مدرستي
Mathematics🎓 baccalaureate goal

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

تركيب تشابهين مباشرين

🔊 The teacher reads for you
آلة تصوير تكبّر الوثيقة مرّتين، ثمّ آلة ثانية تكبّر الناتج ثلاث مرّات و تميله قليلا. لم نستعمل آلة واحدة، بل اثنتين واحدة بعد الأخرى، و مع ذلك فالنتيجة النهائية تبدو و كأنّها صادرة عن آلة واحدة. فهل تركيب تشابهين مباشرين تشابه مباشر بدوره؟ و إن كان كذلك، فما نسبته و ما زاويته؟

الجواب في جملة واحدة: نعم، و القاعدة في غاية البساطة — النسب تُضرب و الزوايا تُجمع. و السبب واضح إذا نظرنا إلى الكتابة المركّبة: مركّب تحويلين هو تعويض كتابة في أخرى، فيظهر جداء المعاملين؛ و طويلة الجداء جداء الطويلتين (فتُضرب النسب)، و عمدته مجموع العمدتين (فتُجمع الزوايا). و لكن انتبه: القاعدة لا تعني أنّ الترتيب لا يهمّ — و هذا ما سنراه.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • كتابة مركّب تحويلين بالترتيب الصحيح، و معرفة أيّهما يشتغل أوّلا
  • إثبات أنّ مركّب تشابهين مباشرين تشابه مباشر، و تعيين نسبته و زاويته
  • حساب الكتابة المركّبة لمركّب تشابهين انطلاقا من كتابتَيهما
  • معرفة أنّ تركيب تشابهين غير تبديلي في الحالة العامّة، و ذكر مثال مضادّ
  • تعيين طبيعة مركّب دورانين حسب مجموع زاويتيهما
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • التشابه المباشر: تعريفه و نسبته و زاويته و كتابته المركّبة
  • أنّ طويلة جداء عددين مركّبين هي جداء طويلتيهما
  • أنّ عمدة جداء عددين مركّبين هي مجموع عمدتيهما بترديد 2π
  • علاقة شال في الزوايا الموجهة

1. أوّلا: ما معنى تركيب تحويلين، و أيّهما يشتغل أوّلا

إذا كان S و L تحويلين نقطيين، فالمركّب المكتوب على الشكل الآتي هو التحويل الذي يرفق بكلّ نقطة صورتها بـ S أوّلا، ثمّ صورة هذه الصورة بـ L. الأقرب إلى النقطة هو الذي يشتغل أوّلا.

تعريف المركّب

اقرأ من الداخل إلى الخارج، تماما كما تقرأ دالّة مركّبة: أوّل ما يمسّ النقطة M هو التحويل المكتوب إلى جانبها مباشرة، أي S.

(L ∘ S)(M) = L(S(M))
السهم المتقطّع هو التحويل المركّب: يعطي النتيجة نفسها في خطوة واحدة، و هذا بالضبط ما يعنيه أنّ المركّب تحويل قائم بذاته.
⛔ الخلط في الترتيب هو الخطأ الأوّل في هذا الدرس. في الكتابة L ∘ S، الذي يُطبَّق أوّلا هو S و ليس L، رغم أنّ L مكتوب أوّلا من اليسار. و إذا سمّينا ⁦M′⁩ صورة M بـ S، و M₁ صورة ⁦M′⁩ بـ L، فإنّ M₁ هي صورة M بالمركّب L ∘ S، لا بـ S ∘ L.

2. الخاصية: النسب تُضرب و الزوايا تُجمع

تركيب تشابهين مباشرين هو تشابه مباشر، نسبته جداء النسبتين و زاويته مجموع الزاويتين.

و البرهان يمرّ بالكتابة المركّبة، لأنّها تحوّل التركيب إلى تعويض بسيط. نأخذ تشابهين مباشرين S و L، و نسمّي معاملَيهما و حدَّيهما الثابتين كما يأتي.

🔹الخطوة 1: الكتابة المركّبة للتشابه الأوّل
z' = a z + b
aمعامل التشابه S، عدد مركّب غير معدومbالحدّ الثابت للتشابه S
🔹الخطوة 2: الكتابة المركّبة للتشابه الثاني
z' = a' z + b'
a'معامل التشابه L، عدد مركّب غير معدومb'الحدّ الثابت للتشابه L
🔹الخطوة 3: نعوّض كتابة الأوّل في كتابة الثاني

هذا هو التركيب حرفيا: ما يخرج من S يدخل في L. و لهذا يظهر المعامل ⁦a′⁩ محيطا بالكتابة كلّها.

(L ∘ S)(z) = a'(a z + b) + b'
🔹الخطوة 4: ننشر و نرتّب

النتيجة من الشكل نفسه: معامل في z، ثمّ حدّ ثابت. و المعامل ⁦a′a⁩ غير معدوم لأنّه جداء عددين غير معدومين — إذن المركّب تشابه مباشر.

(L ∘ S)(z) = (a' a) z + (a' b + b')
🔹الخطوة 5: طويلة الجداء جداء الطويلتين

و بما أنّ النسبة هي طويلة المعامل، فنسبة المركّب هي جداء النسبتين.

|a' a| = |a'| × |a|
🔹الخطوة 6: عمدة الجداء مجموع العمدتين

و بما أنّ الزاوية هي عمدة المعامل، فزاوية المركّب هي مجموع الزاويتين. و الترديد بـ 2π ليس زينة: الزوايا الموجهة لا تُجمع إلّا به.

arg(a' a) ≡ arg(a) + arg(a') [2π]
✅النّتيجة: نسبة المركّب

نسبة المركّب هي جداء النسبتين، و الجداء تبديلي فلا يتغيّر بترتيبهما.

k = k₂ × k₁
k₁نسبة التشابه الأوّل، أي طويلة ak₂نسبة التشابه الثاني، أي طويلة ⁦a′⁩
✅النّتيجة: زاوية المركّب

و زاوية المركّب هي مجموع الزاويتين، بترديد 2π كما تُجمع الزوايا الموجهة دائما.

θ ≡ θ₁ + θ₂ [2π]
θ₁زاوية التشابه الأوّل، أي عمدة aθ₂زاوية التشابه الثاني، أي عمدة ⁦a′⁩
و هذه قراءة هندسية للبرهان نفسه، تستحقّ أن تُحفظ: التشابه الأوّل يضرب الأطوال في نسبته و يدير الأشعّة بزاويته، ثمّ يأتي الثاني فيضرب من جديد و يدير من جديد. الضرب على الضرب جداء، و الدوران على الدوران جمع بعلاقة شال. القاعدة ليست حيلة حسابية: هي وصف لما يحدث.

3. تنبيه أساسي: تركيب تشابهين غير تبديلي

النسبة و الزاوية لا تتعلّقان بالترتيب: جداء عددين لا يتغيّر بتبديلهما، و كذلك مجموعهما. و من هنا يأتي الالتباس. لكنّ التحويلين المركّبين ليسا التحويل نفسه في الحالة العامّة: لهما النسبة نفسها و الزاوية نفسها، و مركزاهما مختلفان.

المركّب في الاتّجاه الأوّل
(L ∘ S)(z) = (a' a) z + (a' b + b')
المركّب في الاتّجاه الثاني
(S ∘ L)(z) = (a a') z + (a b' + b)
الفرق بين الحدّين الثابتين

المعاملان متساويان لأنّ الضرب تبديلي؛ الفرق كلّه في الحدّ الثابت. و هو معدوم إذا كان ⁦b(a′ − 1) = b′(a − 1)⁩ فقط، و هذا ليس محقّقا دائما.

(a' b + b') − (a b' + b)=b(a' − 1) − b'(a − 1)

و أوضح ما يكون هذا في مثال مضادّ صغير جدّا، مبنيّ على تحويلين من أبسط ما في الباب.

مثال 1: مثال مضادّ يثبت أنّ الترتيب يغيّر النتيجة

نأخذ تحاكيا مركزه المبدأ و نسبته 2، و انسحابا لاحقة شعاعه 1.

🎯المطلوب: احسب المركّبين في الاتّجاهين، ثمّ بيّن أنّهما تحويلان مختلفان.

📌المعطى: التحاكي S الذي مركزه المبدأ و نسبته 2
S(z) = 2 z
📌المعطى: الانسحاب L الذي شعاعه لاحقته 1
L(z) = z + 1
🔹الخطوة 1: حساب المركّب الأوّل

نركّب في الاتّجاه الأوّل: التحاكي أوّلا ثمّ الانسحاب.

(L ∘ S)(z) = (2 z) + 1
🔹الخطوة 2: حساب المركّب الثاني

نركّب في الاتّجاه المعاكس: الانسحاب أوّلا ثمّ التحاكي.

(S ∘ L)(z)=2(z + 1)=2 z + 2
🔹الخطوة 3: مقارنة المعاملين

الكتابتان لهما المعامل نفسه 2، إذن النسبة نفسها و الزاوية نفسها.

2 = 2
🔹الخطوة 4: مقارنة الحدّين الثابتين

لكنّ الحدّين الثابتين مختلفان.

1 ≠ 2
🔹الخطوة 5: اختبار عند المبدأ

نختبر على نقطة واحدة تكفي: المبدأ نفسه.

(L ∘ S)(0) = 1
🔹الخطوة 6: الاختبار في الاتّجاه الآخر
(S ∘ L)(0) = 2
✅النّتيجة: التحويلان مختلفان
1 ≠ 2
لإثبات أنّ تحويلين مختلفان يكفي نقطة واحدة تختلف صورتها بهما. و المبدأ أفضل مرشّح دائما، لأنّ صورته هي الحدّ الثابت مباشرة.
و متى يتساوى المركّبان؟ بالضبط حين ينعدم الفرق المكتوب أعلاه، لا قبل ذلك. و أهمّ حالة يتحقّق فيها ذلك هي حالة التشابهين اللذين لهما المركز نفسه: عندئذ يتبادلان، و هذا ما يفسّر أنّ تحاكيا و دورانا لهما المركز نفسه يمكن تركيبهما في أيّ اتّجاه دون تغيير النتيجة.

4. حالة مهمّة: مركّب دورانين

الدوران تشابه مباشر نسبته 1. و بتطبيق القاعدة على دورانين: نسبة المركّب هي جداء النسبتين، أي 1؛ و زاويته مجموع الزاويتين. فالمركّب إذن تقايس موجب، و لم يبق إلّا أن نفصل بين الحالتين.

  • إذا كان مجموع الزاويتين غير معدوم بترديد 2π فالمركّب دوران، زاويته هذا المجموع.
  • إذا كان مجموع الزاويتين معدوما بترديد 2π فالمركّب انسحاب (و قد يكون التحويل المطابق إذا كان شعاعه معدوما).

و هذا الفصل يستند إلى قاعدة عامّة تخصّ كلّ تشابه مباشر: إذا كانت نسبته تساوي 1 و زاويته معدومة فهو انسحاب، و في كلّ الحالات الأخرى يقبل نقطة صامدة وحيدة تكون مركزه. سندرس هذه القاعدة بتفصيلها في درس التحليل القانوني؛ نكتفي هنا باستعمالها.

⛔ مركّب دورانين لا يكون دورانا مركزه أحد المركزين إلّا في حالات خاصّة. المركز الجديد نقطة ثالثة، تُبنى أو تُحسب، و لا تُخمَّن. و المثال الموالي يبيّن كيف تُبنى بالهندسة وحدها.
مثال 2: طبيعة مركّب دورانين

A و B نقطتان مختلفتان من المستوي. r₁ هو الدوران الذي مركزه A و زاويته ⁦π/2⁩، و r₂ هو الدوران الذي مركزه B و زاويته ⁦−π/6⁩. نضع f المركّب الذي يطبّق r₁ أوّلا.

🎯المطلوب: أثبت أنّ f دوران، ثمّ عيّن زاويته.

📌المعطى: زاوية الدوران الأوّل، و مركزه A
θ₁ = π2
📌المعطى: زاوية الدوران الثاني، و مركزه B
θ₂ = −π6
🔹الخطوة 1: نسبة المركّب

الدوران تشابه مباشر نسبته 1، فنسبة المركّب جداء النسبتين.

k=1 × 1=1
🔹الخطوة 2: مجموع الزاويتين

و زاويته مجموع الزاويتين.

θ=π2 + (−π6)
🔹الخطوة 3: توحيد المقامات

نوحّد المقامين: ⁦π/2⁩ يساوي ⁦3π/6⁩.

θ=3π6 − π6
🔹الخطوة 4: الحساب
θ=2π6=π3
🔹الخطوة 5: الفصل بين الحالتين

النسبة تساوي 1 و الزاوية غير معدومة بترديد 2π: المركّب ليس انسحابا، فهو يقبل مركزا.

θ = π3 ≠ 0
✅النّتيجة: زاوية الدوران المركّب
θ = π3
لا تحسب أيّ إحداثيات هنا: القاعدة وحدها تكفي. و لاحظ أنّ المركز لم يُطلب في هذا السؤال — و هو ليس A و لا B، بل نقطة ثالثة.
المثلث الذي رأسه مركز الدوران المركّب متقايس الأضلاع، و هذا وحده يكفي لبناء المركز بالمسطرة و البركار دون أيّ حساب.
مثال 3: بناء صورة نقطة و مركز الدوران المركّب

نبقى مع المركّب f من المثال السابق، و قد أثبتنا أنّه دوران زاويته ⁦π/3⁩.

🎯المطلوب: أنشئ النقطة ⁦A′⁩ صورة A بالتحويل f، ثمّ أنشئ مركز الدوران f.

📌المعطى: زاوية المركّب المحسوبة في المثال السابق
θ = π3
🔹الخطوة 1: أثر الدوران الأوّل على A

ننطلق من A. و A هي مركز الدوران الأوّل، فهي صامدة به.

r₁(A) = A
🔹الخطوة 2: تبسيط المركّب على A

إذن صورة A بالمركّب هي ببساطة صورتها بالدوران الثاني وحده.

f(A) = r₂(A)
🔹الخطوة 3: الشرط الأوّل على الصورة

و الدوران الثاني مركزه B، فهو يحفظ البعد عن B.

BA' = BA
🔹الخطوة 4: الشرط الثاني على الصورة

و يدير بالزاوية ‏⁦−π/6⁩.

(BA ; BA') = −π6
🔹الخطوة 5: البناء تامّ

الشرطان معا يبنيان ⁦A′⁩: دائرة مركزها B و نصف قطرها BA، ثمّ نصف مستقيم يصنع الزاوية.

BA' = BA
🔹الخطوة 6: الشرط الأوّل على المركز

ننتقل إلى المركز. المركّب دوران زاويته ⁦π/3⁩، و ⁦A′⁩ صورة A به.

ΩA' = ΩA
🔹الخطوة 7: الشرط الثاني على المركز
(ΩA ; ΩA') = π3
🔹الخطوة 8: طبيعة المثلث

مثلث متساوي الساقين زاويته عند الرأس ⁦π/3⁩ هو متقايس الأضلاع: الزاويتان الباقيتان متساويتان و مجموع الزوايا π، فكلّ منهما ⁦π/3⁩ أيضا.

ΩA=ΩA'=AA'
✅النّتيجة: بناء المركز
ΩA=ΩA'=AA'
نقطة المركز الأوّل هي دائما أفضل نقطة للانطلاق عند تركيب دورانين: صورتها بالتحويل الأوّل هي هي، فيبقى تحويل واحد بدل اثنين. و المثلث المتقايس الأضلاع الذي يظهر هنا ليس صدفة: هو ما تعطيه الزاوية ⁦π/3⁩ كلّما تساوى الضلعان.
مثال 4: مركّب تشابهين معطيين بكتابتيهما المركّبتين

المستوي المركّب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و S₁ و S₂ تشابهان مباشران معرّفان بكتابتيهما المركّبتين.

🎯المطلوب: حدّد طبيعة التحويل المركّب الذي يطبّق S₂ أوّلا ثمّ S₁.

📌المعطى: كتابة التشابه الأوّل
S₁ : z'=(√34 − (14) i) z + 3i
📌المعطى: كتابة التشابه الثاني
S₂ : z'=(√3 + i) z + 3 − 3√3 i
🔹الخطوة 1: التعويض

المطلوب هو المركّب الذي يطبّق S₂ أوّلا ثمّ S₁؛ نعوّض إذن كتابة S₂ داخل كتابة S₁.

(S₁ ∘ S₂)(z)=(√34 − (14) i)((√3 + i) z + 3 − 3√3 i) + 3i
🔹الخطوة 2: جداء المعاملين

نبدأ بالمعامل: هو جداء المعاملين.

(√34 − (14) i)(√3 + i)
🔹الخطوة 3: النشر

ننشر الجداء أربعة حدود.

(34) + (√34) i − (√34) i − (14) i²
🔹الخطوة 4: تعويض i²

⛔ لا نترك i²: نعوّضه بـ ‏⁦−1⁩، فيصير الحدّ الأخير موجبا.

(34) + (14)=1
🔹الخطوة 5: معامل المركّب

الحدّان الوسطيان متقابلان فيزولان، و المعامل الناتج هو 1.

a = 1
🔹الخطوة 6: الحدّ الثابت

ننتقل إلى الحدّ الثابت: هو معامل الأوّل مضروبا في ثابت الثاني، زائد ثابت الأوّل.

(√34 − (14) i)(3 − 3√3 i) + 3i
🔹الخطوة 7: نشر الجداء

ننشر الجداء: الجزء الحقيقي ⁦3√3/4 − 3√3/4⁩ معدوم، و الجزء التخيلي ‏⁦−9/4 − 3/4 = −3⁩.

(√34 − (14) i)(3 − 3√3 i)=−3i
🔹الخطوة 8: جمع الثابتين

نضيف الحدّ الثابت للتشابه الأوّل.

−3i + 3i = 0
🔹الخطوة 9: كتابة المركّب

المعامل 1 و الحدّ الثابت معدوم: الكتابة المركّبة للمركّب هي إذن أبسط ما يمكن.

(S₁ ∘ S₂)(z) = z
✅النّتيجة: طبيعة المركّب
(S₁ ∘ S₂)(z) = z
⚖️ قراءة ثانية تؤكّد النتيجة دون نشر: نسبة S₁ هي ⁦1/2⁩ و زاويتها ⁦−π/6⁩، و نسبة S₂ هي 2 و زاويتها ⁦π/6⁩. جداء النسبتين 1 و مجموع الزاويتين معدوم، فالمركّب تقايس زاويته معدومة، أي انسحاب؛ و لأنّ حدّه الثابت معدوم فهو التحويل المطابق. استعمل هذه القراءة دائما للتحقّق قبل أن تسلّم ورقتك.
و هنا فائدة عملية: التحويل المطابق هو المركّب الذي يعيد كلّ نقطة إلى مكانها، و معنى ذلك أنّ التشابهين متعاكسان، أي أنّ كلّ واحد منهما هو التحويل العكسي للآخر. و في هذه الحالة بالذات يتساوى المركّبان في الاتّجاهين، لأنّ تحويلا و عكسه يتبادلان دائما — و هي حالة خاصّة، لا تنقض القاعدة العامّة.
في البكالوريا يظهر التركيب في سؤالين نمطيّين: مركّب دورانين، و مركّب تشابهين معطيين بكتابتيهما. في الأوّل ابدأ بمجموع الزاويتين قبل أيّ شيء، فهو الذي يقرّر إن كان الجواب دورانا أو انسحابا. و في الثاني اكتب سطر التعويض كاملا قبل النشر: أغلب الأخطاء في هذا السؤال ليست في الحساب بل في الترتيب، أي في معرفة أيّ تحويل يدخل داخل أيّ.
الخلاصة في خمسة أسطر: مركّب تشابهين مباشرين تشابه مباشر، نسبته جداء النسبتين و زاويته مجموع الزاويتين. و بالكتابة المركّبة: المعامل هو جداء المعاملين، و الحدّ الثابت هو معامل الثاني مضروبا في ثابت الأوّل، زائد ثابت الثاني. ⛔ و النسبة و الزاوية لا تتعلّقان بالترتيب، لكنّ التحويل نفسه يتعلّق به: المركّبان في الاتّجاهين لهما النسبة و الزاوية نفسهما و يختلفان في الحدّ الثابت، إلّا إذا كان للتشابهين المركز نفسه. و مركّب دورانين دوران إن كان مجموع زاويتيهما غير معدوم بترديد 2π، و انسحاب إن كان معدوما.

Page 1/9

© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net