الهندسة في الفضاء › المعادلة الديكارتية لمستوى في الفضاء
حساب المسافة بين نقطة و مستوٍ
الجواب نعم، و بدستور واحد. الفكرة كلّها في المسقط العمودي: أقصر مسافة بين نقطة و مستو هي المسافة إلى مسقطها العمودي عليه، لأنّ كلّ نقطة أخرى من المستوي تصنع مع هاتين النقطتين مثلّثا قائما تكون فيه المسافة المطلوبة ضلعا قائما، و الوتر أطول من الضلع القائم دائما. و ما دام المسقط يُبنى على الشعاع الناظمي، و الشعاع الناظمي يُقرأ على المعاملات، فكلّ شيء يصير حسابا.
- تعريف بعد نقطة عن مستو بأنّه أقصر مسافة، و ربطه بالمسقط العمودي
- تطبيق دستور البعد انطلاقا من معادلة ديكارتية و إحداثيات نقطة
- استنتاج انتماء نقطة إلى مستو من انعدام بعدها عنه
- تعيين إحداثيات المسقط العمودي لنقطة على مستو، و التحقّق من البعد بطريقة ثانية
- حساب بعد مبدأ المعلم عن مستو، و بعد نقطة عن أحد مستويات المعلم
- المعادلة الديكارتية لمستو و قراءة الشعاع الناظمي على معاملاتها
- الجداء السلّمي بالإحداثيات و معيار التعامد
- المسافة بين نقطتين من الفضاء
1. الدستور
نعتبر مستويا معلوما بمعادلة ديكارتية، و نقطة معلومة بإحداثياتها، في معلم متعامد و متجانس. البعد بينهما عدد حقيقي موجب، و هذه الكلمة هي التي تفرض القيمة المطلقة في البسط: لا وجود لبعد سالب.
و لأنّ الدستور يُعطى عادة دون برهان، نبنيه هنا كاملا: البناء نفسه هو الذي يعطيك، زيادة على العدد، إحداثيات المسقط العمودي، و هي مطلوبة كثيرا في التمارين.
المسقط العمودي يقع على المستقيم الذي يشمل النقطة و يوجّهه الشعاع الناظمي، إذن يُكتب بهذا الشكل بعدد حقيقي واحد مجهول.
نعوّض إحداثيات المسقط في معادلة المستوي، فتصير معادلة من الدرجة الأولى في المجهول الواحد، و نحلّها.
الشعاع الواصل بين النقطة و مسقطها يساوي المجهول مضروبا في الشعاع الناظمي، فمربّع طوله هو مربّع المجهول في مربّع طول الشعاع الناظمي.
2. أوّل توظيف: حساب مباشر
الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و فيه مستو معطى بمعادلة ديكارتية.
🎯المطلوب: عيّن بعد النقطة المعطاة عن هذا المستوي.
نعوّض إحداثيات النقطة في الطرف الأيسر من المعادلة، مع الانتباه إلى إشارات النقطة.
المقام هو جذر مجموع مربّعات المعاملات الثلاثة، و هو نفسه في كلّ نقاط هذا المستوي.
العدد 38 يساوي جذره مضروبا في نفسه، فيُختصر أحدهما مع المقام.
نبقى مع نفس المستوي و نفس النقطة من المثال السابق.
🎯المطلوب: عيّن إحداثيات المسقط العمودي للنقطة على المستوي، ثمّ تحقّق من قيمة البعد بطريقة ثانية.
نحسب المجهول بالخطوة الثانية من البرهان: البسط هو العدد الذي حسبناه، و المقام هو مربّع طول الشعاع الناظمي.
نعوّض في عبارة المسقط.
نتحقّق أنّ المسقط فعلا من المستوي، بتعويض إحداثياته في المعادلة.
نحسب الآن المسافة بين النقطة و مسقطها بدستور المسافة بين نقطتين.
نبقى مع نفس المستوي، و نعتبر هذه المرّة نقطة أخرى.
🎯المطلوب: عيّن بعد هذه النقطة عن المستوي، ثمّ استنتج وضعها بالنسبة إليه.
نعوّض كما فعلنا في المثال الأوّل، بنفس الترتيب.
3. ثاني توظيف: حالتان تتكرّران في المسائل
الحالة الأولى هي بعد مبدأ المعلم عن مستو: إحداثياته كلّها منعدمة، فلا يبقى في البسط إلاّ ثابت المعادلة. و الحالة الثانية هي بعد نقطة عن أحد مستويات المعلم: هناك يبقى معامل واحد غير منعدم، فيصير البعد قيمة مطلقة لإحداثية واحدة.
نعتبر المستوي الذي وجدنا معادلته في درس المعادلة الديكارتية، و هو المستوي المعيّن بالنقط الثلاث التي اشتغلنا عليها هناك.
🎯المطلوب: احسب بعد مبدأ المعلم عن هذا المستوي.
إحداثيات مبدأ المعلم كلّها منعدمة، فالحدود الثلاثة الأولى من البسط تنعدم.
نحلّل العدد إلى جداء مربّع تامّ في عدد آخر لنُخرج ما أمكن من تحت الجذر.
نجعل المقام ناطقا بضرب البسط و المقام في الجذر نفسه.
نعتبر النقطة الأولى من هذا الدرس، و مستوي المعلم الذي معادلته تقول إنّ الإحداثية الثالثة منعدمة.
🎯المطلوب: احسب بعد هذه النقطة عن هذا المستوي.
نكتب المعادلة في الشكل العامّ لنقرأ المعاملات الأربعة دون خطأ.
Page 1/7
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net