الهندسة في الفضاء › المعادلة الديكارتية لمستوى في الفضاء
توظيف الجداء السلمي لتعيين معادلة ديكارتية لمستوٍ
الجواب في فكرة واحدة: المستوي هو مجموعة النقط التي يعمد عليها اتّجاه واحد. نختار شعاعا غير معدوم عموديا على المستوي، نسمّيه شعاعا ناظميا، و نثبّت نقطة A من المستوي. عندئذ تنتمي النقطة M إلى المستوي إذا و فقط إذا كان الشعاع الذاهب من A إلى M عموديا على الشعاع الناظمي. و هذا الشرط، مكتوبا بالإحداثيات، هو المعادلة الديكارتية.
- التعرّف على شعاع ناظمي لمستو و التحقّق منه بجداءين سلميين معدومين
- تعيين مستو بنقطة منه و شعاع ناظمي له
- كتابة معادلة ديكارتية لمستو انطلاقا من نقطة و شعاع ناظمي
- تعيين معادلة ديكارتية لمستو معيّن بثلاث نقط ليست على استقامة واحدة
- دراسة الوضع النسبي لمستويين بمقارنة شعاعيهما الناظميين
- الجداء السلمي في الفضاء و عبارته التحليلية
- حلّ جملة معادلتين من الدرجة الأولى بثلاثة مجاهيل
- معنى أن يكون شعاعان مرتبطين خطيا
1. الشعاع الناظمي
نقول إنّ شعاعا غير معدوم ناظمي لمستو إذا كان عموديا على شعاعين غير مرتبطين خطيا من ذلك المستوي. و متى تحقّق ذلك، صار عموديا على كلّ شعاع من المستوي، و صار كلّ مستقيم يوجّهه مستقيما عموديا على المستوي.
في معلم متعامد و متجانس من الفضاء، نعتبر النقط A( 1 ; 0 ; 0 ) و B( 0 ; 1 ; 0 ) و C( 0 ; 0 ; 1 ).
🎯المطلوب: عيّن شعاعا ناظميا للمستوي المعيّن بالنقط الثلاث.
نحسب شعاعين من المستوي، لهما المبدأ نفسه A.
ثمّ الشعاع الثاني.
نبحث عن شعاع إحداثياته a و b و c يعمد على الشعاعين معا، فنكتب انعدام الجداءين السلميين في جملة واحدة.
المعادلتان تعطيان تساوي الإحداثيات الثلاث.
نختار قيمة واحدة غير معدومة، مثلا الواحد، فنحصل على شعاع ناظمي.
و سنستعمل هذا المستوي مرارا فيما يأتي؛ معادلته الديكارتية — و سنتعلّم كتابتها في الفقرة الموالية — هي:
2. تعيين مستو بنقطة و شعاع ناظمي
هذه هي المبرهنة التي يقوم عليها الدرس كلّه: نقطة واحدة و اتّجاه عمودي واحد يكفيان لتعيين مستو، تماما كما تعيّن نقطة و اتّجاه مستقيما في المستوي.
مجموعة النقط M من الفضاء التي تحقّق هذا الشرط هي بالضبط المستوي الذي يشمل A و الذي n شعاع ناظمي له.
البرهان. الاتّجاه المباشر واضح: إذا كانت M من المستوي فالشعاع الذاهب من A إلى M شعاع من المستوي، و الشعاع الناظمي عمودي عليه، فالجداء معدوم. و العكس هو الذي يحتاج خطوة: نفرض أنّ الجداء معدوم، و نسمّي (D) المستقيم الذي يشمل A و يوجّهه الشعاع الناظمي، و H المسقط العمودي للنقطة M على (D).
⭐ الشعاع الذاهب من M إلى H عمودي على المستقيم (D)، أي على الشعاع الناظمي، فحدّه معدوم. و هذه هي الحلقة التي تجعل البرهان تامّا: بدونها ننتقل من انعدام إلى انعدام آخر بلا مبرّر.
و بما أنّ الشعاع الذاهب من A إلى H مرتبط خطيا بالشعاع الناظمي و جداؤه السلمي فيه معدوم، و الشعاع الناظمي غير معدوم، فإنّ الشعاع الذاهب من A إلى H معدوم، أي إنّ H تنطبق على A. فالمسقط العمودي للنقطة M على (D) هو A نفسها، و معناه أنّ M من المستوي.
3. المعادلة الديكارتية لمستو
ننقل الشرط السابق إلى الإحداثيات في معلم متعامد و متجانس، فنحصل على معادلة من الدرجة الأولى بثلاثة مجاهيل. و العكس صحيح أيضا: كلّ معادلة من هذا الشكل تمثّل مستويا.
البرهان في اتّجاهه المباشر. ننطلق من انعدام الجداء السلمي و نكتبه بالإحداثيات:
و في اتّجاهه العكسي. لتكن معادلة من الشكل السابق، حيث الأعداد الحقيقية الثلاثة غير معدومة معا؛ نفرض مثلا أنّ أوّلها يخالف الصفر، و نعتبر النقطة التي فاصلتها هي مقابل خارج قسمة الثابت عليه، و ترتيبها و راقمها معدومان. هذه النقطة تحقّق المعادلة، و حساب الجداء السلمي يعيد المعادلة نفسها:
و من المعادلة تُقرأ حالات خاصة تُطلب كثيرا: مستويات المعلم الثلاثة.
| المستوي | معادلته الديكارتية | شعاع ناظمي له |
|---|---|---|
| المستوي الأفقي المارّ بالمبدأ | z = 0 | ( 0 ; 0 ; 1 ) |
| المستوي المعيّن بالشعاعين الثاني و الثالث | x = 0 | ( 1 ; 0 ; 0 ) |
| المستوي المعيّن بالشعاعين الأوّل و الثالث | y = 0 | ( 0 ; 1 ; 0 ) |
في المعلم نفسه، نعتبر النقط A( −2 ; 0 ; 1 ) و B( 1 ; 0 ; −3 ) و C( 1 ; −1 ; 2 ).
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي الذي يشمل A و الذي الشعاع الذاهب من B إلى C شعاع ناظمي له.
نحسب أوّلا الشعاع الذي سيلعب دور الشعاع الناظمي.
نكتب شرط الانتماء: الشعاع الذاهب من A إلى M عمودي على الشعاع الناظمي.
نستبدل بالإحداثيات، مع الانتباه إلى أنّ إحداثيات A هي التي تُطرح.
ننشر و نرتّب.
نضرب في مقابل الواحد لنحصل على معامل موجب للترتيب.
نتحقّق من أنّ النقطة A تحقّق المعادلة: هذا هو الاختبار الوحيد الذي يكشف خطأ الحساب.
4. الوضع النسبي لمستويين
متى صار لكلّ مستو شعاع ناظمي، صارت العلاقة بين مستويين علاقة بين شعاعين، و هي تُقرأ في سطر واحد: التوازي هو الارتباط الخطي بين الشعاعين الناظميين، و التعامد هو انعدام جدائهما السلمي.
و لنطبّق ذلك على مستويين معطيين بمعادلتيهما:
نعتبر المستويين اللذين معادلتاهما هما المعادلتان المكتوبتان قبل هذا المثال.
🎯المطلوب: حدّد الوضع النسبي للمستويين، ثمّ بيّن إن كانا منطبقين أم لا.
نقرأ شعاعا ناظميا لكلّ مستو مباشرة من معاملات معادلته.
نلاحظ أنّ الثاني هو ضعف الأوّل، فالشعاعان مرتبطان خطيا.
إذن المستويان متوازيان. نبحث الآن هل ينطبقان: نأخذ نقطة من الأوّل، مثلا التي إحداثياتها ثلاثة و صفر و مقابل الواحد.
نعوّض النقطة نفسها في معادلة المستوي الثاني.
العدد يخالف الصفر، فالنقطة ليست من المستوي الثاني.
نعود إلى المستوي المعيّن بالنقط A و B و C من المثال الأوّل، و معادلته هي مجموع الإحداثيات الثلاث ناقص الواحد.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي الذي يوازيه و يشمل مبدأ المعلم.
المستويان متوازيان، فلهما الشعاع الناظمي نفسه: نأخذه من المثال الأوّل.
نكتب شرط الانتماء انطلاقا من المبدأ، لا من نقطة أخرى.
و إحداثيات الشعاع الذاهب من المبدأ إلى نقطة هي إحداثيات النقطة نفسها.
نتحقّق أنّ المبدأ يحقّقها.
و نتحقّق أنّ المستويين متمايزان بتعويض نقطة من المستوي الأوّل.
5. طريقة: معادلة مستو معيّن بثلاث نقط
- نحسب شعاعين من المستوي لهما المبدأ نفسه، و نتحقّق أنّهما غير مرتبطين خطيا: بذلك نضمن أنّ النقط الثلاث تعيّن مستويا.
- نبحث عن شعاع ناظمي بحلّ جملة الجداءين السلميين المعدومين.
- نختار قيمة غير معدومة لأحد المجاهيل، فنستنتج الآخرين.
- نكتب شرط الانتماء انطلاقا من إحدى النقط الثلاث، ثمّ ننشر.
- نتحقّق من المعادلة بتعويض النقط الثلاث فيها، واحدة واحدة.
في المعلم نفسه، النقط A( −2 ; 0 ; 1 ) و B( 1 ; 0 ; −3 ) و C( 1 ; −1 ; 2 ).
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي المعيّن بهذه النقط الثلاث.
نحسب الشعاع الأوّل.
ثمّ الشعاع الثاني.
للشعاعين الفاصلة نفسها، و ترتيباهما مختلفان: فلا يمكن أن يكون أحدهما مضاعفا للآخر، إذن هما غير مرتبطين خطيا و النقط الثلاث تعيّن مستويا.
نكتب جملة الجداءين السلميين المعدومين مع شعاع ناظمي إحداثياته a و b و c.
نختار للمجهول الأوّل القيمة أربعة، فتعطي المعادلة الأولى القيمة ثلاثة للمجهول الثالث.
ثمّ نعوّضهما في المعادلة الثانية لنجد المجهول الثاني.
فيكون الشعاع الناظمي معيّنا.
نتحقّق منه فورا بجداءين سلميين معدومين، قبل أن نبني عليه أيّ شيء.
و التحقّق الثاني.
نكتب شرط الانتماء انطلاقا من النقطة A.
ننشر و نرتّب.
Page 1/10
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net