوية بنفس فتحة المدوّر: الطول الكلّي خمسة أمثال الطول الأول.
النسبة الأولى على نصف المستقيم صارت واحدا على خمسة، وتنتقل كما هي إلى القطعة بنظرية طالس، لأن المستقيمات متوازية.
نحسب الطول.
طريقة 4: كيف نستعمل الإنشاء في الاتجاه المعاكس؟
إذا عرفنا طول أحد الأجزاء ولم نعرف الطول الكلّي، استعملنا النسبة نفسها في الاتجاه الآخر: الطول الكلّي هو عدد الأجزاء مضروبا في طول الجزء الواحد.
قسّمنا قطعة إلى ثلاثة أجزاء متقايسة بالإنشاء السابق، وقِيس الجزء الأول فوُجد 2,4 سم.
🎯المطلوب: احسب طول القطعة كاملة انطلاقا من طول الجزء الأول.
الإنشاء يعطي ثلاثة أجزاء متقايسة، فنسبة الجزء الأول إلى الطول الكلّي هي الثلث.
نقلب العلاقة: الطول الكلّي ثلاثة أمثال الجزء الأول.
نعوّض بالطول المعطى ونضرب.
Page 1/10
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net