الإحصاء والاحتمالات
دستور ثنائي الحدّ
الجواب مفاجئ في بساطته: معاملات النشر هي التوفيقات نفسها التي درستها في الحصّة السابقة. و السبب ليس صدفة حسابية، بل عدّ.
- نشر قوّة ثنائي الحدّ بالدستور العامّ
- تفسير ظهور التوفيقات في معاملات النشر
- استعمال مثلّث باسكال لقراءة المعاملات
- حساب مجاميع تحوي توفيقات بالتعرّف على نشر ثنائي حدّ
- حساب عدد التوفيقات و خاصّيتا التناظر و باسكال
- المتطابقات الشهيرة و رمز المجموع
1. الدستور
مجموع فيه n+1 حدّا، من p معدومة إلى p تساوي n. مجموع الأسّين في كلّ حدّ يساوي n دائما — و هذا أسرع تحقّق من صحّة ما كتبت.
الحدّان الطرفيّان معاملهما 1 لأنّ التوفيقتين الطرفيّتين تساويان 1.
2. لماذا تظهر التوفيقات
اكتب القوّة جداء n قوسا متطابقا. لتشكيل حدّ من النشر تختار من كلّ قوس إمّا a و إمّا b، ثمّ تضرب. الحدّ الذي فيه b مرفوعة إلى الأسّ p يأتي من كلّ اختيار للأقواس التي أخذت منها b، و عددها p قوسا من بين n.
و اختيار p قوسا من بين n دون ترتيب هو بالضبط توفيقة ذات p عنصرا. فمعامل الحدّ هو عدد هذه التوفيقات. النشر إذن مسألة عدّ، لا مسألة جبر.
3. المعاملات و مثلّث باسكال
معاملات النشر في سطر واحد من مثلّث باسكال، و علاقة باسكال تفسّر لماذا: معامل في السطر n هو مجموع المعاملين المجاورين له في السطر السابق. فمن حفظ سطرا استنتج ما بعده بالجمع.
في لوحة غالتون تنزل كرية بين صفوف من المسامير، فترتدّ يمينا أو يسارا بحظّين متساويين. احتمال بلوغها موضعا هو نسبة عدد المسارات المؤدّية إليه إلى عدد المسارات كلّها. و بما أنّ كلّ مسار سلسلة اختيارات بين جهتين، فعدد المسارات المؤدّية إلى موضع هو توفيقة، و المقامات قوى العدد اثنين.
4. نتيجتان تُستعملان كثيرا
نأخذ a = 1 و b = 1 في الدستور. و لهذا معنى مباشر: مجموع أجزاء المجموعة مصنّفة حسب عدد عناصرها هو عدد أجزائها كلّها، و قد وجدناه 2n بالتقابل في درس العدّ. برهانان مختلفان لعدد واحد.
نأخذ a = 1 و b = −1، فيصير الطرف الأيسر صفرا مرفوعا إلى الأسّ n. معناه أنّ أجزاء المجموعة ذات العدد الزوجي من العناصر بعدد الأجزاء ذات العدد الفردي.
نعتبر ثنائي الحدّ العامّ ذا الأسّ الرابع، ثمّ الحالة الخاصّة حيث الحدّ الثاني يساوي 2.
🎯المطلوب: انشر القوّة الرابعة لثنائي الحدّ، ثمّ استنتج نشر القوّة الرابعة للمقدار المتغيّر زائد اثنين.
نقرأ معاملات السطر الرابع من مثلّث باسكال.
نكتب الحدود الخمسة: أسّ الأوّل ينزل من 4 إلى 0 و أسّ الثاني يصعد.
نتحقّق: مجموع الأسّين في كلّ حدّ يساوي أربعة.
و نتحقّق ثانية بجمع المعاملات، فيجب أن نجد 2 مرفوعة إلى الأسّ 4.
نعوّض a بالمتغيّر و b بالعدد 2 في الهيكل نفسه، دون حساب بعد.
ثمّ نحسب المعاملات: أربعة في اثنين، و ستّة في أربعة، و أربعة في ثمانية.
نعتبر المجموع الذي حدّه العامّ هو التوفيقة ذات الرتبة k من n مضروبة في مقلوب قوّة العدد اثنين، و k يمسح من صفر إلى n.
🎯المطلوب: احسب هذا المجموع بدلالة n.
نقارن المجموع بالدستور: المعامل موجود، فما هما a و b؟
العامل المرفوع إلى الأسّ k هو نصف، فهو الحدّ الثاني.
و لا يظهر أيّ عامل مرفوع إلى الأسّ n−k، أي أنّ الحدّ الأوّل قوّته تساوي 1 دائما.
فالمجموع نشر لقوّة مجموعهما.
نجمع داخل القوسين.
نعتبر المجموع الذي حدّه العامّ هو التوفيقة ذات الرتبة k من n مضروبة في ثلاثة مرفوعا إلى الأسّ n−k و مقسومة على أربعة مرفوعا إلى الأسّ k.
🎯المطلوب: احسب هذا المجموع بدلالة n.
العامل المرفوع إلى الأسّ n−k هو ثلاثة.
و العامل المرفوع إلى الأسّ k هو مقلوب أربعة.
فالمجموع نشر لقوّة مجموعهما.
نوحّد المقام داخل القوسين: اثنا عشر على أربعة زائد واحد على أربعة.
فنكتب النتيجة.
نعتبر مجموعة E ذات n عنصرا. وجدنا في درس العدّ أنّ عدد أجزائها هو 2n، بالتقابل مع القوائم ذات n عنصرا من إجابتين.
🎯المطلوب: أثبت النتيجة نفسها انطلاقا من دستور ثنائي الحدّ، ثمّ فسّر معنى كلّ حدّ من المجموع.
نأخذ الحدّين مساويين للواحد في دستور ثنائي الحدّ.
كلّ قوى الواحد تساوي واحدا، فتختفي.
و لكلّ حدّ من المجموع معنى: التوفيقة ذات الرتبة p تعدّ الأجزاء ذات p عنصرا.
فالمجموع يعدّ الأجزاء كلّها، مصنّفة حسب عدد عناصرها.
و هو العدد نفسه الذي وجدناه بالتقابل في درس العدّ.
Page 1/9
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net