الهندسة في الفضاء › المعادلة الديكارتية لمستوى في الفضاء
حساب المسافة بين نقطة و مستوٍ
الجواب دستور واحد، و هو من أقصر ما في الباب و أكثره استعمالا: يكفي أن تعوّض إحداثيات النقطة في الطرف الأيسر من معادلة المستوي، ثمّ تأخذ القيمة المطلقة، ثمّ تقسم على طويلة الشعاع الناظمي. سطر واحد يعطي المسافة دون أن نحسب المسقط العمودي.
- تعريف البعد بين نقطة و مستو، و معرفة أنّه يقاس على المسقط العمودي
- تطبيق دستور البعد انطلاقا من معادلة ديكارتية للمستوي
- التحقّق من انتماء نقطة إلى مستو بحساب بعدها عنه
- تحديد الوضع النسبي لسطح كرة و مستو بمقارنة البعد بنصف القطر
- حساب نصف قطر الدائرة الناتجة عن تقاطع سطح كرة و مستو
- المعادلة الديكارتية لمستو و قراءة شعاع ناظمي من معاملاتها
- الجداء السلمي بالإحداثيات و حساب طويلة شعاع
- مبرهنة فيثاغورس في مثلّث قائم
1. البعد: التعريف
لتكن A نقطة من الفضاء و (P) مستويا. لكلّ نقطة M من المستوي مسافة تفصلها عن A، و هذه المسافات ليست متساوية. البعد بين A و المستوي هو أصغرها، و هو يبلغ عند نقطة واحدة: المسقط العمودي للنقطة A على المستوي.
و البرهان على أنّ هذه المسافة هي الأصغر لا يحتاج أكثر من مبرهنة فيثاغورس: إذا كانت H المسقط العمودي و M نقطة أخرى من المستوي، فالمثلّث الذي رؤوسه A و H و M قائم في H.
⭐ الحدّ الثاني موجب أو معدوم، فالمسافة إلى أيّ نقطة أخرى أكبر أو تساوي المسافة إلى المسقط، و لا تساويها إلّا إذا انطبقت النقطتان.
2. الدستور
في معلم متعامد و متجانس، إذا كان للمستوي معادلة ديكارتية معلومة، فالبعد يُحسب من معاملاتها مباشرة:
البرهان. المسقط العمودي H يقع على المستقيم المارّ بـ A و الموجّه بالشعاع الناظمي، فنكتبه على شكل A مضافا إليها مضاعف للشعاع الناظمي، ثمّ نفرض انتماءه إلى المستوي فنستخرج ذلك المضاعف.
⭐ نأخذ الجذر التربيعي فنجد الدستور. و مربّع عدد يساوي مربّع مقابله، فالجذر يعطي القيمة المطلقة: و هذا سبب وجودها في الدستور.
3. أمثلة محسوبة
نعمل في المثالين الأوّلين على المستوي الذي معادلته:
في معلم متعامد و متجانس، مع المستوي السابق و النقطة A( 1 ; −2 ; 7 ).
🎯المطلوب: عيّن بعد النقطة A عن هذا المستوي.
نقرأ معاملات المعادلة: هي إحداثيات شعاع ناظمي للمستوي.
نعوّض إحداثيات النقطة في الطرف الأيسر من المعادلة، بحدّه الثابت.
نحسب مربّع طويلة الشعاع الناظمي.
نضع الكسر.
نبسّط: العدد مقسوما على جذره يعطي الجذر نفسه.
و يمكن التحقّق من هذه النتيجة بطريق ثانٍ، مستقلّ تماما: نحسب المسقط العمودي صراحة، ثمّ نحسب المسافة إليه.
نطرح من إحداثيات A مضاعف الشعاع الناظمي الموافق للمعامل الذي حسبناه في البرهان، و هو هنا مقابل الواحد.
مع المستوي نفسه، نعتبر النقطة B( 2 ; 1 ; 0 ).
🎯المطلوب: احسب بعد النقطة B عن المستوي ثمّ استنتج وضعها منه.
نعوّض إحداثيات النقطة في الطرف الأيسر من المعادلة.
البسط معدوم، و المقام يخالف الصفر دائما لأنّ الشعاع الناظمي غير معدوم.
فالبعد معدوم.
و انعدام البعد يعني انطباق النقطة على مسقطها العمودي، أي انتماءها إلى المستوي.
نعتبر المستوي الذي معادلته الديكارتية هي: مجموع الإحداثيات الثلاث ناقص الواحد يساوي صفرا، أي المستوي المعيّن بالنقط A( 1 ; 0 ; 0 ) و B( 0 ; 1 ; 0 ) و C( 0 ; 0 ; 1 ).
🎯المطلوب: احسب بعد مبدأ المعلم عن هذا المستوي.
نقرأ الشعاع الناظمي من المعاملات.
نعوّض إحداثيات المبدأ، و هي معدومة كلّها، فلا يبقى إلّا الحدّ الثابت.
نأخذ القيمة المطلقة.
و نحسب طويلة الشعاع الناظمي.
فيكون البعد مقلوب هذا الجذر، و نُنطِق المقام بضرب الطرفين في الجذر.
4. تطبيق: سطح كرة و مستو
متى صار البعد يُحسب في سطر، صار الوضع النسبي لسطح كرة و مستو مسألة مقارنة: نقارن بعد المركز عن المستوي بنصف القطر.
| الحالة | الوضع النسبي | التقاطع |
|---|---|---|
| البعد أكبر تماما من نصف القطر | المستوي لا يقطع سطح الكرة | فارغ |
| البعد يساوي نصف القطر | المستوي مماسّ لسطح الكرة | نقطة واحدة: المسقط العمودي |
| البعد أصغر تماما من نصف القطر | المستوي يقطع سطح الكرة | دائرة مركزها المسقط |
نعتبر سطح الكرة الذي مركزه W( 2 ; 1 ; 0 ) و نصف قطره جذر اثنين، و المستوي نفسه الذي عملنا عليه في المثالين الأوّل و الثاني.
🎯المطلوب: حدّد الوضع النسبي للمستوي و سطح الكرة، ثمّ احسب نصف قطر تقاطعهما.
نحسب بعد المركز عن المستوي بالدستور.
فالبعد معدوم، أي إنّ المستوي يشمل المركز.
نقارن البعد بنصف القطر: صفر أصغر تماما من الجذر، فالتقاطع دائرة.
نطبّق دستور نصف قطر دائرة التقاطع.
و الدائرة الناتجة نصف قطرها هو نصف قطر سطح الكرة نفسه: هي دائرة كبرى.
مع سطح الكرة نفسه، نعتبر المستوي الذي معادلته: الفاصلة تساوي صفرا.
🎯المطلوب: بيّن أنّ هذا المستوي لا يقطع سطح الكرة.
معادلة هذا المستوي هي انعدام الفاصلة، فمعاملاته هي واحد و صفر و صفر.
نعوّض إحداثيات المركز: لا يبقى إلّا الفاصلة.
و طويلة الشعاع الناظمي تساوي الواحد، فالبعد هو البسط نفسه.
نقارن المربّعين تفاديا للجذور: مربّع البعد أربعة، و مربّع نصف القطر اثنان.
فالبعد أكبر تماما من نصف القطر، و التقاطع فارغ.
Page 1/10
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net