الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
التشابه المباشر: تعريف، النسبة، الزاوية و الكتابة المركبة
الجواب في جملة: هذا التحويل اسمه التشابه المباشر، و هو التحويل الذي يحفظ نسب المسافات و الزوايا الموجّهة. و نعم، يكفيه عددان مركّبان في كتابة واحدة من الشكل z' = a z + b: المعامل a يحمل النسبة و الزاوية معا، و الثابت b يحمل الموضع. هذا الدرس يبني هذا التعريف، ثمّ يبرهن على أنّ الكتابة المركّبة تصفه تماما، لا أكثر و لا أقلّ.
- تعريف التشابه المباشر بمحافظته على نسب المسافات و على الزوايا الموجّهة
- إثبات أنّ لكلّ تشابه مباشر نسبة موجبة تماما، و تعيين هذه النسبة
- تعيين زاوية تشابه مباشر، و معرفة أنّها لا تتعلّق باختيار النقطتين
- كتابة تشابه مباشر بالأعداد المركّبة، و التعرّف على أنّ كلّ كتابة من هذا الشكل تعرّف تشابها مباشرا
- التعرّف على طبيعة التحويل و على عناصره المميّزة انطلاقا من معامل الكتابة المركّبة
- طويلة عدد مركّب و عمدته، و خواصّهما في الجداء و في القسمة
- لاحقة نقطة و لاحقة شعاع في المستوي المركّب
- تعريف الانسحاب و التحاكي و الدوران و العنصر المميّز لكلّ منها
- الزوايا الموجّهة و علاقة شال بينها
1. تعريف التشابه المباشر
نقول عن تحويل نقطي S إنّه تشابه مباشر إذا حافظ على شيئين معا: على نسب المسافات، و على الزوايا الموجّهة. و لنكتب ذلك بدقّة، نأخذ أربع نقط من المستوي M و N و P و Q، و نسمّي صورها M′ و N′ و P′ و Q′.
ليست المسافات هي المحفوظة، بل النسبة بينها: قد تتضاعف كلّ الأطوال، المهمّ أن تتضاعف كلّها بالقدر نفسه.
الزاوية الموجّهة تحمل القيس و الجهة معا، و التشابه المباشر يحفظهما معا — و كلمة « مباشر » في الاسم تشير بالضبط إلى حفظ الجهة.
2. نسبة التشابه المباشر
الخاصيّة الأولى، و هي التي تحوّل التعريف إلى أداة حساب: كلّ تشابه مباشر يضرب كلّ المسافات في عدد حقيقي موجب تماما، هو نفسه لكلّ نقاط المستوي. هذا العدد يسمّى نسبة التشابه.
و البرهان قصير و يستحقّ أن يُقرأ سطرا سطرا، لأنّه هو الذي يفسّر من أين يأتي هذا الثبات. ننطلق من المساواة التي يعطيها التعريف:
نجمع في كلّ طرف ما يخصّ ثنائيّة واحدة: على اليمين كلّ ما يخصّ الثنائيّة الأولى، و على اليسار كلّ ما يخصّ الثانية.
و الآن ننظر إلى ما حصلنا عليه: الطرف الأيمن لا يتعلّق إلّا بالنقطتين P و Q، و الطرف الأيسر لا يتعلّق إلّا بالنقطتين M و N، و مع ذلك هما متساويان مهما كانت هذه النقط. و مقدار لا يتغيّر مهما غيّرنا النقط هو عدد ثابت. نسمّيه k.
النسبة موجبة تماما لأنّها حاصل قسمة مسافتين، و المسافة عدد موجب؛ و لا يمكن أن تنعدم لأنّ التحويل تقابلي، فصورتا نقطتين مختلفتين مختلفتان.
3. زاوية التشابه المباشر
النسبة تصف كم يكبر الشكل أو يصغر. بقي أن نصف بكم يدور. و هنا مفاجأة صغيرة: الزاوية الموجّهة بين شعاع و شعاع صورته هي أيضا مقدار ثابت، لا يتعلّق باختيار النقطتين.
و السبب هو التعريف نفسه: التشابه المباشر يحفظ الزوايا الموجّهة، فمهما أخذت من ثنائيّات وجدت الزاوية بين الشعاع الأصلي و شعاع صورته هي نفسها. هذا المقدار الثابت يسمّى زاوية التشابه المباشر.
لاحظ الفرق مع الكتابة السابقة: هنا نقارن شعاعا بصورته هو، لا شعاعين مختلفين.
4. الكتابة المركّبة لتشابه مباشر
ننتقل الآن إلى الأداة التي تجعل كلّ هذا حسابا بسيطا. المستوي المركّب يرفق بكلّ نقطة لاحقتها، و السؤال هو: ما شكل العلاقة بين لاحقة النقطة و لاحقة صورتها بتشابه مباشر؟
و العكس صحيح أيضا، و هو الأهمّ في التمارين: كلّ تحويل كتابته المركّبة من هذا الشكل هو تشابه مباشر، نسبته طويلة المعامل a. لنقرأ برهان هذا الاتّجاه، لأنّه يعطي في الوقت نفسه النسبة و الزاوية.
نأخذ نقطتين M و N لاحقتاهما m و n، و صورتيهما بالتحويل، و نطرح الكتابتين:
الثابت b يزول عند الطرح — و هذا هو مفتاح البرهان كلّه: الثابت يحرّك الشكل و لا يغيّر شيئا من هيئته.
طويلة الجداء تساوي جداء الطويلتين، و طويلة الفرق بين لاحقتين هي المسافة بين النقطتين.
المسافات إذن مضروبة كلّها في نفس العدد الموجب: نسب المسافات محفوظة. أمّا الزوايا، فنأخذ ثنائيّة أخرى P و Q و نحسب حاصل قسمة الفرقين:
المعامل a يظهر في البسط و في المقام معا، فيتبسّط تماما: ما يبقى لا يحمل أثرا للتحويل.
بقيت الزاوية. نطبّق الحساب نفسه على شعاع واحد و صورته: الفرق بين اللاحقتين بعد التحويل يساوي المعامل مضروبا في الفرق قبله، فتكون الزاوية بين الشعاعين هي عمدة المعامل.
لأنّ حاصل قسمة الفرقين يساوي المعامل a بالضبط، كما رأينا قبل قليل.
5. قراءة طبيعة التحويل على المعامل وحده
و بما أنّ المعامل a يحمل النسبة و الزاوية، فهو وحده يكفي لمعرفة طبيعة التحويل. و هذه هي الحالات، مرتّبة:
| الشرط على المعامل | طبيعة التحويل | العناصر المميّزة |
|---|---|---|
| a = 1 | انسحاب | شعاع لاحقته b |
| a ∈ ℝ ; a ≠ 0 ; a ≠ 1 | تحاكٍ | مركز و نسبة |
| |a| = 1 ; a ≠ 1 | دوران | مركز و زاوية |
| |a| ≠ 1 ; a ∉ ℝ | تشابه مباشر ليس أحد الثلاثة | مركز و نسبة و زاوية |
و نطبّق الآن على أمثلة، من الأبسط إلى الأكمل.
المستوي المركّب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. التشابه المباشر S يرفق بكلّ نقطة M لاحقتها z النقطة M′ لاحقتها z'، و النقطتان A و B إحداثيّاهما معطاة.
🎯المطلوب: عيّن صورتي النقطتين A و B، ثمّ احسب نسبة التشابه S
لحساب صورة نقطة نعوّض لاحقتها في الكتابة المركّبة، و نبدأ بنشر الجداء وحده حتّى لا تختلط الحدود.
التشابه المباشر يحفظ نسب المسافات، و النسبة هي حاصل قسمة المسافة بين الصورتين على المسافة بين النقطتين. و المسافة بين نقطتين هي طويلة الفرق بين لاحقتيهما.
و يمكن أن نذهب أبعد ممّا يطلبه هذا التمرين، فنعيّن العنصرين الباقيين لهذا التشابه نفسه: زاويته و مركزه. لم يطلبهما المنهاج هنا، لكنّهما يكملان الصورة.
🎯المطلوب: حدّد طبيعة التحويل S و عيّن عناصره المميّزة
الطبيعة تُقرأ على المعامل، فنبدأ دائما بطويلته.
الطويلة تساوي 1 و المعامل يختلف عن 1: التحويل دوران، و زاويته هي عمدة المعامل.
بقي المركز، و هو النقطة الصامدة.
🎯المطلوب: حدّد طبيعة التحويل S و عيّن عناصره المميّزة
المعامل عدد حقيقي يختلف عن 0 و عن 1: التحويل تحاكٍ نسبته هي المعامل نفسه.
🎯المطلوب: حدّد طبيعة التحويل S و عيّن عنصره المميّز
المعامل يساوي 1: التحويل انسحاب، و لاحقة شعاعه هي الثابت.
و نتحقّق من أنّه لا توجد نقطة صامدة، كما يقتضي انسحاب شعاعه غير معدوم.
🎯المطلوب: حدّد طبيعة التحويل S و عيّن عناصره المميّزة الثلاثة
الطويلة تختلف عن 1، فليس التحويل دورانا و لا انسحابا؛ و المعامل غير حقيقي، فليس تحاكيا. إذن هو تشابه مباشر عامّ، له نسبة و زاوية معا.
نضرب الطرفين في −i لنتخلّص من المعامل، لأنّ جداء i في −i يساوي 1.
المستوي المركّب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. من أجل كلّ نقطة M من المستوي، نعتبر المعيّن المباشر الذي رؤوسه المبدأ ثمّ M ثمّ N ثمّ P، و الذي يحقّق أنّ المسافة بين P و M تساوي المسافة بين المبدأ و M.
🎯المطلوب: أثبت أنّ النقطة N هي صورة النقطة M بتشابه مباشر، ثمّ عيّن نسبته
الأضلاع الثلاثة متساوية، فالمثلّث الذي رؤوسه المبدأ و النقطتان M و P متقايس الأضلاع، و هو مباشر. إذن P هي صورة M بدوران مركزه المبدأ و زاويته سدس دورة.
قاعدة المعيّن تُترجم إلى جمع اللواحق، لأنّ لاحقة مجموع شعاعين هي مجموع اللاحقتين.
هذه كتابة مركّبة من الشكل المطلوب، بثابت معدوم. نحسب المعامل جبريّا.
و لهذا التشابه أيضا زاوية و مركز لم يطلبهما التمرين: زاويته هي عمدة المعامل، و مركزه هو المبدأ لأنّ الثابت في كتابته معدوم، فالمبدأ صامد.
Page 1/12
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net