الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
التحويلات النقطية المألوفة: الانسحاب، التحاكي و الدوران
الجواب في جملة واحدة: الثلاثة تحويلات نقطية، أي أنّ كلّ واحد منها يرفق بكلّ نقطة من المستوي نقطة واحدة لا غير، و كلّ واحد منها يُعرَّف تماما بعنصر مميّز واحد أو اثنين: شعاع للانسحاب، مركز و نسبة للتحاكي، مركز و زاوية للدوران. من يعرف هذه العناصر يعرف التحويل كلّه، و يستطيع أن يبني صورة أيّ نقطة.
- تعريف الانسحاب و التحاكي و الدوران، و ذكر العنصر المميّز لكلّ واحد منها
- التعرّف على طبيعة تحويل نقطي انطلاقا من عبارته التحليلية
- تعيين شعاع انسحاب، و مركز و نسبة تحاكٍ، و مركز و زاوية دوران
- تعيين التحويل العكسي لكلّ واحد من التحويلات الثلاثة
- التمييز بين التحويلات التي تحافظ على المسافات و تلك التي لا تحافظ عليها
- حساب إحداثيّي شعاع انطلاقا من إحداثيّي نقطتين
- الجداء السلّمي لشعاعين، و الشرط الذي يجعلهما متعامدين
- قيس زاوية موجّهة بالرديان، و الترديد بدورة كاملة
1. الانسحاب
لتعريف انسحاب يكفي شعاع واحد. الانسحاب الذي شعاعه u يرفق بكلّ نقطة M من المستوي النقطة M′ التي يكون الشعاع الذي يربط M بصورتها مساويا لـ u بالضبط. لاحظ أنّ الشعاع نفسه لا يتعلّق بالنقطة: هو نفسه لكلّ نقاط المستوي، و هذا هو معنى « الإزاحة في اتجاه واحد ».
كلّ ما تحتاجه لبناء صورة نقطة هو أن تنقل الشعاع نفسه انطلاقا منها.
و من هذا التعريف تخرج مباشرة الخواصّ التالية:
- الانسحاب تحويل تقابلي، و تحويله العكسي هو الانسحاب الذي شعاعه معاكس للشعاع الأوّل.
- الانسحاب الذي شعاعه غير معدوم لا يقبل أيّ نقطة صامدة: لا توجد نقطة تنطبق على صورتها.
- الخاصيّة المميّزة: صورة الثنائيّة المكوّنة من نقطتين هي ثنائيّة تحقّق أنّ الشعاع الرابط بين الصورتين يساوي الشعاع الرابط بين النقطتين الأصليّتين.
- الانسحاب تقايس: المسافة بين صورتين تساوي المسافة بين النقطتين.
هي التي تجعل الشكل الصورة مطابقا تماما للشكل الأصلي، طولا و اتجاها.
2. التحاكي
لتعريف تحاكٍ نحتاج إلى شيئين: نقطة ثابتة نسمّيها المركز و نرمز لها بـ Ω، و عدد حقيقي نسمّيه النسبة و نرمز له بـ k. التحاكي يرفق بكلّ نقطة M النقطة M′ التي تحقّق العلاقة الشعاعيّة التالية:
اضرب الشعاع الذي ينطلق من المركز في العدد k: هذا كلّ ما يفعله التحاكي.
و من التعريف تخرج الخواصّ التالية:
- المركز هو النقطة الصامدة الوحيدة، و إذا اختلفت M عن المركز فإنّ صورتها تختلف عنه أيضا، و تكون النقط الثلاث — المركز و النقطة و صورتها — على استقامة واحدة.
- التحاكي تحويل تقابلي، و تحويله العكسي هو التحاكي الذي له نفس المركز و نسبته مقلوب النسبة الأولى.
- الخاصيّة المميّزة: الشعاع الرابط بين الصورتين يساوي الشعاع الرابط بين النقطتين مضروبا في النسبة.
- التحاكي يضرب كلّ المسافات في القيمة المطلقة للنسبة، فهو ليس تقايسا إلّا إذا كانت هذه القيمة المطلقة تساوي 1.
الشعاعان متوازيان دائما، و هذا هو سبب بقاء هيئة الشكل رغم تغيّر حجمه.
القيمة المطلقة تظهر لأنّ المسافة عدد موجب، بينما النسبة قد تكون سالبة.
3. الدوران
لتعريف دوران نحتاج أيضا إلى شيئين: مركز Ω و زاوية θ. الدوران يرفق المركز بنفسه، و يرفق بكلّ نقطة M تختلف عن المركز النقطة M′ التي تبعد عن المركز نفس المسافة، و التي تصنع مع M زاوية موجّهة قيسها θ عند المركز.
الشرطان معا — نفس البعد و نفس الزاوية — يعيّنان النقطة M′ تعيينا وحيدا.
و من التعريف تخرج الخواصّ التالية:
- الدوران الذي زاويته غير معدومة بترديد دورة كاملة له نقطة صامدة وحيدة هي المركز. و لا بدّ من ذكر الترديد: زاوية تساوي دورة كاملة تعيد كلّ نقطة إلى مكانها، فيكون للتحويل عدد غير منته من النقط الصامدة.
- الدوران تحويل تقابلي، و تحويله العكسي هو الدوران الذي له نفس المركز و زاويته معاكسة للزاوية الأولى.
- الخاصيّة المميّزة: صورة ثنائيّة من نقطتين هي ثنائيّة تحقّق أنّ المسافة محفوظة و أنّ الزاوية الموجّهة بين الشعاع الأصلي و شعاع الصورة تساوي زاوية الدوران.
- الدوران تقايس، تماما كالانسحاب.
4. الجدول الذي يجمع الثلاثة
| التحويل | العنصر المميّز | الخاصيّة المميّزة | هل هو تقايس؟ |
|---|---|---|---|
| الانسحاب | شعاع | A'B' = AB | نعم |
| التحاكي | مركز و نسبة | A'B' = k AB | لا |
| الدوران | مركز و زاوية | A'B' = AB و (AB ; A'B') = θ | نعم |
ننتقل الآن إلى العمل الأساسي في هذا الدرس: أن يُعطى لك التحويل بعبارته التحليلية، أي بالعلاقة التي تعطي إحداثيّي الصورة بدلالة إحداثيّي النقطة، فتتعرّف على طبيعته و تعيّن عناصره المميّزة.
التحويل النقطي f يرفق بكلّ نقطة M إحداثيّاها x و y النقطة M′ إحداثيّاها x' و y'، و المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس.
🎯المطلوب: أثبت أنّ التحويل f انسحاب، ثمّ عيّن شعاعه
للبرهان على أنّ تحويلا انسحاب، نحسب إحداثيّي الشعاع الذي يربط كلّ نقطة بصورتها، ثمّ ننظر هل يتعلّقان بالنقطة أم لا.
العددان −1 و 2 ثابتان: لا يظهر فيهما x و لا y، فالشعاع نفسه لكلّ نقاط المستوي.
التحويل النقطي g يرفق بكلّ نقطة M إحداثيّاها x و y النقطة M′ إحداثيّاها x' و y'.
🎯المطلوب: أثبت أنّ التحويل g تحاكٍ، ثمّ عيّن مركزه و نسبته
نبدأ بالمركز، لأنّه النقطة الوحيدة الصامدة: نكتب أنّ الفاصلة لا تتغيّر، ثمّ أنّ الترتيبة لا تتغيّر.
بقي أن نُظهر العلاقة الشعاعيّة. نطرح فاصلة المركز من طرفي العبارة الأولى، ثمّ نجمع الأعداد في الطرف الأيمن.
العدد −4/3 هو جداء −1/2 في 8/3، و هذا ما يسمح بإخراج العامل المشترك.
نبقى مع التحاكي g من المثال السابق: مركزه Ω و نسبته −1/2.
🎯المطلوب: عيّن التحويل العكسي للتحاكي g، ثمّ تحقّق من أنّه يعيد كلّ نقطة إلى موضعها
خاصيّة التحويل العكسي لتحاكٍ: نفس المركز، و النسبة هي مقلوب النسبة الأولى.
لنكتب الآن العبارة التحليلية للتحويل العكسي: نحلّ كلّ معادلة بالنسبة إلى المجهول القديم.
المركز صامد بالتحويل العكسي أيضا: نعوّض فاصلته فنجدها هي نفسها.
و التحقّق الثاني على النسبتين: تحاكيان متتاليان لهما نفس المركز و نسبتاهما متقلوبتان يعطيان جداء يساوي 1، أي التحويل المطابق.
التحويل النقطي g يرفق بكلّ نقطة M إحداثيّاها x و y النقطة M′ إحداثيّاها x' و y'.
🎯المطلوب: بيّن أنّ المسافة إلى المبدأ محفوظة و أنّ الشعاعين متعامدان، ثمّ حدّد طبيعة التحويل g و زاويته
نبدأ بالمسافة إلى المبدأ. و نعمل على مربّع المسافة لا على المسافة نفسها، لأنّ الجذر يثقّل الحساب دون فائدة، و تساوي المربّعين يكفي لتساوي طولين موجبين.
المسافة إذن محفوظة. ننتقل إلى الزاوية، و نبدأ بالجداء السلّمي لأنّه يكشف التعامد.
الجداء السلّمي معدوم، فالشعاعان متعامدان. لكن التعامد وحده يترك احتمالين للزاوية.
للفصل بينهما نختبر نقطة واحدة و ننظر إلى جهة الدوران: نأخذ النقطة ذات الفاصلة 1 و الترتيبة المعدومة.
النقطة انتقلت من محور الفواصل إلى محور التراتيب في الاتجاه الموجب.
إذن التحويل g في المثال الرابع هو الدوران الذي مركزه المبدأ و زاويته ربع دورة في الاتجاه الموجب. و انتبه إلى أنّ المبدأ صامد فعلا: تعويض الإحداثيّتين بالصفر يعطي الصفر.
Page 1/9
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net