الأعداد والحساب › التعداد
التعداد: نشر عدد طبيعي وفق أساس
ما يبقى ثابتا هو العدد نفسه: كمّية واحدة، لا تتغيّر. و ما يتغيّر هو طريقة كتابتها، أي الأساس الذي نجمّع به. سنكتشف أوّلا أنّ الكتابة العشرية التي نستعملها منذ الابتدائي هي نفسها نشر وفق قوى العدد 10، ثمّ نبرهن أنّ الأمر يصحّ مع أيّ أساس، و نتعلّم حركتين: من الأساس إلى العشري، و من العشري إلى الأساس.
- إدراك أنّ الكتابة العشرية نفسها ليست إلّا نشرا وفق قوى العدد 10
- نشر عدد طبيعي وفق أساس معطى، و معرفة الشرط الذي يخضع له كلّ رقم
- الانتقال من كتابة في أساس ما إلى الكتابة في النظام العشري
- كتابة عدد من النظام العشري في أساس معطى بالقسمات المتتابعة
- قراءة البواقي في الاتّجاه الصحيح، و التحقّق من الكتابة بإعادة تركيبها
- القسمة الإقليدية في ℕ، و وحدانية ثنائية الحاصل و الباقي
- حصر باقي القسمة بين الصفر و القاسم
- قوى عدد طبيعي و قواعد حسابها
1. الكتابة العشرية ليست شيئا آخر غير نشر
عالميا يُستعمل نظام التعداد العشري، حيث يتركّب العدد من الأرقام العشرة من الصفر إلى التسعة، و هذا ما يسمّى النظام ذا الأساس 10. و لكي نرى ما يخفيه هذا النظام، نأخذ عددا و نبحث عن أرقامه بأنفسنا.
🎯المطلوب: عيّن الأعداد الأربعة التي تحقّق المساواة المعطاة.
نبدأ من أكبر قوّة: كم مرّة يدخل الألف في العدد؟
2. نفس الفكرة، بأساس آخر
لا شيء يجبرنا على التجميع عشرة عشرة. لنجمّع ستّة ستّة: عندئذ لا نحتاج إلّا إلى ستّة أرقام، هي من الصفر إلى الخمسة، و قوى العدد 6 تحلّ محلّ قوى العدد 10.
ثلاث قيم تُحسب مرّة واحدة و تُستعمل في كلّ المثال.
🎯المطلوب: احسب العدد المعطى، ثمّ اكتبه في النظام العشري.
نحسب كلّ حدّ على حدة، ثمّ نجمع.
و بما أنّ المعاملات الخمسة هي 3 ثمّ 0 ثمّ 1 ثمّ 5 ثمّ 5، من أكبر قوّة إلى أصغرها، فهذه السلسلة نفسها هي كتابة العدد في النظام ذي الأساس ستّة.
الخطّ الأفقي فوق السلسلة يقول: هذه أرقام متجاورة، لا جداء. و الأساس يُذكر في الجملة، لا في الكتابة.
و في تاريخ الحساب استُعملت أنظمة كثيرة: عدّ البابليون بالأساس ستّين، و استُعمل في أمريكا الوسطى الأساس عشرون، و يستعمل الحاسوب اليوم النظام الثنائي، أي الأساس اثنين.
3. المبرهنة: كلّ عدد يُنشر وفق أيّ أساس، و بطريقة وحيدة
ما رأيناه على مثالين ليس صدفة. المبرهنة الآتية تقول إنّه صحيح دائما، مهما كان الأساس و مهما كان العدد، و تقول أكثر من ذلك: الكتابة وحيدة.
مع الشرطين اللذين يحكمان المعاملات، و هما شرطا وجود الكتابة و وحدانيتها.
لو كان معدوما لسقطت أكبر قوّة و صار الأسّ أصغر؛ و لو بلغ الأساس لصار بالإمكان الصعود إلى القوّة الموالية.
⭐ هذا هو الشرط الذي يجعل كلّ سلسلة أرقام مقروءة: رقم يساوي الأساس أو يفوقه ليس رقما في هذا النظام، تماما كما لا يوجد الرقم عشرة في النظام العشري.
البرهان يبني الكتابة بيده، بقسمات إقليدية متتابعة. نقسم العدد على الأساس، ثمّ نقسم الحاصل على الأساس، و هكذا حتّى يصير الحاصل أصغر تماما من الأساس.
عندئذ توقّفنا: الكتابة تمّت، و الحاصل هو معامل أكبر قوّة.
نضرب السطر الأوّل في 1، و الثاني في الأساس، و الثالث في مربّعه، و هكذا، ثمّ نجمع النتائج طرفا لطرف.
4. قاعدة التعداد ذي الأساس، و ترميزها
المبرهنة تعطي الكتابة؛ و القاعدة الآتية تقول كيف نرمز إليها. و هي تفرّق بين حالتين لا ثالث لهما.
- إذا كان العدد أصغر تماما من الأساس، فهو يُمثَّل برمز وحيد يسمّى رقما.
- و إذا كان أكبر من أو يساوي الأساس، فهو يُنشر بطريقة وحيدة وفق قوى الأساس، و سلسلة معاملاته، من أكبر قوّة إلى الوحدات، هي كتابته في هذا النظام.
الخطّ الأفقي فوق السلسلة كلّها معناه: ما تحته أرقام متجاورة، و ليس جداء أعداد. و معامل أكبر قوّة يُكتب إلى اليسار، و الوحدات إلى اليمين.
لأنّ العشري هو النظام المألوف: لا حاجة إلى علامة تميّزه.
5. طرائق و تمارين محلولة
حركتان لا ثالثة لهما، و هما متعاكستان. من الأساس إلى العشري: ننشر و نجمع. من العشري إلى الأساس: نقسم قسمات متتابعة و نقرأ البواقي. و لكلّ واحدة منهما فخّ واحد، سنسمّيه باسمه.
نضرب كلّ رقم في قوّة الأساس الموافقة لموضعه، ثمّ نجمع الحدود.
نقسم على الأساس، ثمّ نقسم الحاصل، و نعيد حتّى ينعدم الحاصل.
العدد المعطى مكتوب في النظام ذي الأساس سبعة.
🎯المطلوب: اكتب في النظام العشري العدد الذي يُكتب بهذه السلسلة في النظام ذي الأساس سبعة.
قبل كلّ شيء نتحقّق من أنّ كلّ رقم أصغر تماما من الأساس.
ننتقل إلى الحركة المعاكسة. نأخذ العدد الذي رأيناه في الفقرة الثانية، و نبني كتابته في الأساس ستّة بأنفسنا، بالقسمات المتتابعة.
🎯المطلوب: اكتب العدد المعطى في النظام ذي الأساس ستّة، ثمّ تحقّق من كتابتك.
نقسم على الأساس، ثمّ نقسم كلّ حاصل بدوره، حتّى ينعدم الحاصل.
الحاصل انعدم، إذن الكتابة تمّت. نجمع البواقي في ترتيب الحصول عليها.
⭐ و هنا الحركة الحاسمة: الباقي الأوّل هو رقم الوحدات، إذن هو آخر السلسلة.
🎯المطلوب: اكتب العدد المعطى في النظام ذي الأساس ثمانية، ثمّ تحقّق من النتيجة.
نستطيع الاستمرار في القسمات، و نستطيع أيضا أن نعوّض في كلّ مرّة لنرى النشر يتكوّن.
الحاصل الأخير أصغر تماما من الأساس، إذن هو معامل أكبر قوّة و الكتابة تمّت.
Page 1/10
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net